CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 22. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. Góc giữa hai đường thẳng

Bài 1: Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau m và n. Từ hai điểm phân biệt O,O' tuỳ ý lần lượt kẻ các cặp đường thẳng a, b và a',b' tương ứng song song với m, n (H.7.2).

a) Mỗi cặp đường thẳng a, a và b, b' có cùng thuộc một mặt phẳng hay không?

b) Lấy các điểm A, B (khác O) tương ứng thuộc a, b. Đường thẳng qua A song song với OO' cắt a' tại A, đường thẳng qua B song song với OO' cắt b' tại B' Giải thích vì sao OAA'O', OBB'O', ABB'A' là các hình bình hành.

c) So sánh góc giữa hai đường thẳng a, b và góc giữa hai đường thẳng a', b'. (Gợi ý: Áp dụng định lí côsin cho các tam giác OAB, O'A'B').

Giải nhanh: 

a) Mỗi cặp và đồng phẳng.

b) Xét tứ giác có các cặp cạnh đối song song 

hình bình hành.

Xét tam giác có 

là hình bình hành.

c) Ta có: hình bình hành

có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. 

Từ đó, áp dụng định lí cosin cho hai tam giác trên được các góc bằng nhau. 

Bài 2: Nếu a song song hoặc trùng với a' và b song song hoặc trùng với b' thì (a, b) và (a', b') có mối quan hệ gì? 

Giải nhanh: 

Bài 3: Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập, được xây dựng vào thế kỉ thứ 26 trước Công nguyên và là một trong bảy kì quan của thế giới cổ đại. Kim tự tháp có dạng hình chóp với đáy là hình vuông có cạnh dài khoảng 230 m, các cạnh bên bằng nhau và dài khoảng 219 m (kích thước hiện nay). (Theo britannica.com).

Giải nhanh: 

Gọi là trung điểm của thì

nên

2. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1: Đối với hai cánh cửa trong Hình 7.5, tính góc giữa hai đường mép cửa BC và MN.

Giải nhanh: 

Bài 2: Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b hay không?

Giải nhanh: 

Nếu đường thẳng vuông góc với đường thẳng thì có vuông góc với các đường thẳng // b

Bài 3: Cho tam giác MNP vuông tại N và một điểm A nằm ngoài mặt phẳng (MNP). Lần lượt lấy các điểm B, C, D sao cho M, N, P tương ứng là trung điểm của AB, AC, CD (H.7.7). Chứng minh rằng AD và BC vuông góc với nhau và chéo nhau.

Giải nhanh: 

Vì và  

nên .

Nếu thì (vô lí). 

Như vậy nên chéo nhau.

3. BÀI TẬP

Bài 7.1: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các đáy là các tam giác đều. Tính góc (AB, B'C'). 

Giải nhanh: 

Vì nên  

Bài 7.2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. 

Giải nhanh: 

+) Vì hình hộp có các cạnh bằng nhau nên tứ giác là hình thoi.

+) và nên

+) và nên

+) B'C // A'D và A'D nên

Như vậy ta đã chứng minh được rằng tứ diện có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. 

Bài 7.3: Cho tứ diện ABCD có

a) Gọi M, N tương ứng là trung điểm của AB, AD. Chứng minh rằng MN vuông góc BC.

b) Gọi G, K tương ứng là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD. Chứng minh rằng: GK vuông góc với BC.

Giải nhanh: 

a) Xét tam giác có:

tương ứng là trung điểm của

là đường trung bình của tam giác

mà

b) Vì tương ứng là trọng tâm của các tam giác nên

mà

Bài 7.4: Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện: hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?

Giải nhanh: 

Hoành (1) và quá giang (2) ;

Hoành (1) và rui (4) 

Hoành (1) và cột (5) 

Quá giang (2) và xà cái (3) 

Quá giang (2) và cột (5) 

Xà cái (3) và rui (4) 

Xà cái (3) và cột (5).