BÀI 13. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1: Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó

Đáp án chuẩn:

- Mặt sàn và mặt trần nhà bằng gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

Bài 2: Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có nằm trong các mặt phẳng song song hay không?

Đáp án chuẩn:

Các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1: Cho mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) (H.4.41)Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có song song với nhau hay không, hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không?

Đáp án chuẩn:

a // b hoặc a trùng với b 

Bài 2: Nếu không có điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau" thì khẳng định trên còn đúng không?

Đáp án chuẩn:

Nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên không đúng

Bài 3: Trong không gian cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai đường thẳng m, n lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh rằng mp(m,n) song song với mặt phẳng (BCD).

Đáp án chuẩn:

m // (BCD); n // (BCD)

m⊂mp(m,n); n⊂mp(m,n); m∩n=A; m, n//mp(BCD) 

=> mp(m, n)//mp(BCD)

Bài 4: Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

Đáp án chuẩn:

Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng song song với mặt đất nên mặt phẳng bàn song song với mặt đất.

Bài 5: Đặt một bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn không?

Đáp án chuẩn:

Mặt bìa trùng với mặt bàn

Bài 6: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) phân biệt có (P) // (Q), (Q) // (R). Theo tính chất bắc cầu ta có (P) // (R)

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC, SD sao cho MAMS=NBNS=PCPS=QDQS=12. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Đáp án chuẩn:

Chứng minh: mp(MNP) // mp(ABCD);mp (MPQ) //mp(ABCD)

(MNP) và (MPQ) cùng đi qua điểm M (MNP) //(ABCD) và (MPQ) //(ABCD)  nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Bài 8:  Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46)

a) Giải thích vì sao mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q)

b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt phẳng (R) và (Q). Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không?

Đáp án chuẩn:

a) Giả sử:

mp(R) không  mp(Q) => R//(Q). Mà mp(P)//mp(Q)

=> mp(R)//mp(P) (mâu thuẫn với giả thiết mpR∩mpP=a)

b) Vì a, b⊂mp(R) => a, b không thể chéo nhau => a, b không có điểm chung

Giả sử: a, b có điểm chung là A => mpP, mp(Q) cũng có điểm chung là A. Điều này mâu thuẫn với giả thiết mpP//mp(Q)

Bài 9: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD)

Đáp án chuẩn:

EH là giao tuyến của hai mặt phẳng EMQ và mặt phẳng ABCD

3. ĐỊNH LÍ THALES TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1: Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt d và d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C' (C khác C'). Gọi D là giao điểm của AC' và (Q) (H.4.48)

a) Các cặp đường thẳng BD và CC', B'D và AA' có song song với nhau không?

b) Các tỉ số ABBC;ADDC';A'B'B'C' có bằng nhau không?

Đáp án chuẩn:

a) BD // CC’; B’D // AA’

b) ABBC=ADDC'=A'B'B'C'.

Bài 2: Trong HĐ5, cho AB = 2 cm, BC = 4 cm và A'B' = 3 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng B'C'

Đáp án chuẩn:

B'C'=6 (cm)

4. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

Bài 3: Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tăm giác mà em đã học ở lớp 7

Đáp án chuẩn:

Các hình ảnh đã cho trên đều có chứa hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song, các mặt còn lại chứa các cạnh đối diện song song 

Bài 4: Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và  có độ dài bằng nhau.

Đáp án chuẩn:

A₁A₁' // A₂A₂' và A₁A₁' = A₂A₂'

Bài 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'. Chứng minh rằng AMC.A'M'C' là hình lăng trụ

Đáp án chuẩn:

Có: MM'// AA'// CC' 

mp(ABC)//mp(A'B'C') 

=> mp(AMC)//mp(A'B'C')

Do vậy AMC.A'M'C' là hình lăng trụ

Bài 6: Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

Đáp án chuẩn:

Hình ảnh thứ hai từ trái 

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ADDA') và (BCC'B') song song với nhau.

Đáp án chuẩn:

Trong mp(ADD'A') có: 

AD//mp(BCC'B') và AA'//mp(BCC'B')

Như vậy mp(ADD'A')//mp(BCC'B')

Bài 8: Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp, bác Hà đặt một thanh gỗ đủ dài vào trong bể sao cho một đầu của thanh gỗ dựa vào mép của nắp bể, đầu còn lại nằm trên đáy bể (H.4.53). Sau đó bác Hà rút thanh gỗ ra ngoài và tính tỉ lệ giữa độ dài của phân thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ. Tỉ lệ này chính bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể. Hãy giải thích vì sao?

Đáp án chuẩn:

Gợi ý: sử dụng định lí Thales

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 4.21: Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P),(Q),(R). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu (P) chứa một đường thẳng song song với (Q)thì (P) song song với (Q)

b) Nếu (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

c) Nếu (P) và (Q) song song với (R) thì (P)song song với (Q)

d) Nếu (P) và (Q)cắt (R)thì (P)và (Q) song song với nhau.

Đáp án chuẩn: 

c) 

Bài tập 4.22: Cho hình lăng trụ tam giác ABC⋅A′B′C′. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA′,BB′,CC′. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

Đáp án chuẩn: 

Có: MN //mp(ABC); NP //mp(ABC)

Trong  mp(MNP): MN∩NP; MN//mp(ABC); NP//mp(ABC) 

Như vậy mp(MNP)//mp(ABC)

Bài tập 4.23: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Qua các điểm A,D lần lượt vẽ các đường thẳng m,n song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng mp(B,m) và mp(C,n) song song với nhau.

Đáp án chuẩn: 

Có: m // mp(C, n); AB // mp(C, n)

mp(B, m) có m∩AB; m//mp(C, n); AB//mp(C, n)

Như vậy mp(B, m)//mp(C,n)

Bài tập 4.24: Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm A1;A2 sao cho AA1=A1A2=A2S. Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua A1;A2 . Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B1;C1 . Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại B1;C1. Chứng minh AA1=A1A2=A2S; AA1=A1A2=A2S

Đáp án chuẩn: 

Chứng minh:

A2A1AA1=B2B1BB1=C2C1CC1=1, do đó BB1=B1B2; CC1=C1C2.

A2SA2A1=B2SBB1=C2SC2C1=1, do đó B1B2=B2S và C1C2=C2S.

• đpcm

Bài tập 4.25: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng (A'B'C'D') cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A'', B", C", D". Hỏi hình tạo bởi các điểm A, B, C, D, A", B'', C'', D'' là hình gì?

Đáp án chuẩn: 

A, B, C, D, A", B", C", D" là hình lăng trụ tứ giác

Bài tập 4.26: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G′lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A′B′C′

a) Chứng minh rằng tứ giác AGG‘A’ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng AGC.A′G′C′ là hình lăng trụ.

Đáp án chuẩn: 

a) AG = A'G' và AG // A'G' => Tứ giác AGG'A' là hình bình hành

b) Vì tứ giác AGG'A' là hình bình hành => AA' // GG'

Tương tự: Tứ giác CGG'C' là hình bình hành => CC' // GG'

=> AA'//GG'//CC' 

Lại có: mp (AGC)//mp(A'G'C')

Vậy AGC.A'G'C' là hình lăng trụ tam giác.

Bài tập 4.27: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB'A') của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A'D', B'C' lần lượt tại M, N, M', N' (H.4.54). Chứng minh rằng ABNM.A'B'N'M'  là hình hộp

Đáp án chuẩn: 

=> (ABNM) // (A'B'N'M') (1).

Mà AA' // BB' => AA'//BB'//NN'//MM' (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABNM.A'B'N'M' là hình lăng trụ.

Tứ giác ABNM có AB // MN và AM // BN (do AD // BC) nên ABNM là hình bình hành.

Tứ giác A'B'N'M' có A'B' // M'N' và A'M' // B'N' (do A'D' // B'C') nên A'B'N'M' là hình bình hành.

Hình lăng trụ ABNM.A'B'N'M' có đáy là hình bình hành nên nó là hình hộp.

Bài tập 4.28: Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.

Đáp án chuẩn: 

Các bậc cầu thang là các mặt phẳng song song với nhau, mặt phẳng tường cắt mỗi bậc của cầu thang theo các giao tuyến là phần mép của mỗi bậc cầu thang nằm trên tường nên các giao tuyến này song song với nhau