1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Quan sát bốn tuyến đường trong...

Đáp án:

a) Hai tuyến đường giao nhau là: mũi tên màu đỏ và mũi tên màu vàng.

b) Hai tuyến đường không giao nhau là: mũi tên màu xanh dương và màu xanh lá cây.

c) Hai tuyến đường song song là: mũi tên màu xanh dương và mũi tên màu đỏ.

Bài 2: Hãy tìm một số hình ảnh về hai đường...

Đáp án:

- Hình ảnh hai đường thẳng song song: Hai cạnh đối diện của chiếc bàn, vạch kẻ đường

- Hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau: Cạnh bàn và đường nối chân bàn. 

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành...

Đáp án:

a) Hai đường song song với nhau là AB và CD (vì ABCD là hình bình hành)

Hai đường cắt nhau là: $AB\cap AC=A$; $AC\cap CD=C$

b) $M\in SA$; $N\in SB$ => $M, N\in mp(SAB)$

=> S, A, B, M, N cùng thuộc một mặt phẳng

Vậy trong các đường thẳng SA, MN, AB, không có hai đường thẳng nào chéo nhau vì cùng nằm trên mp(SAB)

Bài 4: Trong hình chóp tứ giác...

Đáp án:

a) Các đường thẳng chéo với đường thẳng SA là BC và CD.

b) Các đường thẳng chéo với đường thẳng BC là SA và SD. 

Bài 5: Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn...

Đáp án:

Ta không thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường vì đường thẳng tạo bởi chiếc gậy và một trong các mép tường là hai đường thẳng chéo nhau nên không thể song song.

2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Bài 1: Trong không gian, cho một đường...

Đáp án:

a) Chỉ một đường thẳng duy nhất đi qua M và song song với d (theo tiên đề Euclid).

b) Giả sử a là đường thẳng đi qua M và song song với d. Khi đó hai đường thẳng a và d đồng phẳng. Mà điểm M và đường thẳng d đều cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên a và d cùng nằm trong mặt phẳng (P).

Bài 2: Quan sát lớp học và tìm hai đường thẳng song...

Đáp án:

Hai đường thẳng song song với mép trên của bảng, có thể là mép trên và mép dưới của bảng liền với tường, hai đường thẳng này có song song với nhau.

Bài 3: Trong Ví dụ 1, chứng minh rằng bốn...

Đáp án:

Ta có: 

EF // AB (do ABEF là hình bình hành) 

CD // AB (do ABCD là hình bình hành).

=> CD // EF (// AB) hay hai đường thẳng CD và EF đồng phẳng hay bốn điểm C, D, E, F đồng phẳng.

Lại có EF = AB và CD = AB (do ABEF và ABCD là các hình bình hành) nên CD = EF. Vậy tứ giác CDFE là hình bình hành.

Bài 4: Cho hai mặt phẳng...

Đáp án:

a) 

Vì $M\in a$; $a\subset mp(R)$ => $M\in mp(R)$

Vì $M\in c$; $c\subset mp(Q)$ => $M\in mp(Q)$

Mà M là điểm chung của mp(R) và mp(Q)

Lại có $mp(R) \cap mp(Q)=b$ 

Vậy $M\in b$

b) 

Ta thấy ba đường thẳng phân biệt a, b, c đôi một đồng phẳng.

Vậy nếu hai đường thẳng a và c song song với nhau thì hai đường thẳng b và c song song với nhau.

Bài 5: Trong Ví dụ 4, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng...

Đáp án:

Xét hai mặt phẳng SAD và SBC có:

S chung

AD // BC. 

=> Giao tuyến d là đường thẳng qua S và song song với AD và BC.

Ta có: 

$AD, BC\subset (ABCD)$ => d // (ABCD)

Mà $BD\subset (ABCD)$ => d // BD.

Bài 6: Một bể kính chứa nước có đáy hình chữ nhật được đặt...

Đáp án:

Giả sử mặt phẳng (ABFE) mà mặt nước, mặt phẳng (EFCD) là mặt đáy của bể kính và (ABCD) là một mặt bên của bể kính.

Ta có: 

$mp(ABFE)\cap mp(EFCD)=EF$

$mp(ABCD)\cap (mpEFCD)=CD$ 

$mp(ABFE)\cap mp(ABCD)=AB$ 

Vì DC // EF nên ba đường thẳng EF, AB và CD đôi một song song. 

Vậy đường mép nước AB song song với cạnh CD của bể nước.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 4.9: Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c. Những mệnh đề nào sau đây...

Đáp án:

b) Đúng 

c) Đúng

Bài tập 4.10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành...

Đáp án:

a) AB // CD (ABCD là hình bình hành).

b) AC BD (Hai đường chéo của hình bình hành ABCD).

c) SB và CD chéo nhau.

Bài tập 4.11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD...

Đáp án:

Xét $\triangle(SAB)$ có 

M là trung điểm của các cạnh SA

N là trung điểm của các cạnh SB 

=> MN là đường trung bình của $\triangle(SAB)$

=> MN // AB và MN=12 AB.

Tương tự ta có PQ là đường trung bình của $\triangle(SCD)$

=> PQ // CD và PQ = 12 CD.

Lại có AB // CD và AB = CD (ABCD là hình bình hành)

Xét tứ giác MNPQ, có

MN // PQ và MN = PQ. 

Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Bài tập 4.12: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang...

Đáp án:

Xét $\triangle(SAB)$ có 

M là trung điểm của các cạnh SA

N là trung điểm của các cạnh SB 

=> MN là đường trung bình của tam giác SAB => MN // AB.

Mà AB // CD. Do đó, MN // CD. Vậy tứ giác MNCD là hình thang.

Bài tập 4.13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy...

Đáp án:

a) $M\in SD$; $SD\subset mp(SCD)$ => $M\in mp(SCD)$

Mà $M\in mp(MAB)$ => M là điểm chung của mp(MAB) và mp(SCD).

Lại có: mp(MAB) và $mp(SCD)\supset  AB//CD$.

=> $mp(MAB\cap mp(SCD)=m$

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (MAB) và (SCD) là đường thẳng m đi qua M và song song với CD, AB.

b) Trong ∆SCD:

$M\in m; m//CD$; $m\cap SC=N$

Vì $N\in m$; $m\in mp(MAB)$ => $N\in mp(MAB)$

Vậy $SC\cap mpMAB=N$

Xét $\triangle(SCD)$ có 

M là trung điểm của SD 

MN //CD 

N\in SC 

=> MN là đường trung bình $\triangle(SCD)$.

Bài tập 4.14: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N...

Đáp án:

a) Gọi $BP\cap AM=E$; $DP\cap AN=F$

$E\in AM$ => $E\in mp(AMN)$; $F\in AN$ => $F\in mp(AMN)$

=> $EF\subset mp(AMN)$

$E\in BP$ => $E\in mp(BPM)$; $F\in DP$ => $F\in mp(BPD)$

Do đó $EF\subset mp(BPD)$

Vậy $mp(AMN)\cap mp(BPD)=EF$ 

b) $\triangle(BCD)$ có 

M là trung điểm BC

N là trung điểm CD 

=> MN là đường trung bình ∆BCD => MN//BD.

Ta có: $MN\subset mp(AMN)$ và $BD\subset mp(BPD)$ 

Mà MN//BD => $mp(AMN) \cap mp(BPD)=d$ với d//MN//BD 

Vậy d//BD 

Bài tập 4.15: (Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật...

Đáp án:

Đáp án:

+) Ta có a // b và c // d.

Lại có các a và d là đường thẳng giao tuyến giữa khung và cánh cửa nên a // d.

Do vậy, bốn đường thẳng a, b, c, d luôn đôi một song song với nhau.

Vậy khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau.

+) Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang thì không có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau.