BÀI 24. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

1. PHÉP CHIẾU VUÔNG GÓC. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Bài 1: Trên sân phẳng có một cây cột thẳng vuông góc với mặt sân.

a) Dưới ánh sáng mặt trời, bóng của cây cột trên sân có thể được nhìn như là hình chiếu của cây cột qua phép chiếu song song nào không?

b) Khi tia sáng mặt trời vuông góc với mặt sân, liệu ta có thể quan sát được bóng của cây cột trên sân hay không?

Giải nhanh: 

a) Phép chiếu song song theo phương tia sáng mặt trời lên mặt sân.

b) Ta không thể quan sát.

Bài 2:

a) Nếu A là một điểm không thuộc mặt phẳng (P) và A’ là hình chiếu của A trên (P) thì đường thẳng AA’ có quan hệ gì với mặt phẳng (P)?

b) Nếu đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) thì hình chiếu của a trên (P) là gì? 

Giải nhanh: 

a) vuông góc với mặt phẳng

b) Hình chiếu vuông góc của đường thẳng trên mặt phẳng là một điểm, là giao điểm của và

Bài 3: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) không vuông góc với nhau. Xét b là một đường thẳng nằm trong (P). Trên a, lấy hai điểm M, N tuỳ ý. Gọi M', N tương ứng là hình chiếu của M, N trên mặt phẳng (P) (H.7.34).

a) Hình chiếu của a trên mặt phẳng (P) là đường thẳng nào?

b) Nếu b vuông góc với M'N' thì b có vuông góc với a hay không?

c) Nếu b vuông góc với a thì b có vuông góc với M'N hay không?

Giải nhanh: 

a)

b)  

c)  

Bài 4: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) (H.7.36).

a) Chứng minh rằng O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Xác định hình chiếu của đường thẳng SA trên mặt phẳng (ABC).

c) Chứng minh rằng nếu AO⊥BC thì SA⊥BC

d) Xác định hình chiếu của các tam giác SBC, SCA, SAB trên mặt phẳng (ABC)

Giải nhanh: 

a) Do

=>

Vậy O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

b) Hình chiếu của trên mặt phẳng là

c) Do nên , mà  

=> BC . Do dó

d)

2. GÓC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Bài 1: Một máy bay giữ vận tốc không đổi, với độ lớn 240km/h trong suốt 2 phút đầu kể từ khi cất cánh. Hỏi thông tin trên có đủ để ta xác định độ cao của máy bay so với mặt đất phẳng, tại thời điểm 1 phút kể từ khi máy bay cất cánh không?

Giải nhanh: 

Thông tin chưa đủ 

 Bài 2: Tâm Trái Đất chuyển động quanh Mặt Trời theo quỹ đạo là một đường elip nhận tâm Mặt Trời làm tiêu điểm. Trong quá trình chuyển động, Trái Đất lại quay quanh trục Bắc Nam. Trục này có phương không đổi và luôn tạo với mặt phẳng chứa quỹ đạo một góc khoảng 66,5°. (Theo nationalgeographic.org).
a) Giải thích vì sao hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng quỹ đạo (P) cũng có phương không đổi.

b) Giải thích vì sao có hai thời điểm trong năm mà tại đó hình chiếu của trục Trái Đất trên mặt phẳng (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.

Giải nhanh: 

a) Gọi là một vị trí của trục Trái Đất; tương ứng là hình chiếu của trên (P)

Nếu có phương không đổi thì hình chiếu của lên có phương không đổi; nên có phương không đổi

Gọi là một vị trí trục của Trái Đất khác trục ; tương ứng là hình chiếu của trên (P)

Ta có: có phương khác phương chiếu;

// hoặc và trùng nhau 

Vậy hình chiếu của trục Trái Đất có phương không đổi.

b) Gọi là đường thẳng đi qua tâm Mặt Trời và có phương là phương chiếu của trục Trái Đất trên (P).

=> m có phương không đổi

Khi đó hình chiếu của trục Trái Đất xuống (P) thuộc đường thẳng m khi và chỉ khi tâm Trái Đất là giao của m với đường elip quỹ đạo của Trái Đất.

Như vậy có hai vị trí thuộc quỹ đạo, ứng với hai thời điểm trong năm mà hình chiếu của trục Trái Đất trên (P) thuộc đường thẳng nối tâm Mặt Trời và tâm Trái Đất.

Bài 3: Cho đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P). Khi đó, với một đường thẳng a bất kì, góc giữa a và (P) có mối quan hệ gì với góc giữa a và Δ? 

Giải nhanh: 

Trường hợp 1. Đường thẳng không vuông góc với và cắt tại một điểm. Lấy điểm khác thuộc và gọi là hình chiếu vuông góc của trên .

Khi đó, và

Như vậy góc giữa và phụ với góc giữa và . 

Trường hợp 2: vuông góc với . 

Trường hợp 3: song song hoặc thuộc .

Khi đó, và .

Như vậy kết luận đã nêu trong trường hợp 1 cũng đúng đối với cả hai trường hợp sau. 

3. BÀI TẬP

Bài 7.10: Cho hình chóp S.ABC có SA⊥(ABC), tam giác ABC vuông tại B.

a) Xác định hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC).

b) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (ABC).

c) Xác định hình chiếu của tam giác SBC trên mặt phẳng (SAB).

Giải nhanh: 

a) A là hình chiếu của trên

b) Hình chiếu của tam giác trên là tam giác

c)  Hình chiếu của tam giác trên là đoạn
Bài 7.11:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, SA⊥(ABCD) và SA=

a) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABCD).

b) Tính góc giữa BD và mặt phẳng (SAC).

c) Tìm hình chiếu của SB trên mặt phẳng (SAC).

Giải nhanh: 

a) là hình chiếu của trên

Xét tam giác vuông tại có

Xét tam giác SAC vuông tại A có

b)

c) Gọi mà

là hình chiếu của trên (SAC)

Vậy hình chiếu của SB trên (SAC) là SO

Bài 7.12: Cho hình đóp S.ABC có SA. (ABC), Tam giác ABC vuông tại B, SA = AB = BC = a 

a) Xác định hình chiếu của A trên mặt phẳng (SBC)

b) Tính góc giữa SC và mặt phẳng (ABC).

Giải nhanh: 

a) Trong (SAB): 

Kẻ tại D

D là hình chiếu của trên (SBC).

b) là hình chiếu của trên

Xét tam giác vuông tại có

Xét tam giác SAC vuông tại A có

Như vậy

Bài 7.13: Cho điểm S nằm ngoài mặt phẳng (P), có hình chiếu H trên (P). Với mỗi điểm M bất kì (không trùng H) trên mặt phẳng (P), ta gọi đoạn thẳng SM là đường xiên, đoạn thẳng HM là hình chiếu trên (P) của đường xiên đó. Chứng minh rằng:

a) Hai đường xiên SM và SM' bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu HM và HM'
tương ứng của chúng bằng nhau;

b) Đường xiên SM lớn hơn đường xiên SM' nếu hình chiều HM lớn hơn hình chiều HM'.

Giải nhanh: 

a) +) Giả sử

Ta có:

+) Giả sử

Ta có

Như vậy hai đường xiên khi và chỉ khi hai hình chiếu

b)  

Bài 7.14: Trong một khoảng thời gian đầu kể từ khi cắt cánh, máy bay bay theo một đường thẳng. Góc cất cảnh của nó là góc giữa đường thẳng đó và mặt phẳng nằm ngang nơi cất cành. Hai máy bay cất cảnh và bay thẳng với cùng độ lớn vận tốc trong 5 phút đầu, với các góc cất cánh lần lượt là 10°, 15°. Hỏi sau 1 phút kể từ khi cất cảnh, máy bay nào ở độ cao so với mất t (phẳng, nằm ngang) lớn hơn?

Chú ý. Độ cao của máy bay so với mặt đất là khoảng cách từ máy bay (coi là một điểm) đến hình chiếu của nó trên mặt đất

Giải nhanh: 

Sau 1 phút cả 2 máy bay cùng bay được quãng đường dài:

Máy bay 1:

Máy bay 2:

Vì nên sau 1 phút từ khi cất cánh, máy bay 2 có độ cao cao hơn máy bay 1.

Bài 7.15: Hãy nêu cách đo góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời và mặt phẳng nằm ngang tại một vị trí và một thời điểm.

Chú ý. Góc giữa đường thẳng chứa tia sáng mặt trời lúc giữa trưa với mặt phẳng nằm ngang tại vị trí đó được gọi là góc Mặt Trời. Giữa trưa là thời điểm ban ngày mà tâm Mặt Trời thuộc mặt phẳng chứa kinh tuyến đi qua điểm đang xét. Góc Mặt Trời ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất.

Giải nhanh: 

Giả sử một cột AB, bóng của cột AB là AM.

Khi đó =>