CHƯƠNG VIII. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

BÀI 28. BIẾN CỐ HỢP, BIẾN CỐ GIAO, BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

1. BIẾN CỐ HỢP

Bài 1: Một tổ trong lớp 11A có 10 học sinh. Điểm kiểm tra học kì I của 10 bạn này ở hai môn Toán và Ngữ văn được cho như sau:

Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

A: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn";

B: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Toán";

C: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn hoặc điểm giỏi môn Toán".

a) Mô tả không gian mẫu và các tập con A, B, C của không gian mẫu.

b) Tìm A∪ B

Giải nhanh: 

a) = {Bảo; Dung; Định; Lan; Long; Hương; Phúc; Cường; Tuấn; Trang}

A = {Dung; Long; Cường; Trang}

C = {Dung; Long; Lan; Hương; Phúc; Cường; Trang}

B = {Lan; Hương; Phúc; Cường; Trang}

b) = {Dung; Long; Cường; Trang; Lan; Hương; Phúc}

Bài 2: Một tổ trong lớp 11B có 4 học sinh nữ là Hương, Hồng, Dung, Phương và 5 học sinh nam là Sơn, Tùng, Hoàng, Tiến, Hải. Trong giờ học, giáo viên chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ đó lên bảng để kiểm tra bài. Xét các biến cố sau:

H: “Học sinh đó là một bạn nữ";

K: “Học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H".

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nêu nội dung của biến cố hợp M = H ∪ K. Mỗi biến cố H, K, M là tập con nào của không gian mẫu?

Giải nhanh: 

a) Ω = {Hương; Hồng; Dung; Phương; Sơn; Tùng; Hoàng; Tiến; Hải}

b) M: “Học sinh đó là một bạn nữ hoặc học sinh đó có tên bắt đầu là chữ cái H”

K  = {Hương; Hồng; Hoàng; Hải}

H = {Hương; Hồng; Dung; Phương}

M = {Hương; Hồng; Dung; Phương; Hoàng; Hải}

2. BIẾN CỐ GIAO

Bài 1: Trở lại tình huống trong HĐ1. Xét biến cố D: “Học sinh đó được điểm giỏi môn Ngữ văn và điểm giỏi môn Toán”.

a) Hỏi D là tập con nào của không gian mẫu?

b) Tìm A ∩ B. 

Giải nhanh: 

a) D = {Cường; Trang}

b) {Cường; Trang}

Bài 2: Một hộp đựng 25 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 25. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Xét các biến cố P: “Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 4”; Q: “Số ghi trên tấm thẻ là số chia hết cho 6”.

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Nội dung của biến cố giao S = PQ là gì? Mỗi biến cố P, Q, S là tập con nào của không gian mẫu? 

Giải nhanh: 

a) {1; 2; 3;…; 25}.

b) S: “Số ghi trên tấm thẻ chia hết cho cả 4 và 6”.

P = {4; 8; 12; 16; 20; 24}

Q = {6; 12; 18; 24}

Như vậy P, Q và S lần lượt là các tập con của không gian mẫu Ω.

Bài 3: Trở lại tình huống mở đầu. Sử dụng khái niệm biến cố hợp, biến cố giao, biến cố đối, ta biểu diễn biến cố G, H theo các biến cố M và N như sau:

Biến cố G xảy ra khi và chỉ khi hoặc gia đình đó có tivi và không có máy vi tính hoặc gia đình đó không có tivi và có máy vi tính. Vậy G = MN ∪

Biến cố H xảy ra khi và chỉ khi gia đình đó không có cả tivi và máy vi tính. Vậy H = MN. Hãy biểu diễn mỗi biến cố E, F theo các biến cố M và N.

Giải nhanh: 

do E xảy ra khi và chỉ khi gia đình đó có tivi hoặc máy vi tính 

do F xảy ra khi và chỉ khi gia đình đó có cả tivi và máy vi tính

3. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP

Bài 1: Hai bạn Minh và Sơn, mỗi người gieo đồng thời một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

A: "Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số chẵn";

B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3".

Việc xảy ra hay không xảy ra biến cố A có ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố B không? Việc xảy ra hay không xảy ra biến cố B có ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A không?

Giải nhanh: 

Việc xảy ra biến cố A không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố B, và ngược lại, việc xảy ra biến cố B cũng không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố A 

Bài 2: Trở lại tình huống trong HĐ3. Xét hai biến cố sau:

E: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Minh gieo là số nguyên tố”;

B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc bạn Sơn gieo là số chia hết cho 3”.

Hai biến cố E và B độc lập hay không độc lập? 

Giải nhanh: 

Hai biến cố E và B độc lập

4. BÀI TẬP

Bài 8.1: Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ và quan sát số ghi trên thẻ. Gọi A là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ nhỏ hơn 7"; B là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số nguyên tố".

a) Mô tả không gian mẫu.

b) Mỗi biến cố A ∪ B và AB là tập con nào của không gian mẫu?

Giải nhanh: 

a)

b)

Bài 8.2: Gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét các biến cố sau:

• E: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc đều là số chẵn;
• F: “Số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc khác tính chẵn lẻ"
• K: “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là số chẵn".

Chứng minh rằng K là biến cố hợp của E và F.

Giải nhanh: 

Nếu hoặc xảy ra thì xảy ra. Ngược lại, nếu xảy ra thì trong số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc phải có ít nhất một số chặn, nếu cả hai số đều chẵn thì xảy ra; nếu một số chẵn, một số lẻ thì xảy ra. Nghĩa là nếu xảy ra thì hoặc xảy ra hoặc F xảy ra.

Bài 8.3: Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong trường em. Xét hai biến cố sau:

P: “Học sinh đó bị cận thị”;

Q: “Học sinh đó học giỏi môn Toán".

Nêu nội dung của các biến cố P∪Q; PQ và

Giải nhanh: 

: "Học sinh đó hoặc bị cận thị hoặc học giỏi môn Toán".

: "Học sinh đó bị cận thị và học giỏi môn Toán".

: "Học sinh đó không bị cận thị và không học giỏi môn Toán".

Bài 8.4: Có hai chuồng nuôi thỏ. Chuồng I có 5 con thỏ đen và 10 con thỏ trắng. Chuồng II có 3 con thỏ trắng và 7 con thỏ đen. Từ mỗi chuồng bắt ngẫu nhiên ra một con thỏ. Xét hai biến cố sau:

• A: “Bắt được con thỏ trắng từ chuồng "I";
• B: “Bắt được con thỏ đen từ chuồng II".

Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.

Giải nhanh: 

B xảy ra, hoặc không xảy ra thì

A xảy ra, hoặc không xảy ra thì

Vậy A và B là hai biến cố độc lập.

Bài 8.5: Có hai chuồng nuôi gà. Chuồng I có 9 con gà mái và 3 con gà trống. Chuồng II có 3 con gà mái và 6 con gà trống. Bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng I để đem bán rồi dồn các con gà còn lại của chuồng I vào chuồng II. Sau đó bắt ngẫu nhiên một con gà của chuồng II. Xét hai biến cố sau:

• E: “Bắt được con gà trống từ chuồng I";
• F: “Bắt được con gà mái từ chuồng II".

Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F không độc lập.

Giải nhanh: 

+) Nếu E xảy ra: 

Sau khi bắt một con gà từ chuồng I và dồn số gà còn lại vào chuồng II thì chuồng II có 9 + 3 = 12 con gà mái và 2 + 6 = 8 con gà trống.

=>

+) Nếu E không xảy ra: 

Sau khi bắt một con gà từ chuồng I và dồn số gà còn lại vào chuông II thì chuông II có 8 + 3 = 11 con gà mái và 3 + 6 = 9 con gà trống.

=>

Như vậy hai biến cố E và F không độc lập