CHƯƠNG V. GIỚI HẠN. HÀM SỐ LIÊN TỤC

BÀI 16: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 

Hoạt động 1. 

a) Biểu thức f(x) có nghĩa khi x-2⟺x≠2

Do đó, tập xác định của hàm số f(x) là D=R\ {2}.

b) Ta có:

f(x$_{n}$)=$\frac{4-(\frac{2n+1}{n})^{2}}{\frac{2n+1}{n}-2}$=$\frac{4-(4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{\frac{1}{n}}$=-4-$\frac{1}{n}$ 

u$_{n}$ =f(x$_{n}$) =(-4-$\frac{1}{n}$) =-4 

c) Ta có:

f(x$_{n}$)=$\frac{4x_{n}^{2}}{x_{n}-2}$=$\frac{(2-x_{n})(2+x_{n})}{-(2-x_{n})}$=-2-x$_{n}$ 

Vì x$_{n}$≠2 và x$_{n}$→2 với mọi n nên x$_{n}$ =2

Do đó, f(x) =(2-x$_{n}$) =-2-2=-4.

Khái niệm

Giả sử (a; b) là một khoảng chứa điểm x$_{0}$ và hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a; b), có thể trừ điểm x$_{0}$. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x$_{0}$ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$∈(a;b), x$_{n}$$\neq $x$_{0}$ và x$_{n}$$\rightarrow $x$_{0}$, ta có f(x$_{n}$)$\rightarrow $L, kí hiệu f(x) =L hay f(x)$\rightarrow $L khi x$\rightarrow $x$_{0}$.

Ví dụ 1: (SGK – tr.111)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112).

Quy tắc

a) Nếu f(x) =L và g(x) =M thì:

[f(x)+g(x)] =L+M 

[f(x)-g(x)] =L-M 

[f(x).g(x)] =L.M 

$\frac{f_{x}}{g_{x}}$ =$\frac{L}{M}$, nếu M≠0

b) Nếu f(x)≥0 với mọi x∈(a;b)\{x$_{0}$} và f(x) =L thì L≥0 và $\sqrt{f(x)}$ =L.

Chú ý:

+) c =c với c là hằng số.

+) x$^{n}$ =$_{0}^{n}$ với n∈N.

Ví dụ 2: (SGK – tr.112).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112).

Ví dụ 3: (SGK – tr.112)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.112, 113)

Luyện tập 1

Do mẫu thức có giới hạn là 0 khi x$\rightarrow $1 nên ta không thể áp dụng trực tiếp quy tắc tính giới hạn của thương hai hàm số.

Ta có: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$=$\frac{(\sqrt{x}+1)\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-1}$=$\sqrt{x}+1$

Do đó $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$ =$\sqrt{x}+1$=$\sqrt{x}+1$ =$\sqrt{1}+1$=2 

Hoạt động 2

a) Ta có: x$_{n}$=$\frac{n}{n+1}$<1 với mọi n => x$_{n}$1<0 với mọi n.

Do đó, y$_{n}$=f(x$_{n}$)=$\frac{\left | x_{n}-1 \right |}{x_{n}-1}$=-$\frac{x_{n}-1}{x_{n}-1}$=-1

Ta cũng có: x$_{n}$'=$\frac{n+1}{n}$>1 với mọi n => x$_{n}$'-1>0 với mọi n.

Do đó, y$_{n}$'=f(x$_{n}$')=$\frac{\left | x_{n}'-1 \right |}{x_{n}'-1}$=$\frac{x_{n}'-1}{x_{n}'-1}$=1

b) Ta có y$_{n}$ =(-1) =-1

y$_{n}$' =1 =1 

c) Ta có:

f(x)=$\frac{\left | x-1 \right |}{x-1}$={$\frac{x-1}{x-1}$   Nếu x-1>0 -$\frac{x-1}{x-1}$ Nếu x-1<0  

={1 nếu x-1>0    -1 nếu x-1<0  

Vì x$_{n}$<1<x$_{n}$', suy ra x$_{n}$-1<0 và x$_{n}$'-1>0 với mọi n.

Do đó, f(x$_{n}$)=-1 và f(x$_{n}$')=1

Vậy f(x$_{n}$) =-1 và f(x$_{n}$') =1.

Khái niệm

+ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x$_{0}$;b). Ta nói số L là giới hạn bên phải của f(x) khi x$\rightarrow $x$_{0}$ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì thỏa mãn x$_{0}$<x$_{n}$<b và x$_{n} \rightarrow $x$_{0}$, ta có f(x)$\rightarrow $L, kiếu hiệu f(x) =L.

+ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x$_{0}$). Ta nói số L là giới hạn bên trái của f(x) khi x$\rightarrow $x$_{0}$ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì thỏa mãn a<x$_{n}$<x$_{0}$ và x$_{n} \rightarrow $x$_{0}$, ta có f(x$_{n}$)$\rightarrow $L, kí hiệu f(x) =L.

Ví dụ 4: (SGK – tr.113).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.113).

Chú ý;

f(x) =L khi và chỉ khi f(x) =f(x) =L.

Luyện tập 2

Với dãy số (x$_{n}$) bất kì sao cho x$_{n}$<0 và x$_{n} \rightarrow $0, ta có f(x$_{n}$)=-x$_{n}$

Do đó 

f(x) =f(x$_{n}$) =(-x$_{n}$) =0 

Tương tự, với dãy số (x$_{n}$) bất kì sao cho x$_{n}$>0 và x$_{n} \rightarrow $0, ta có f(x$_{n}$)=$\sqrt{x_{n}}$.

Do đó 

f(x) =f(x$_{n}$) =$\sqrt{x_{n}}$ =0 

Khi đó, f(x) =f(x) =0

Vậy f(x) =0

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Hoạt động 3:

Với (x$_{n}$) là dãy số sao cho x$_{n}$>1, x$_{n} \rightarrow $+∞

Ta có: f(x$_{n}$)=1+$\frac{2}{x_{n}-1}$

Khi x$_{n} \rightarrow $+∞ thì $\frac{2}{x_{n}-1}$ =0

Do đó f(x$_{n}$) =(1+$\frac{2}{x_{n}-1}$) =1

Khái niệm

- Cho hàm số y=fx xác định trên khoảng (a; +∞). Ta nói hàm số fx có giới hạn là số L khi x$\rightarrow $+∞ nếu với dãy số xn bất kì, x$_{n}$>a và x$_{n} \rightarrow $+∞, ta có f(x$_{n}$)$\rightarrow $L. Kí hiệu f(x) =L hay f(x)$\rightarrow $L khi x$\rightarrow $+∞.

- Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (-∞;b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x$\rightarrow $-∞ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$<b và x$_{n} \rightarrow $-∞, ta có f(x$_{n}$)$\rightarrow $L, kí hiệu f(x) =L hay f(x)$\rightarrow $L khi x$\rightarrow $-∞.

Ví dụ 5: (SGK – tr.114).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.114).

Quy tắc và công thức

+ Các quy tắc tính giới hạn hữu hạn tại một điểm cũng đúng cho giới hạn hữu hạn tại vô cực.

+ Với c là hằng số, ta có: c =c, c =c.

+ Với k là một số nguyên dương, ta có: $\frac{1}{x^{k}}$

$\frac{1}{x^{k}}$ =0 

Ví dụ 6: (SGK – tr.115)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.115).

Luyện tập 3

Ta có: 

$\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x+1}$=$\frac{\sqrt{x^{2}(1-\frac{2}{x^{2}})}}{x(1+\frac{1}{x})}$

=$\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{(1+\frac{1}{x})}$

=$\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}$=$\frac{\sqrt{1}}{1}$=1

Vận dụng

a) Ta có: A=(a;0) => OA=a; B=(0;1) => OB=1.

Áp dụng định lý Pythagore vào ∆OAB vuông có:

AB=$\sqrt{1+a^{2}}$

Ta có: 

OH . AB=OA . OB⟺h.$\sqrt{1+a^{2}}$=a.1  

=> h=$\frac{q}{\sqrt{1+a^{2}}}$.

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, ta có OA=a=0, suy ra h=0, do đó điểm H dịch chuyển về điểm O.

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, ta có OA=a$\rightarrow $+∞.

Ta có:

h =$\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}+1}}$=$\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}(1+\frac{1}{a^{2}})}}$=$\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{a^{2}}}}$ =1 

Do đó điểm H dịch chuyển về B.

3. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

a) Giới hạn vô cực

Hoạt động 4

Ta có: x$_{n}$=$\frac{1}{n}$ , do đó f(x$_{n}$)=$\frac{1}{x_{n}^{2}}$=$\frac{1}{(\frac{1}{n})^{2}}$=n$^{2}$

Vì n$\rightarrow $+∞ nên x$_{n}$=$\frac{1}{n} \rightarrow $0 và f(x$_{n}$)$\rightarrow $+∞

Khái niệm

Giả sử khoảng (a;b) chứa x$_{0}$ và hàm số y=f(x) xác định trên a;b\{x${0}$}. Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x$\rightarrow $x$_{0}$ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$(a;b)\ {x$_{0}$}, x$_{n}$$\rightarrow $x$_{0}$, ta có f(x$_{n}$)$\rightarrow $+∞, kí hiệu f(x) =+∞.

Ta nói hàm số f(x) có giới hạn -∞ khi: 

x$\rightarrow $x0, kí hiệu f(x) =-∞, nếu [-f(x)] =+∞

Ví dụ 7: (SGK – tr.115)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.115).

Hoạt động 5

Ta có: f(x$_{n}$) =$\frac{1}{x_{n}-1}$

=$\frac{1}{(1+\frac{1}{n})-1}$=$\frac{1}{\frac{1}{n}}$=n =+∞ 

 f(x$_{n}$') =$\frac{1}{x_{n}'-1}$ =$\frac{1}{(1-\frac{1}{n})-1}$

=(-n) =-∞ 

Kết luận

+ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (x$_{0}$;b). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x$\rightarrow $x$_{0}$ về bên phải nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì thỏa mãn x$_{0}$<x$_{n}$<b, x$_{n} \rightarrow $x$_{0}$, ta có f(x$_{n}$)$\rightarrow $+∞, kí hiệu f(x) =+∞.

+ Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng (a;x$_{0}$). Ta nói hàm số f(x) có giới hạn +∞ khi x$\rightarrow $x$_{0}$ về bên trái nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì thỏa mãn a<x$_{n}$<x$_{0}$, x$_{n} \rightarrow $x$_{0}$, ta có f(x$_{n}$)$\rightarrow $+∞, kí hiệu f(x) =+∞.

+ Các giới hạn một bên f(x) =-∞ và f(x) =-∞ được định nghĩa tương tự.

Ví dụ 8: (SGK – tr.116).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.116).

Luyện tập 4

a) Với x$_{n}$≠0, x$_{n} \rightarrow $0. Ta có:$\left | x_{n} \right | \rightarrow $0 và x$_{n}$>0

Do vậy $\frac{2}{\left | x_{n} \right |}$=+∞

Từ đó $\frac{2}{\left | x \right |}$ =+∞

b) Với x$_{n}$<2, x$_{n} \rightarrow $2 ta có $\sqrt{2-x_{n}}$ $\rightarrow $0+.

Do đó $\frac{1}{\sqrt{1-x_{n}}}$ =+∞ và 

$\frac{1}{\sqrt{2-x}}$ =+∞

Chú ý: Các giới hạn f(x) =+∞, f(x) =+∞, f(x) =-∞ và f(x) =-∞ được định nghĩa tương tự như giới hạn của hàm số f(x) tại vô cực. Chẳng hạn: T nói hàm số y=f(x), xác định trên khoảng (a; +∞), có giới hạn là -∞ khi x$\rightarrow $+∞ nếu với dãy số (x$_{n}$) bất kì, x$_{n}$>a và x$_{n} \rightarrow $+∞, ta có f(x$_{n}$)$\rightarrow $-∞, kí hiệu f(x) =-∞ hay f(x)$\rightarrow $-∞ khi x$\rightarrow $+∞.

Một số giới hạn đặc biệt:

+ x$^{k}$=+∞ với k nguyên dương.

+ x$^{k}$ =+∞ với k là số nguyên dương chẵn.

+ x$^{k}$ =-∞ với k là số nguyên dương lẻ.

b) Một số quy tắc tính giới hạn vô cực

+ Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x)g(x)

Giả sử f(x) =L≠0 và g(x) =+∞ (hoặc -∞). Khi đó f(x)g(x) được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

+ Quy tắc tìm giới hạn của thương $\frac{f_{n}}{g_{n}}$

- Các quy tắc trên vẫn đúng cho trường hợp x$\rightarrow $x+, x$\rightarrow $x$_{0}$, x$\rightarrow $+∞ và x$\rightarrow $-∞

Ví dụ 9: (SGK – tr.117)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.117).

Ví dụ 10: (SGK – tr.117)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.117).

Luyện tập 5

+) Ta có: (x-2) =0, x-2>0 với mọi x>2 và (2x-1) =2.2-1=3>0

Do đó, $\frac{2x-1}{x-2}$ =+∞.

+) Ta có: (x-2) =0, x-2<0 với mọi x<2 và (2x-1) =2.2-1=3>0

Do đó, $\frac{2x-1}{x-2}$ =-∞.