BÀI 11. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG

Bài 1: Hình 4.13 minh họa bốn tuyến đường (được coi là thẳng) tại một nút giao ở Hà Nội. Quan sát hình ảnh đó và trả lời các câu hỏi sau:

a) Hai tuyến đường nào giao nhau?

b) Hai tuyến đường nào không giao nhau?

c) Hai tuyến đường nào song song?

Giải nhanh:

a) Hai tuyến đường mũi tên màu đỏ và mũi tên màu vàng giao nhau.

b) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và màu xanh lá cây không giao nhau.

c) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và mũi tên màu đỏ song song.

Bài 2: Hãy tìm một số hình ảnh về hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau trong thực tiễn.

Giải nhanh:

- Hình ảnh hai đường thẳng song song: Hai cạnh đối diện của chiếc bàn; Vạch kẻ đường

- Hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau: Cạnh bàn và đường nối chân bàn.

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành (H.4.17).

a) Trong các đường thẳng AB, AC, CD, hai đường thẳng nào song song, hai đường thẳng nào cắt nhau?

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh SA, SB. Trong các đường thẳng SA, MN, AB có hai đường thẳng nào chéo nhau hay không?

Giải nhanh:

a)  

b) =>

=> cùng thuộc một mặt phẳng

=> đồng phẳng

Do đó khi lấy bất kì 2 trong 3 đường thẳng trên thì chúng có thể cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau. Vậy trong các đường thẳng không có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Bài 4: Trong hình chóp tứ giác S.ABCD (H.4.19), chỉ ra những đường thẳng:

a) Chéo với đường thẳng SA;

b) Chéo với đường thẳng BC.

Giải nhanh:

a) Các đường thẳng chéo với đường thẳng là và

b) Các đường thẳng chéo với đường thẳng là và  

Bài 5: Một chiếc gậy được đặt một đầu dựa vào tường và đầu kia trên mặt sàn (H4.20). Hỏi có thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường hay không?

Giải nhanh:

Ta không thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường 

2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Bài 1: Trong không gian, cho một đường thẳng d và một điểm M không nằm trên d (H.4.21). Gọi (P) là mặt phẳng chứa M và d.

a) Trên mặt phẳng (P) có bao nhiêu đường thẳng đi qua M và song song với d?

b) Nếu một đường thẳng đi qua M và song song với d thì đường thẳng đó có thuộc mặt phẳng (P) hay không?

Giải nhanh:

a) Một và chỉ một đường thẳng đi qua và song song với  

b) Giả sử là đường thẳng đi qua và song song với . Khi đó hai đường thẳng và đồng phẳng. Mà điểm và đường thẳng đều cùng nằm trong mặt phẳng nên và cùng nằm trong mặt phẳng

=> Vậy nếu một đường thẳng đi qua và song song với thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng 

Bài 2: Quan sát lớp học và tìm hai đường thẳng song song với mép trên của bảng. Hai đường thẳng đó có song song với nhau hay không?

Giải nhanh:

Hai đường thẳng song song với mép trên của bảng, ta có thể chọn là mép trên của tường có gắn bảng và mép dưới của bảng liền với tường, hai đường thẳng này có song song 

Bài 3: Trong Ví dụ 1, chứng minh rằng bốn điểm C, D, E, F đồng phẳng và tứ giác CDFE là hình bình hành.

Giải nhanh:

Ta có: và  

=>

Khi đó, hai đường thẳng và đồng phẳng hay bốn điểm đồng phẳng.

Lại có và =>

Vậy tứ giác là hình bình hành.

Bài 4: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến c. Một mặt phẳng (R) cắt (P) và (Q) lần lượt theo các giao tuyến a và b khác c.

a) Nếu hai đường thẳng a và c cắt nhau tại M thì đường thẳng b có đi qua M hay không (H.4.23)? Giải thích vì sao.

b) Nếu hai đường thẳng a và c song song với nhau thì hai đường thẳng b và c có song song với nhau hay không (H.4.24)? Giải thích vì sao.

Giải nhanh:

a) Vì =>

Vì =>

Do đó là điểm chung của và

Lại cps  

Vậy

b) đôi một đồng phẳng => Nếu không có hai trong ba đường thẳng nào trong chúng cắt nhau thì đôi một song song.

Mà // => //

Bài 5: Trong Ví dụ 4, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

Giải nhanh:

Ta có hai mặt phẳng và có: Điểm chung; . Vậy giao tuyến là đường thẳng qua và song song với và

Bài 6: Một bể kính chứa nước có đáy là hình chữ nhật được đặt nghiêng như Hình 4.26. Giải thích tại sao đường mép nước AB song song với cạnh CD của bể nước.

Giải nhanh:

Giả sử mặt phẳng mà mặt nước, mặt phẳng là mặt đáy của bể kính và là một mặt bên của bể kính.

Ba mặt phẳng và là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo các giao tuyến và . 

Vì nên ba đường thẳng và đôi một song song

Vậy đường mép nước song song với cạnh của bể nước.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 4.9: Trong không gian, cho ba đường thẳng a, b, c. Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a và b không cắt nhau thì a và b song song.

b) Nếu b và c chéo nhau thì b và c không cùng thuộc một mặt phẳng.

c) Nếu a và b cùng song song với c thì a song song với b.

d) Nếu a và b cắt nhau, b và c cắt nhau thì a và c cắt nhau.

Giải nhanh:

b) Mệnh đề b) là mệnh đề đúng (theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau).

Bài tập 4.10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Trong các cặp đường thẳng sau, cặp đường thẳng nào cắt nhau, cặp đường thẳng nào song song, cặp đường thẳng nào chéo nhau?

a) AB và CD

b) AC và BD

c) SB và CD

Giải nhanh:

a) //  

b) cắt

c) và chéo nhau.

Bài tập 4.11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh bên SA, SB, SC, SD (H.4.27). Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Giải nhanh:

Xét có:

và lần lượt là trung điểm của các cạnh và  

=> là đường trung bình của => và .

Ta có: là đường trung bình của => và

Lại có đáy là hình bình hành => và

Khi đó, và . Vậy tứ giác là hình bình hành.

Bài tập 4.12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB. Chứng minh rằng tứ giác MNCD là hình thang

Giải nhanh:

Xét có: và lần lượt là trung điểm của các cạnh và

=> là đường trung bình của tam giác =>

Mà là hình thang có:

=> . Vậy tứ giác là hình thang.

Bài tập 4.13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (AB // CD). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng SD (H.4.28).

a) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (MAB) và (SCD).

b) Gọi N là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (MAB). Chứng minh rằng MN là đường trung bình của tam giác SCD.

Giải nhanh:

a)  

=>

Mà => là điểm chung của và .

Lại có: và .

=> với đi qua ; .

b) Trong :

Vì =>

Vậy

Xét có là trung điểm của , và  

=> MN là đường trung bình

Bài tập 4.14: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và P là một điểm thuộc cạnh AC.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (AMN) và (BPD).

b) Chứng minh rằng d song song với BD.

Giải nhanh:

a) Trong có:

Trong có:  

=> ; => =>

=> ; =>

Do đó

Vậy hay là đường thẳng d cần tìm.

b) có là trung điểm => là đường trung bình

=>

và mà

=> với  

Như vậy  

Bài tập 4.15: (Đố vui) Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau (H.4.29). Hãy giải thích tại sao.

Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau hay không?

Giải nhanh:

Khi hai cánh cửa sổ hình chữ nhật được mở, dù ở vị trí nào, thì hai mép ngoài của chúng luôn song song với nhau.

Nếu hai cánh cửa sổ có dạng hình thang như Hình 4.30 thì không có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài của chúng song song với nhau.