1. GÓC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Nhận biết khái niệm góc lượng giác...

Đáp án:

a) Để chỉ đúng số 12, phải quay kim phút một khoảng bằng $\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$ vòng tròn theo chiều ngược kim đồng hồ

b) Để chỉ đúng số 12, phải quay kim phút một khoảng bằng $\frac{10}{12}=\frac{5}{6}$ vòng tròn theo chiều quay kim đồng hồ 

c) Có 2 cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng về vị trí số 12:

- Quay ngược chiều kim đồng hồ 

- Quay theo chiều quay của kim đồng hồ.

Bài 2: Cho góc hình học $uOv = 45^{\circ}$. Xác định số đo của góc lượng giác (Ou,Ov) trong mỗi trường hợp... 

Đáp án:

a. sđ(Ou, Ov) = $45^{\circ}$

b. sđ(Ou, Ov)=$-(360^{\circ}-45^{\circ})=-315^{\circ}$

Bài 3: Nhận biết hệ thức Chasles....

Đáp án:

a) sđ(Ou, Ov) = $30^{\circ}$

sđ(Ov, Ow) = $45^{\circ}$;  

sđOu, Ow= $-(360^{\circ}-45^{\circ}-30^{\circ})=-285^{\circ}$

b)  sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = $30^{\circ} + 45^{\circ} = 75^{\circ}$

Mà $-285^{\circ}+1.360^{\circ}=75^{\circ}$.

Vậy tồn tại một số nguyên k=1 để sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + $k360^{\circ}$.

Bài 4: Cho một góc lượng giác...

Đáp án:

sđ(Ou, Ov)=sđ(Ox, Ov)–sđ(Ox, Ou)+k360$^{\circ}$. 

= – 510$^{\circ}$ + k360$^{\circ}$ 

= 210$^{\circ}$ – 720$^{\circ}$ + k360$^{\circ}$ 

= 210$^{\circ}$+(k – 2)360$^{\circ}$

= 210$^{\circ}$+m360$^{\circ}$ (m=k – 2,$ m \in Z$). 

Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 210$^{\circ}$+m360$^{\circ}$ ($m\in Z$).

2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

Bài 1: a) Đổi từ độ sang radian các số đo...

Đáp án:

a) 360$^{\circ}$=$360.\frac{\pi}{180}=2 \pi$

-450$^{\circ}$=-$\frac{5\pi}{2}$

b) $3\pi=3\pi.(\frac{180}{\pi})^{\circ}=540^{\circ}$

$-\frac{11\pi}{5}=-396$

Bài 2: Xây dựng công thức tính độ dài của cung tròn...

Đáp án:

a) Độ dài cung tròn có số đo bằng 1 rađian là R.

b) Độ dài của một cung tròn có số đo rad là $\alpha R$.

Bài 3: Giải bài toán ở tình huống mở đầu...

Đáp án:

Bán kính quỹ đạo từ trạm vũ trụ quốc tế đến tâm trái đất là

R=6400+400=6800 (km)

Vậy trạm ISS đã di chuyển được số km là:

$l=R.\alpha=6800.\frac{\pi}{4}\approx 5340,708\approx 5 341$ km.

3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Nhận biết khái niệm đường tròn lượng giác...

Đáp án:

a) Ta có: sđ(OA, OM) = $\frac{5\pi}{4}= \pi + \frac{\pi}{4}$

Minh họa như hình vẽ dưới đây:

b) Ta có: sđ(OA, ON) = $-\frac{7\pi}{4} =-(\frac{3\pi}{4}+\pi)$

Minh họa như hình vẽ dưới đây:

Bài 2: Xác định các điểm M và N trên đường tròn lượng...

Đáp án:

Điểm M biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{15\pi}{4}=-(\frac{3\pi}{4}+3\pi)$ được xác định trong hình dưới đây:

Điểm N biểu diễn góc lượng giác có số đo 420$^{\circ}$=60$^{\circ}$+360$^{\circ}$ bằng được xác định trong hình dưới đây:

Bài 3: Nhắc lại giá trị lượng giác...

Đáp án:

Với mỗi góc $\alpha (0^{\circ}\leq \alpha \leq 180^{\circ})$, gọi $M(x_{o}; y_{o})$ là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho \widehat{xOM}=\alpha. Khi đó:

+ sin của góc là tung độ $y_{o}$ của điểm M, kí hiệu là $sin\alpha $; $sin\alpha=y_{o}$

+ côsin của góc là hoành độ của x0 của điểm M, kí hiệu là $cos\alpha $; $cos\alpha=x_{o}$

+ Khi 90$^{\circ}$ (hay là $x_{o}\neq 0$), tang của là $\frac{y_{o}}{x_{o}}$, kí hiệu là tan ; 

$tan = \frac{y_{o}}{x_{o}}$

+ Khi 0$^{\circ}$ và 180$^{\circ}$ (hay $y_{o}\neq 0$), côtang của là $\frac{x_{o}}{y_{o}}$, kí hiệu là cot ;

$cot =\frac{x_{o}}{y_{o}}$ 

Bài 4: Cho góc lượng giác có số đo...

Đáp án: 

a)  Điểm M có số đo bằng $\frac{5\pi}{6}$ được xác định trên đường tròn lượng giác như sau:

b) $cos \frac{5\pi}{6} =-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$sin\frac{5\pi}{6}=\frac{1}{2}$ 

$tan \frac{5\pi}{6} = \frac{sin\frac{5\pi}{6}}{cos\frac{5\pi}{6}} =-\frac{\sqrt{3}}{3}$

$cot\frac{5\pi}{6} = \frac{cos\frac{5\pi}{6}}{sin\frac{5\pi}{6}} =\sqrt{3}$

Bài 5: Sử dụng máy tính cầm tay để...

a) Dùng máy tính cầm tay fx570VN PLUS.

+ Để tính $cos \frac{3\pi}{7}$ ta thực hiện bấm phím lần lượt:

Vậy $cos \frac{3\pi}{7} \approx 0,222520934$.

+ Để tính tan (-37$^{\circ}$25') ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Vậy tan (-37$^{\circ}$25') = –0,76501876.

b) Đổi 179°23'30" sang rađian ta thực hiện bấm phím như sau:

Vậy 179$^{\circ}$23'30" $\approx $3,130975234 (rad).

c) Đổi 79 rad sang độ ta thực hiện bấm phím như sau:

Vậy 79 rad = 44$^{\circ}$33'48,18".

4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Nhận biết các công thức lượng giác cơ bản...

Đáp án:

a) Ta có: $sin\alpha =y$; $cos \alpha =x$

Do đó, $(sin\alpha )^{2}+(sin\alpha )^{2}=y^{2}+x^{2}$

Từ hình vẽ ta thấy $x^{2}+y^{2}= R^{2}$ (định lý Pythagore và đường tròn đơn vị có bán kính R = 1).

Vậy $sin \alpha+cos\alpha =1$.

b)  Dựa vào kết quả câu a, ta có:

$tan\alpha=\frac{sin\alpha}{cos\alpha}$

=> $\alpha=(\frac{sin\alpha}{cos\alpha})^{2} (\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi (k\in Z))$

Do đó, $1+\alpha=1+\frac{\alpha}{\alpha}=\frac{\alpha+\alpha}{\alpha}=\frac{1}{\alpha}$

Vậy $1+\alpha=\frac{1}{\alpha}$

Bài 2: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha$, biết...

Đáp án:

Vì $\pi< \alpha< \frac{3\pi}{2}$ nên $sin\alpha <0$

$\alpha + \alpha=1$

$sinsin\alpha = -\sqrt{1-\alpha}=-\sqrt{1-(-\frac{-2}{3})^{2}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

=> $tantan\alpha=\frac{sinsin\alpha }{coscos\alpha}=\frac{\frac{-\sqrt{5}}{3}}{\frac{-2}{3}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$

$cotcot\alpha=\frac{1}{tantan\alpha}=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Bài 3: Nhận biết liên hệ giữa giá trị lượng giác của các góc đối nhau...

Đáp án:

a) Nhận xét: Hai điểm M và N đối xứng nhau qua hệ trục Oxy.

Suy ra $sin\alpha =-sin(-\alpha)$ hay $sin(-\alpha)=-sin\alpha$

b) Ta có: 

$tan(-\alpha)=\frac{sin(-\alpha)}{cos(-\alpha)}=-\frac{sin\alpha}{cos \alpha}=-tan\alpha$

$cot(-\alpha)=\frac{cos(-\alpha)}{sin(-\alpha)}=\frac{cos\alpha}{-sin\alpha}=-cot\alpha$

Vậy $tan(-\alpha)=-tan\alpha$

$cot(-\alpha)=-cot\alpha$

Bài 4: Tính...

Đáp án:

a) $sin (-675^{\circ})=sin(45^{\circ}-2.360^{\circ})=sin45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

b) $tan(\frac{15\pi}{4})=tan(\frac{-\pi}{4}+4\pi)=-tan\frac{\pi}{4}=-1$

Bài 5: Huyết áp của mỗi người thay đổi trong ngày...

Đáp án:

a) t = 6, khi đó 

$B(6) = 80+7sin\frac{6\pi}{12} =87$.

b) tức t = 10,5, khi đó: 

$B(10,5) = 80+7sin\frac{10,5\pi}{12} \approx 82,68$

c) t=12, khi đó $B(12) = 80+7sin\frac{12\pi}{12}=80$

d) t = 20, khi đó:

$B(20) = 80+7sin\frac{6\pi}{12}=\frac{160-7\sqrt{3}}{2}$

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1.1: Hoàn thành bảng sau...

Đáp án:

Bài 1.2: Một đường tròn có bán kính 20 cm...

Đáp án:

a) $l_{1}=20.\frac{\pi}{12}=\frac{5\pi}{3}$ (cm) 

b) $l_{2}=20.1,5=30$ (cm) 

c) Ta có : $35^{\circ}=35.\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{36}$

$l_{3}=20.\frac{7\pi}{36}=\frac{35\pi}{9}$ (cm)

d) Ta có: $315^{\circ}=315.\frac{\pi}{180}=\frac{7\pi}{4}$

$l_{4}=20.\frac{7\pi}{4}=35\pi$ (cm).

Bài tập 1.3: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm M biểu diễn các góc lượng giác có số đo...

Đáp án:

a) Điểm M biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{2\pi}{3}$

b) Điểm M biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $-\frac{11\pi}{4}=-(\frac{3\pi}{4}+2\pi)$

c) Điểm M biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 150$^{\circ}$:

d) Điểm M biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng –225$^{\circ}$:

Bài tập 1.4: Tính các giá trị lượng giác góc α, biết...

Đáp án:

a) Vì $0< \alpha< \frac{\pi}{2}$ nên $sinsin\alpha >0$. Mặt khác, từ $\alpha + \alpha=1$ suy ra: 

$sinsin\alpha = \sqrt{1-\alpha}=-\sqrt{1-\frac{1}{25}}=-\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Do đó,  $tantan\alpha=\frac{sinsin\alpha }{coscos\alpha}=\frac{\frac{2\sqrt{6}}{5}}{\frac{1}{5}}=2\sqrt{6}$

$cotcot\alpha=\frac{1}{tantan\alpha}=\frac{1}{2\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}{12}$

b) Vì $\frac{\pi}{2}< \alpha<\pi$ nên $coscos\alpha <0$. Mặt khác, từ $\alpha + \alpha=1$ suy ra: 

$coscos\alpha = \sqrt{1-\alpha}=-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

Do đó,  $tantan\alpha=\frac{sinsin\alpha }{coscos\alpha}=\frac{\frac{2}{3}}{-\frac{\sqrt{5}}{3}}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$

$cotcot\alpha=\frac{1}{tantan\alpha}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$

c) Ta có : $cotcot\alpha=\frac{1}{tantan\alpha}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

Vì $\pi< \alpha<\frac{3\pi}{2}$ nên $coscos\alpha <0$. Mặt khác, từ $1+ \alpha =\frac{1}{\alpha}$, suy ra: 

$coscos\alpha=-\sqrt{\frac{1}{1+\alpha}}=-\sqrt{\frac{1}{1+(\sqrt{5})^{2}}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$

Mà $tantan\alpha=\frac{sinsin\alpha }{coscos\alpha}$ => $sinsin\alpha=tantan\alpha.coscos\alpha=\sqrt{5}.(-\frac{\sqrt{6}}{6})=-\frac{\sqrt{30}}{6}$

d) Ta có : $tantan\alpha=\frac{1}{cotcot\alpha}=\frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\sqrt{2}$

Vì $\frac{3\pi}{2}< \alpha<2\pi$ nên $coscos\alpha >0$. Mặt khác, từ $1+ \alpha =\frac{1}{\alpha}$ suy ra:

$coscos\alpha=\sqrt{\frac{1}{1+\alpha}}=\sqrt{\frac{1}{1+(-\sqrt{2})^{2}}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Mà $tantan\alpha=\frac{sinsin\alpha }{coscos\alpha}$ => $sinsin\alpha=tantan\alpha.coscos\alpha=-\sqrt{2}.(\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{\sqrt{6}}{3}$

Bài tập 1.5: Chứng minh các đẳng thức...

Đáp án:

a) Ta có: $VT=\alpha -\alpha=(\alpha)^{2}-(\alpha)^{2}=(\alpha+\alpha)(\alpha-\alpha)=1(\alpha-\alpha)=\alpha-(1-\alpha)=2\alpha-1=VP$ (đpcm). 

b) Ta có: $VT= \frac{\alpha+\alpha-1}{\alpha}=\frac{\alpha}{\alpha}+\frac{\alpha}{\alpha}-\frac{1}{\alpha}=\alpha+\frac{\frac{\alpha}{\alpha}}{\alpha}-(1+\alpha)=\alpha+\frac{1}{\alpha}-1-\alpha=\frac{1}{\alpha}-1=(1+\alpha)-1=\alpha=VP$ (đpcm).

Bài tập 1.6: Bánh xe của người đi xe đạp quay được 11 vòng trong 5 giây...

Đáp án:

a) Trong 1 giây, bánh xe đạp quay được $\frac{11}{5}$ vòng

Vì 1 vòng bằng 360° nên trong 1 giây góc mà bánh quay xe quay được là: 

$\frac{11}{5}.360=792^{\circ}$

Vì 1 vòng bằng 2π nên trong 1 giây góc mà bánh quay xe quay được là: 

$\frac{11}{5}.2\pi=\frac{22\pi}{5}$ (rad).

b) Ta có: 1 phút = 60 giây.

Trong 60 giây bánh xe quay được số vòng là:

$\frac{60.11}{5}=132$ (vòng)

Chu vi bánh xe là: $C=680\pi$ (mm).

Trong 1 phút người đi xe đạp đã đi được số m là:

$680\pi.132=89 760\pi (mm)=89,76\pi$ (m).