BÀI 13. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1: Các mặt bậc thang trong Hình 4.40 gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung. Hãy tìm thêm một số ví dụ khác cũng gợi nên hình ảnh đó

Giải nhanh:

- Các mặt của từng tầng trong giá để dép gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

- Mặt sàn và mặt trần nhà bằng gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

Bài 2: Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt có nằm trong các mặt phẳng song song hay không?

Giải nhanh:

Các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1: Cho mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) (H.4.41)Nếu (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c thì hai đường thẳng a và c có song song với nhau hay không, hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không?

Giải nhanh:

Do song song với mặt phẳng và nằm trong mặt phẳng nên và cắt nhau theo giao tuyến // . Lí luận tương tự, ta thấy // . Từ đó suy ra a // hoặc trùng với  

Bài 2: Nếu không có điều kiện "hai đường thẳng cắt nhau" thì khẳng định trên còn đúng không?

Giải nhanh:

Nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên không đúng

Bài 3: Trong không gian cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Qua điểm A vẽ hai đường thẳng m, n lần lượt song song với hai đường thẳng BC, BD. Chứng minh rằng mp(m,n) song song với mặt phẳng (BCD).

Giải nhanh:

Vì =>

Vì =>

; ; ;  

=>

Bài 4: Một chiếc bàn có phần chân là hai khung sắt hình chữ nhật có thể xoay quanh một trục như trong Hình 4.43. Khi mặt bàn được đặt lên phần chân bàn thì mặt bàn luôn song song với mặt đất. Hãy giải thích tại sao.

Giải nhanh:

Vì và là các đường thẳng của chân bàn nằm trên mặt đất, nên thì đường thẳng song song với mặt đất và thì đường thẳng song song với mặt đất. 

Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng song song với mặt đất nên mặt phẳng bàn song song với mặt đất.

Bài 5: Đặt một bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang (H.4.44) sao cho mặt bìa song song với mặt đất. Khi đó mặt bìa có trùng với mặt bàn không?

Giải nhanh:

Mặt bìa trùng với mặt bàn

Bài 6: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Giải nhanh:

Cho ba mặt phẳng phân biệt có Theo tính chất bắc cầu ta có

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là các điểm thuộc các cạnh SA, SB, SC, SD sao cho . Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Giải nhanh:

Xét có hay

Suy ra (theo định lí Thalès).

Do đó  

Tương tự, do nên  

Vậy chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng //  

=>  

Lập luận tương tự ta có:

và cùng đi qua điểm và nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm đồng phẳng.

Bài 8:  Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Giả sử mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a (H.4.46)

a) Giải thích vì sao mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q)

b) Gọi b là giao tuyến của hai mặt phẳng (R) và (Q). Hai đường thẳng a và b có thể chéo nhau hay không, có thể cắt nhau hay không?

Giải nhanh:

a) Giả sử:

không => . Mà

=> (mâu thuẫn với giả thiết )

b) Vì => không thể chéo nhau => không có điểm chung

Giả sử: có điểm chung là => cũng có điểm chung là . Điều này mâu thuẫn với giả thiết

Bài 9: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD)

Giải nhanh:

// (Ví dụ 2) 

Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng với hai mặt phẳng và song song với nhau. Ta có  

Trong mặt phẳng qua vẽ đường thẳng song song với cắt tại H thì đường thẳng là giao tuyến của hai mặt phẳng và mặt phẳng

3. ĐỊNH LÍ THALES TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1: Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song. Hai đường thẳng phân biệt d và d' cắt ba mặt phẳng lần lượt tại A, B, C và A', B', C' (C khác C'). Gọi D là giao điểm của AC' và (Q) (H.4.48)

a) Các cặp đường thẳng BD và CC', B'D và AA' có song song với nhau không?

b) Các tỉ số có bằng nhau không?

Giải nhanh:

a)

b) .

Bài 2: Trong HĐ5, cho AB = 2 cm, BC = 4 cm và A'B' = 3 cm. Tính độ dài của đoạn thẳng B'C'

Giải nhanh:

Theo định lí Thalès trong không gian, ta có:

=> (cm)

4. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

Bài 3: Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình lăng trụ đứng tăm giác mà em đã học ở lớp 7

Giải nhanh:

Các hình ảnh đã cho trên đều có chứa hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song, các mặt còn lại chứa các cạnh đối diện song song

Bài 4: Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và  có độ dài bằng nhau.

Giải nhanh:

Xét mặt bên , theo lí thuyết, ta có //, lại có mặt phẳng () lần lượt cắt hai mặt phẳng song song và theo hai giao tuyến và nên // . Do vậy, tứ giác là hình bình hành 

=> // và =

Bài 5: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi M và M' lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và B'C'. Chứng minh rằng AMC.A'M'C' là hình lăng trụ

Giải nhanh:

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ đôi một song song nên đôi một song song (1).

Ta có: nên là hình thang.

Vì và lần lượt là trung điểm của cạnh và nên là đường trung bình của hình thang

=> đôi một song song (2).

Từ (1) và (2) suy ra  

=>

Do vậy là hình lăng trụ

Bài 6: Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

Giải nhanh:

Hình ảnh thứ hai từ trái 

Bài 7: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng hai mặt phẳng (ADDA') và (BCC'B') song song với nhau.

Giải nhanh:

Hình hộp có hai đáy và là các hình bình hành.

Ta có: =>

Lại có: =>

Trong có: 

và

Như vậy

Bài 8: Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp, bác Hà đặt một thanh gỗ đủ dài vào trong bể sao cho một đầu của thanh gỗ dựa vào mép của nắp bể, đầu còn lại nằm trên đáy bể (H.4.53). Sau đó bác Hà rút thanh gỗ ra ngoài và tính tỉ lệ giữa độ dài của phân thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ. Tỉ lệ này chính bằng tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể. Hãy giải thích vì sao?

Giải nhanh:

Khi mặt nước yên lặng thì mặt nước, nắp bể và đáy bể nằm trong ba mặt phẳng đôi một song song. Khi đó, thanh gỗ và chiều cao của bể đóng vai trò như hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng đôi một song song trên. Vậy áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta khẳng định được tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể chính là tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 4.21: Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt (P),(Q),(R). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu (P) chứa một đường thẳng song song với (Q)thì (P) song song với (Q)

b) Nếu (P) chứa hai đường thẳng song song với (Q) thì (P) song song với (Q).

c) Nếu (P) và (Q) song song với (R) thì (P)song song với (Q)

d) Nếu (P) và (Q)cắt (R)thì (P)và (Q) song song với nhau.

Giải nhanh:

c) Mệnh đề c) là mệnh đề đúng vì và là hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba là mặt phẳng thì và song song với nhau

Bài tập 4.22: Cho hình lăng trụ tam giác ABC⋅A′B′C′. Gọi M,N,P lần lượt là trung điểm của các cạnh AA′,BB′,CC′. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) song song với mặt phẳng (ABC).

Giải nhanh:

Vì là hình hình lăng trụ tam giác nên và là các hình bình hành hay cũng là các hình thang.

Vì là trung điểm của các cạnh nên là đường trung bình của hình thang , do đó =>

Tương tự, =>

Trong  mp(MNP): ;  

Như vậy

Bài tập 4.23: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Qua các điểm A,D lần lượt vẽ các đường thẳng m,n song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Chứng minh rằng mp(B,m) và mp(C,n) song song với nhau.

Giải nhanh:

Vì =>

Vì ABCD là hình thang =>  

=>

có

Như vậy

Bài tập 4.24: Cho hình tứ diện SABC. Trên cạnh SA lấy các điểm sao cho . Gọi (P) và (Q) là hai mặt phẳng song song với mặt phẳng (ABC) và lần lượt đi qua . Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại  . Mặt phẳng (Q) cắt các cạnh SB, SC lần lượt tại . Chứng minh ;

Giải nhanh:

Vì và =>

=> .

Theo định lí Thalés trong không gian, ta suy ra: .

Mà nên , suy ra:

, do đó ; .

Sử dụng định lí Thalès ta cũng chứng minh được .

Mà nên , suy ra

 , do đó và .

Như vậy, và

Bài tập 4.25: Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt phẳng (A'B'C'D') cắt các cạnh bên của hình lăng trụ lần lượt tại A'', B", C", D". Hỏi hình tạo bởi các điểm A, B, C, D, A", B'', C'', D'' là hình gì?

Giải nhanh:

Vì là hình lăng trụ tứ giác

=> . Mà

=> (1)

Ta có: (2)

Từ (1);(2) => là hình lăng trụ tứ giác. Vậy hình tạo bởi các điểm là hình lăng trụ tứ giác

Bài tập 4.26: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi G và G′lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABC và A′B′C′

a) Chứng minh rằng tứ giác AGG‘A’ là hình bình hành.

b) Chứng minh rằng AGC.A′G′C′ là hình lăng trụ.

Giải nhanh:

a) Gọi là trung điểm của ; là trung điểm của => là đường trung bình của hình bình hành

=> và

Do ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác nên

=> . Do đó, AMNA' là hình bình hành.

=>

Vì và lần lượt là trọng tâm của và nên .

Do đó,  

=> Tứ giác là hình bình hành

b) Vì tứ giác là hình bình hành =>

Tương tự: Tứ giác là hình bình hành =>

=>

Lại có:

Vậy là hình lăng trụ tam giác.

Bài tập 4.27: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Một mặt phẳng song song với mặt bên (ABB'A') của hình hộp và cắt các cạnh AD, BC, A'D', B'C' lần lượt tại M, N, M', N' (H.4.54). Chứng minh rằng ABNM.A'B'N'M'  là hình hộp

Giải nhanh:

là hình hộp 

=> và .

=>

Cmtt, ta có  

=>

Ta có: 

và;  

=>

Cmtt,

Mà =>(2)

Từ (1) và (2) suy ra là hình lăng trụ.

Tứ giác ABNM có và (do ) nên ABNM là hình bình hành.

Tứ giác có (do ) nên là hình bình hành.

Hình lăng trụ có đáy là hình bình hành nên nó là hình hộp.

Bài tập 4.28: Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng tương tự như những đốt xương cá, thường có những bậc cầu thang với khoảng mở lớn, tạo được sự nhẹ nhàng và thoáng đãng cho không gian sống. Trong Hình 4.55, phần mép của mỗi bậc thang nằm trên tường song song với nhau. Hãy giải thích tại sao.

Giải nhanh:

Các bậc cầu thang là các mặt phẳng song song với nhau, mặt phẳng tường cắt mỗi bậc của cầu thang theo các giao tuyến là phần mép của mỗi bậc cầu thang nằm trên tường nên các giao tuyến này song song với nhau