CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 15: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN DÃY SỐ 

Hoạt động 1. Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) đã cho là

u$_{1}$=$\frac{(-1)^{1}}{1}$=1;u$_{2}$=$\frac{(-1)^{2}}{2}$=$\frac{1}{2}$;u$_{3}$=$\frac{(-1)^{3}}{3}$=-$\frac{1}{3}$;u$_{4}$=$\frac{(-1)^{4}}{4}$=$\frac{1}{4}$;u$_{5}$=$\frac{(-1)^{5}}{5}$=-$\frac{1}{5}$.

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

b) Khoảng cách từ un đến 0 là $\left \| \frac{(-1)^{n}}{n} \right \|$=$\frac{1^{n}}{n}$=$\frac{1}{n}$, ∀n∈N*.

Ta có: $\frac{1}{n}$<0,01⟺$\frac{1}{n}$<$\frac{1}{100}$⟺n>100

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ u$_{n}$ đến 0 nhỏ hơn 0,01.

Khái niệm

Ta nói dãy số (u$_{n}$) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu liu$_{n}$= 0 hay u$_{n}$$\rightarrow $0 khi n$\rightarrow +\infty $.

Ví dụ 1: (SGK – tr.105).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.105).

Chú ý

Từ định nghĩa dãy số có giới hạn 0, ta có kết quả như sau:

+ $\frac{1}{n^{k}}$=0  với k là một số nguyên dương.

+ $q^{n}$ =0 nếu $\left | q \right |$<1;

+ Nếu $\left | u_{n} \right |$$\leq $v$_{n}$với mọi n≥1 và v$_{n}$ =0 thì  u$_{n}$=0.

Luyện tập 1

Xét dãy số (u$_{n}$) có u$_{n}$=$\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}}$

Ta có:

$\left | u_{n} \right |$=$\left | \frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}} \right |$=$\frac{1}{3^{n}}$=$(\frac{1}{3})^{n}$ ; $(\frac{1}{3})^{n}$ =0

Do đó, $\frac{(-1)^{n-1}}{3^{n}}$ =0.

Hoạt động 2. Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

Ta có: v$_{n}$=u$_{n}$-1=$\frac{n+(-1)^{n}}{n}$-1

                 =(1+$\frac{(-1)^{n}}{n}$)-1=$\frac{(-1)^{n}}{n}$ 

Do đó v$_{n}$ =$\frac{(-1)^{n}}{n}$ =0

Định nghĩa

Ta nói dãy số (u$_{n}$) có giới hạn là số thực a khi n dần tới dương vô cực nếu (u$_{n}$-a) =0, kí hiệu u$_{n}$ =a hay u$_{n}$$\rightarrow $a khi n$\rightarrow +\infty $.

Ví dụ 2: (SGK – tr.106).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.106).

Chú ý

- u$_{n}$ =a khi và chỉ khi (u$_{n}$-a) =0

- Nếu u$_{n}$=c (c là hằng số) thì u$_{n}$ =c

Luyện tập 2

Ta có: 

u$_{n}$-3=$\frac{3.2^{n}-1}{2^{n}}$-3=$\frac{(3.2^{n}-1)-3.2^{n}}{2^{n}}$=-$\frac{1}{2^{n}}$ 

-$\frac{1}{2^{n}} \rightarrow $0 khi $\rightarrow +\infty $ 

Do vậy u$_{n}$ =3.

Vận dụng

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là u$_{1}$=$\frac{2}{3}$.5

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u$_{1}$ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là: 

u$_{2}$=$\frac{2}{3}$u$_{1}$=$\frac{2}{3}$.($\frac{2}{3}$.5)=5.$(\frac{2}{3})^{2}$

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u$_{2}$ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

u$_{3}$=$\frac{2}{3}$u$_{2}$=$\frac{2}{3}$.5.$(\frac{2}{3})^{2}$=5.$(\frac{2}{3})^{3}$

Và cứ tiếp tục như vậy…

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là u$_{n}$=5.$(\frac{2}{3})^{n}$

Ta có: $(\frac{2}{3})^{n}$ =0, do đó, u$_{n}$ =0

2. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Hoạt động 3:

+) Ta có: 

u$_{n}$+v$_{n}$=(2+$\frac{1}{n}$)+(3-$\frac{2}{n}$)=5-$\frac{1}{n}$

Lại có: 

(u$_{n}$+v$_{n}$)-5=(5-$\frac{1}{n}$)-5=-$\frac{1}{n}$$\rightarrow $0 khi n$\rightarrow +\infty $

Do vậy, (u$_{n}$+v$_{n}$) =5

+) Ta có: u$_{n}$-2=(2+$\frac{1}{n}$)-2=$\frac{1}{n}$$\rightarrow $0 khi n$\rightarrow +\infty $

 Do vậy , u$_{n}$ =2

Và v$_{n}$-3=(3-$\frac{2}{n}$)-3=-$\frac{2}{n}$$\rightarrow $0 khi n$\rightarrow +\infty $

Do vậy, v$_{n}$ =3

Khi đó, u$_{n}$ +v$_{n}$=2+3=5=u$_{n}$+v$_{n}$

Vậy (u$_{n}$+v$_{n}$) =u$_{n}$ +v$_{n}$

Quy tắc tính giới hạn

a) Nếu u$_{n}$ =a và v$_{n}$ =b thì

+ (u$_{n}$+v$_{n}$) =a+b

+ (u$_{n}$-v$_{n}$) =a-b

+ (u$_{n}$.v$_{n}$) =a.b

+ ($\frac{u_{n}}{v_{n}}$) =$\frac{a}{b}$ (nếu b≠0) 

b)  Nếu u$_{n}$≥0 với mọi n và u$_{n}$ =a thì

a≥0 và $\sqrt{u_{n}}$ =$\sqrt{a}$

Ví dụ 3: (SGK – tr.106)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.106).

Luyện tập 3

Áp dụng các quy tắc tính giới hạn, ta được:

$\frac{\sqrt{2n^{2}+1}}{n+1}$ =$\frac{\sqrt{n^{2}(2+\frac{1}{n^{2}})}}{n+1}$=$\frac{n\sqrt{2+\frac{1}{n^{2}}}}{n(1+\frac{1}{n})}$ =$\frac{\sqrt{2}}{1}$=$\sqrt{2}$

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Hoạt động 4:

a) Ta có: u$_{1}$ là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó u$_{1}$=$\frac{1}{2}$.

Cứ tiếp tục như vậy, ta được: u$_{2}$=$\frac{1}{2}$u$_{1}$;u$_{3}$=$\frac{1}{2}$u$_{2}$;…;u$_{n}$=$\frac{1}{2}$u$_{n-1}$,….

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u$_{1}$=$\frac{1}{2}$ và công bội q=$\frac{1}{2}$

Do đó, tổng của n số hạng đầu là:

S$_{n}$=u$_{1}$+u$_{2}$+…+u$_{n}$=$\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

=$\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2})^{n})}{1-\frac{1}{2}}$=1-$(\frac{1}{2})^{n}$ 

b) Ta có: S=S$_{n}$ =(1-$(\frac{1}{2})^{n}$)

=1 -$(\frac{1}{2})^{n}$ =1-0=1 

Kết luận

- Cấp số nhân vô hạn (u$_{n}$) có công bội q với $\left | q \right |$<1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

- Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u$_{n}$) với công bội q. Khi đó

S$_{n}$u$_{1}$+u$_{2}$+...+u$_{n}$=$\frac{u_{1}(1-q^{n})}{1-q}$

Vì $\left | q \right |$<1 nên q$^{n}$$\rightarrow $0 khi n$\rightarrow +\infty $. Nên:

S$_{n}$ =$\left [ \frac{u_{1}}{1-q}-(\frac{u_{1}}{1-q}).q^{n} \right ]$ =$\frac{u_{1}}{1-q}$ 

 - Giới hạn này được gọi là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn (u$_{n}$), và kí hiệu là:

S=u$_{1}$+u$_{2}$+...+u$_{n}$+...

Như vậy S=$\frac{u_{1}}{1-q}$ ($\left | q \right |$<1)

Ví dụ 4: (SGK – tr.107)

Hướng dẫn giải (SGK -tr.107)

Ví dụ 5: (SGK – tr.108)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.108)

Luyện tập 4

S=2+$\frac{2}{7}$+$\frac{2}{49}$+...+$\frac{2}{7^{n-1}}$+... 

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u$_{1}$=2 và q=$\frac{1}{7}$

Do đó, S=$\frac{u_{1}}{1-q}$ =$\frac{2}{1-\frac{1}{7}}$=$\frac{7}{3}$

Vận dụng 2

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) 

+ Để chạy hết quãng đường từ A$_{1}$ đến A$_{2}$ với A$_{1}$A$_{2}$=a=100 (km), Achilles phải mất thời gian t$_{1}$=$\frac{100}{100}$=1 (h). Với thời gian t$_{1}$ này, rùa đã chạy được quãng đường A$_{2}$A$_{3}$=1 (km).

+ Để chạy quãng đường A$_{2}$ đến A$_{3}$ với A$_{2}$A$_{3}$=1(km), Achilles phải mất thời gian t$_{2}$=$\frac{1}{100}$ (h). Với thời gian t$_{2}$ này, rùa đã chạy được quãng đường A$_{3}$A$_{4}$=$\frac{1}{100}$ (km)

+ Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ A$_{n}$ đến A$_{n+1}$ với A$_{n}$A$_{n+1}$=$\frac{1}{100^{n-2}}$ (km), Achilles phải mất thời gian t$_{n}$=$\frac{1}{100^{n-1}}$ (h).

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết quãng đường A$_{1}$A$_{2}$, A$_{2}$A$_{3}$,…A$_{n}$A$_{n+1}$,…, tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

T=1+$\frac{1}{100}$ +$\frac{1}{100^{2}}$+...+$\frac{1}{100^{n-1}}$+...$\frac{1}{100^{n}}$+... 

(h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có u$_{1}$=1 và q=$\frac{1}{100}$ .

Ta có: T=$\frac{u_{1}}{1-q}$=$\frac{1}{1-\frac{1}{100}}$=$\frac{100}{99}$=1$\frac{1}{99}$ (giờ) 

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA MỘT DÃY SỐ

Hoạt động 5:

a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là u$_{0}$=50

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là u$_{1}$=2u$_{0}$=2.50

Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là u$_{2}$=2u$_{1}$=2.2.50

Cứ tiếp tục như vậy, ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là u$_{n}$=2$^{n}$.50 với n>1.

b) Giả sử sau chu kì thứ k, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000.

Khi đó ta có u$_{k}$=2$^{k}$ . 50>10 000

⟺2$^{k}$>200 

Định nghĩa

- Dãy số (u$_{n}$) được gọi là có giới hạn $+\infty $ khi n$\rightarrow +\infty $ nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi, kí hiệu u$_{n}$ =+$\infty $ hay un$\rightarrow +\infty $ khi n$\rightarrow +\infty $.

- Dãy số (u$_{n}$) được gọi là có giới hạn -$\infty $ khi n$\rightarrow +\infty $ nếu (-u$_{n}$) =+$\infty $, kí hiệu u$_{n}$ =-$\infty $ hay un$\rightarrow -\infty $ khi n$\rightarrow +\infty $.

- Theo định nghĩa trên ta có:

+ n$^{k}$ =+$\infty $, với k là số nguyên dương.

+ q$^{n}$ , với q>1.

Quy tắc:

+ Nếu u$_{n}$ =a và v$_{n}$ =+$\infty $

(hoặc v$_{n}$ =-$\infty $) thì $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ =0.

+ Nếu u$_{n}$ =a>0, v$_{n}$ =0 và v$_{n}$>0 với mọi n thì $\frac{u_{n}}{v_{n}}$ =+$\infty $

+ Nếu u$_{n}$ =+$\infty $ và v$_{n}$ =a>0 thì u$_{n}$v$_{n}$ =+$\infty $

Ví dụ 6: (SGK – tr.109)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.109)

Luyện tập 5

Ta có: n-$\sqrt{n}$=n($\frac{1}{\sqrt{n}}$)

Ta có n=+$\infty $ ; ($\frac{1}{\sqrt{n}}$) =1

Do đó, n-$\sqrt{n}$ =+$\infty $