Giải siêu nhanh toán 11 kết nối bài 16: Giới hạn của hàm số

Giải siêu nhanh bài 16: Giới hạn của hàm số toán 11 kết nối tri thức. Bài giải đáp toàn bộ câu hỏi và bài tập trong sách giáo khoa mới. Với phương pháp giải tối giản, hi vọng học sinh sẽ tiếp cận nhanh bài làm mà không phải mất quá nhiều thời gian.


Nếu chưa hiểu - hãy xem: => Lời giải chi tiết ở đây

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 

Bài 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm...

Đáp án:

a) Tập xác định là D=R\{2}

b) $f(x_{n})=\frac{4-(\frac{2+n}{n})^{2}}{\frac{2n+1}{n}-2}=\frac{4-(4+\frac{4}{n}+\frac{1}{n^{2}})}{\frac{1}{n}}=-4-\frac{1}{n}$

 $f(x_{n})=-4-\frac{1}{n}=-4$

c) $f(x_{n})=\frac{4-(x_{n})^{2}}{x_{n}-2}=\frac{(2-x_{n})(2+x_{n})}{-(2-x_{n})}=-2-x_{n}$

Vì $x_{n}\neq 2$ và $x_{n} \rightarrow 2$ nên $x_{n}=2$

=> $f(x)=(2-x_{n})=-4$

Bài 2: Tính...

Đáp án:

$\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=(\sqrt{x}+1)=\sqrt{x}+1=2$

Bài 3: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên...

Đáp án:

a) $x_{n}=\frac{n}{n+1}< 1 \forall n$ => $x_{n}< 0\forall n$

Do đó, $y_{n}=f(x_{n})=\frac{\left |x_{n}-1 \right |}{x_{n}-1}=\frac{x_{n}-1}{x_{n}-1}=1$

${x}'_{n}=\frac{n+1}{n}> 1 \forall n$ => ${x}'_{n}-1> 0 \forall n$

Do đó, ${y}'_{n}=f({x}'_{n})=\frac{\left |{x}'_{n}-1 \right |}{{x}'_{n}-1}=\frac{{x}'_{n}-1}{{x}'_{n}-1}=1$

b) $y_{n}=(-1)=-1$

${y}'_{n}=1=1$

c) $f(x)=\frac{\left | x-1 \right |}{x-1}=\left\{\begin{matrix} \frac{x-1}{x-1}\end{matrix}\right.$ Nếu $x-1>0 -\frac{x-1}{x-1}$ Nếu x-1<0 

={1 nếu x-1>0 -1 nếu x-1<0

Vì $x_{n}<1<{x}'_{{n}'}$ => $x_{n}-1<0$ và  ${x}'_{n}-1>0 \forall n$

Vậy $f(x_{n})=-1$ và $f({x}'_{n})=1$

Bài 4: Cho hàm số...

Đáp án:

Với dãy số $(x_{n})$  bất kì sao cho $x_{n}<0$ và $x_{n}\rightarrow0$, ta có $f(x_{n}) =-x_{n}$

Do đó f(x)=0 

Với dãy số  $(x_{n})$  bất kì sao cho $x_{n}>0$ và $x_{n}\rightarrow0$, ta có $f(x_{n}) = \sqrt{x_{n}}$

Do đó f(x) =0 

Do f(x) =f(x) =0 => f(x) =0

2. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ TẠI VÔ CỰC

Bài 1: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực...

Đáp án:

 Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực...

$f({x_{n}})=1+\frac{2}{x_{n}-1}$

$f({x_{n}})=1+\frac{2}{x_{n}-1}=1$

Bài 2: Tính...

Đáp án:

$\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x+1}=\frac{\sqrt{x^{2}(1-\frac{2}{x^{2}})}}{x(1+\frac{1}{x})}=\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x})}=\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}}=1$

Bài 3: Cho tam giác vuông...

Đáp án:

Cho tam giác vuông...

a) Xét $\triangle OAB$ vuông tại O có:

$AB=\sqrt{1+a^{2}}$ (định lý Pythagore)

Ta có: OH . AB=OA . OB <=> $h.\sqrt{1+a^{2}}=a$  => $h=\frac{a}{\sqrt{1+a^{2}}}$

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, ta có OA=a=0 => h=0, do đó điểm H dịch chuyển về gần A hơn và h sẽ về điểm O.

c) $\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+1}}=\sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2}(1+\frac{1}{a^{2}})}}=\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{a^{2}}}}=1$

Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox điểm H dịch chuyển về B và dần về 1

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Bài 1: Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực...

Đáp án:

Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực...

Ta có: R∖{0} 

$f(x_{n})=\frac{1}{x_{n}^{2}}=\frac{1}{(\frac{1}{n})^{2}}=n^{2}$

Vì $n \rightarrow +\infty$ nên $x_{n}=\frac{1}{n}$ →0 và $f(x_{n})\rightarrow +\infty $

Bài 5: Cho hàm số...

Đáp án:

$f(x_{n})=\frac{1}{x_{n}-1}=\frac{1}{(1+\frac{1}{n})-1} =+\infty $

$f({x}'_{n})=\frac{1}{{x}'_{n}-1}=\frac{1}{(1-\frac{1}{n})-1} =-\infty$ 

Bài 6: Tính các giới hạn...

Đáp án:

a) Ta có: $\left | x_{n} \right | \rightarrow 0$ và $\left | x_{n} \right | >0$. Do vậy $\frac{2}{\left | x_{n} \right |}=+\infty$

=> $\frac{2}{\left | x \right |}=+\infty$

b) Ta có $\sqrt{2-x_{n}}\rightarrow 0^{+}$ => $\frac{1}{\sqrt{2-x}}=+\infty $

Bài 7: Tính...

Đáp án:

+) (x-2) =0, x-2>0$\forall $ x>2 và 2x-1 =3>0.

=> $\frac{2x-1}{x-1}=+\infty $

+) (x-2) =0, x-2<0 $\forall $x<2 và 2x-1 =3>0

=> $\frac{2x-2}{x-2}=-\infty $

BÀI TẬP CUỐI SGK
Bài tập 5.7: Cho hai hàm số...

Đáp án:

a) Sai

Biểu thức f(x) có nghĩa khi $x-1 \neq 0$ <=> x=1

$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1$ $\forall x\neq 1$

Biểu thức g(x)=x+1 có nghĩa $\forall x$.

Hàm số f(x) và g(x) khác nhau có điều kiện xác định khác nhau.

b) Đúng

$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1=2$;

gx =(x+1) =2 

=> f(x) =g(x) = 2

Bài tập 5.8: Tính các giới hạn sau...

Đáp án:

a) $\frac{(x+2)^{2}-4}{x}=\frac{x^{2}+4x}{x}=(x+4)=4$

b) $\frac{\sqrt{x^{2}-9}-3}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}(\sqrt{x^{2}+9}+3)}=\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}+3}=\frac{1}{6}$

Bài tập 5.9: Cho hàm số...

Đáp án:

H(t) =$H(t_{n})$=0 =0 

H(t) =$H(t_{n})$ =1 =1 

Bài tập 5.10: Tính các giới hạn một bên...

Đáp án:

a) (x-2) =-1 ; (x-1) =0 với x>1.

=> $\frac{x-2}{x-1}=-\infty$ 

b) $x^{2}-x+1=13$ ; (4-x) =0 với x<4.

=> $\frac{x^{2}-x+1}{4-x}=+\infty $

Bài tập 5.11: Cho hàm số...

Đáp án:

$g(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{x-2}=(x-3)=-1$

$g(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{2-x}=(3-x)=1$

Bài tập 5.12: Tính các giới hạn sau...

Đáp án:

a) $\frac{1-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}=\frac{\frac{1}{x}-2}{\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}=-2$

b) $(\sqrt{x^{2}+x+2}-x)=\frac{x+2}{\sqrt{x^{2}+x+2}+x}=\frac{1+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{2}{x^{2}}}+1}=\frac{1}{2}$

Bài tập 5.13: Cho hàm...

Đáp án:

$f(x)=\frac{2}{(x-1)(x-2)}=\frac{2}{x-1}\cdot \frac{1}{x-2}$

+) $\frac{2}{x-1}=\frac{2}{2-1}=2>0$ và $\frac{1}{x-2}=+\infty$  (do x-2>0 khi x>2)

=> $f(x)=\frac{2}{(x-1)(x-2)}=+\infty$ 

+) $\frac{2}{x-1}=\frac{2}{2-1}=2>0$ và $\frac{1}{x-2}=-\infty$ (do x-2<0 khi x<2)

=> $f(x)=\frac{2}{(x-1)(x-2)}=-\infty$ 

 

Nếu chưa hiểu - hãy xem: => Lời giải chi tiết ở đây

Nội dung quan tâm khác

Thêm kiến thức môn học

Từ khóa tìm kiếm: Giải SGK Toán 11 Kết nối tri thức, giải toán 11 KNTT, giải bài tập sách giáo khoa toán 11 kết nối tri thức, Giải SGK bài 16: Giới hạn của hàm số

Bình luận

Giải bài tập những môn khác