BÀI 16. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 

Bài 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số

 a) Tìm tập xác định của hàm số f(x)

b) Cho dãy số x_n = . Rút gọn f(x_n) và tính giới hạn của dãy (u_n) với u_n = f(x_n)

 c) Với dãy số (xn) bất kì sao cho xn≠2 và xn→2, tính f(xn) và tìm lim_n→+∞f(x_n) 

Giải nhanh:

a)

b)  

c)  

Vì và với mọi nên

=> lim_n→+∞

Bài 2: Tính lim_n->1

Giải nhanh:

 lim_n->1 lim_n->1= 2

Bài 3: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số f(x) =

a) Cho và . Tính y_n = f(x_n) và y’_n = f(x’_n)

b) Tìm giới hạn của các dãy số (y_n) và (y’_n)

c) Cho các dãy số (x_n) và (x′_n) bất kì sao cho x₀< 1 < x′_n và x_n→1, x′_n→1, tính lim_n->+∞ f(x_n) và lim_n->+∞ f(x’_n)

Giải nhanh:

a)

b) lim_n->+∞ y_n = -1 

lim_n->+∞ y’_n = 1

c) lim_n->+∞ f(x_n) = -1 

lim_n->+∞ f(x’_n) = 1

Bài 4: Cho hàm số f(x) = -x nếu x < 0 và  nếu x ≥ 0. Tính lim_n->0+ f(x_n); lim_n->0- f(x_n) và  lim_n->0 f(x_n)

Giải nhanh:

lim_n->0+ f(x_n) = 0

lim_n->0- f(x_n) = 0

lim_n->0 f(x_n) = 0

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Bài 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực. Cho hàm số f(x) = 1+ có đồ thị như hình 5.4

Giả sử (x_n) là dãy số sao cho x₀ > 1, x_n ⟶ +∞. Tính f(x_n) và tìm 

Giải nhanh:

Với là dãy số sao cho

Ta có:

Khi thì

Do đó lim

Bài 2: Tính lim_{x-> +}

Giải nhanh:

lim_{x-> +} = lim_{x-> +}

=lim_{x-> +} = lim_{x-> +}

Bài 3: Cho tam giác vuông OAB với A = (a; 0) và B = (0; 1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h.

a) Tính h theo a.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

Giải nhanh:

a) .

b) Khi điểm dịch chuyển về , ta có , suy ra , do đó điểm dịch chuyển về điểm .

c) Khi dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục , ta có .

Ta có: lim_{a-> +}= lim_{a-> +}

= lim_{a-> +} lim_{a-> +} 1

Do đó điểm dịch chuyển về .

. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

Bài 4: Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực

Xét hàm số có đồ thị như Hình 5.6.

Cho , chứng tỏ rằng f(x_n) ⟶ +∞.

Giải nhanh:

Ta có: , do đó

Vì nên và

Bài 5: Cho hàm số Với các dãy số (x_n) và (x’_n) cho bởi x_n = 1 +, x’_n = 1 - , tính lim _{n-> +} f(x_n) và lim _{n-> +} f(x’_n)

Giải nhanh:

 lim _{n-> +} f(x_n) = +∞

 lim _{n-> +} f(x’_n) = -∞

Bài 6: Tính các giới hạn sau:

a) lim _{x-> 0} =

b) lim _{x-> 2-} =

Giải nhanh:

a)

b)

Bài 7: Tính lim _x->2+ và lim _x->2-

Giải nhanh:

lim _x->2+ =

lim _x->2- =

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 5.7: Cho hai hàm số và g(x) = x+1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x)

b)

Giải nhanh:

+) Biểu thức có nghĩa khi

có nghĩa với mọi x.

Do điều kiện xác định của hai hàm số và khác nhau.

=> Khẳng định a sai.

+) Ta có : Lim_(x->1)

Lim_(x->1) 

Vậy nên khẳng định b là đúng

Bài tập 5.8: Tính các giới hạn sau

a) Lim_x->0

b) Lim_x->0

Giải nhanh:

a) Lim_x->0 = Lim_x->0 = Lim_x->0, với

b) Lim_x->0 Lim_x->0= Lim_x->0

Bài tập 5.9: Cho hàm số H(t) = 0 nếu t<0 và 1 nếu t ≥ 0 (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/ mở của dòng điện tại thời điểm t = 0).Tính lim_t->0+H(t) và lim_t->0-H(1)

Giải nhanh:

lim_t->0+

lim_t->0-

Bài tập 5.10: Tính các giới hạn một bên

a) lim_t->1+

b) lim_t->4-

Giải nhanh:

a) lim_t->1+

b)  lim_t->4-

Bài tập 5.11: Cho hàm số . Tìm lim_t->2+ g(x) và lim_t->2- g(x)

Giải nhanh:

+) lim_t->2+ g(x) = -1

+) lim_t->2- g(x) = 1

Bài tập 5.12: Tính các giới hạn sau:

a) lim_t->+

b) lim_t->+

Giải nhanh:

a) lim_t->+ = -2

b) lim_t->+

Bài tập 5.13: Cho hàm số . Tìm lim_t->2+ f(x) và lim_t->2- f(x)

Giải nhanh:

+) lim_t->2+ f(x) =

+) lim_t->2- f(x) =