BÀI 15. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Đáp án chuẩn:

a) 

b) Bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0,01

Bài 2: Chứng minh rằng

Đáp án chuẩn:

Bài 3: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0.01?

Đáp án chuẩn:

v_n  =0

Đáp án chuẩn:

Bài 5: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng 2/3 độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử un là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn là 0.

Đáp án chuẩn:

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn. Cho hai dãy số (Un) và (Vn) với 

Tính và so sánh: 

Đáp án chuẩn:

Đáp án chuẩn:

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Bài 1: Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

Đáp án chuẩn:

Đáp án chuẩn:

Bài 3: Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).

a) Tính thời gian t1, t2, ..., tn, ... tương ứng để Achilles đi từ A1 đến A2, từ A2 đến A3, ... từ An đến An + 1, ...

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A1A2, A2A3, ..., A­nAn + 1, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Đáp án chuẩn:

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn un sau chu kì thứ n.

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

Đáp án chuẩn:

Bài 2: Tính

Đáp án chuẩn:

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 5.1: Tìm các giới hạn sau:

Đáp án chuẩn:

Bài tập 5.2: Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với lim_(n->+∞) Un = 2 và lim _(n->+∞) Vn=3. Tìm các giới hạn sau:

Đáp án chuẩn:

Bài tập 5.3: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi

Đáp án chuẩn:

Bài tập 5.4: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Đáp án chuẩn:

Bài tập 5.5: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Đáp án chuẩn:

S≈158(mg)

Bài tập 5.6: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.

Đáp án chuẩn: