CHƯƠNG VII: QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 22. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

1. Góc giữa hai đường thẳng

Bài 1: Trong không gian, cho hai đường thẳng chéo nhau…

Đáp án: 

a) Mỗi cặp a,a' và b,b' cùng thuộc một mặt phẳng vì đều có điểm chung.

b) Xét tứ giác OAA'O' có: OA // O’A’; OO’// AA’

OAA'O' là hình bình hành.

Xét tứ giác OBB'O' có: OB // O’B’; OO’// BB’

OBB'O' là hình bình hành.

Xét tức giác ABB'A' có: AB // A'B’; AA'// BB’ 

⇒ABB'A' là hình bình hành.

c) Ta có: OAA'O', OBB'O' hình bình hành

⇒∆OAB, ∆O'A'B' có các cặp cạnh tương ứng bằng nhau. 

Từ đó, áp dụng định lí côsin cho hai tam giác trên được các góc O, O' bằng nhau. 

Bài 2: Nếu a song song hoặc trùng với a' và b song song hoặc trùng với b' thì (a, b) và (a', b') có mối quan hệ gì? 

Đáp án: 

 (a, b) = (a', b').

Bài 3: Kim tự tháp Cheops là kim tự tháp lớn nhất trong các kim tự tháp ở Ai Cập…

Đáp án: 

Gọi H là trung điểm của CD thì CH=115 m;BC⊥SH

Vì DC//AB nên (SC;AB)=(SC;CD)=$\widehat{SCH}$.

Xét △SCD có:

cos⁡$\widehat{SCH}$=$\frac{CH}{SC}$=$\frac{115}{219}$ =>$\widehat{SCH}$=58,3$^{\circ}$.

2. Hai đường thẳng vuông góc

Bài 1: Đối với hai cánh cửa trong Hình 7.5, tính góc giữa hai đường mép cửa BC và MN.

Đáp án: 

Vì khuôn cửa và hai cánh cửa là các hình chữ nhật nên BC//MQ

Mà MQ ⊥ MN => (BC,MN)=(MQ,MN)=90$^{\circ}$. 

Bài 2: Nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b hay không? 

Đáp án: 

Nếu a ⊥ b thì a có vuông góc với các đường thẳng song song với b.

Bài 3: Cho tam giác MNP vuông tại N…

Đáp án: 

Xét △ABC có:

M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC

⇒ MN là đường trung bình của tam giác ABC ⇒ MN // BC 

Mà NP ⊥ MN nên NP ⊥ BC 

Xét △ADC có

N, P lần lượt là trung điểm của AC, CD

⇒ PN là đường trung bình của tam giác ADC ⇒ PN // AD 

Vì AD//NP,BC//MN (cmt) và (MN,NP)=90$^{\circ}$ (gt)

=> (AD,BC)=90$^{\circ}$ AD⊥BC.

Nếu D∈(ABC) thì A∈(MNP) (vô lí). 

Vậy D∉(ABC) nên AD,BC chéo nhau.

3. Bài tập

Bài 7.1: Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có các đáy là các tam giác đều. Tính góc (AB, B'C'). 

Đáp án: 

Vì B'C'//BC nên AB,B'C'=(AB,BC)=$\widehat{ABC}$=60$^{\circ}$ (△ABC đều)

Bài 7.2: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có các cạnh bằng nhau. Chứng minh rằng tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. 

Đáp án: 

Ta có:

+) A'B'C'D'; ADD'A';C'C'D'D là hình thoi (ABCD.A'B'C'D' là hình hộp)

+) AB'//C'D và C'D⊥CD' => AB'⊥CD'

+) AC//A'C' và A'C'⊥B'D' => AC⊥B'D'

+) B'C // A'D và A'D ⊥AD' => B'C⊥AD'

Vậy tứ diện ACB'D' có các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau. 

Bài 7.3: Cho tứ diện ABCD…

Đáp án: 

a) Xét △ABD có:

M,N là trung điểm của AB,AD

MN là đường trung bình của △ABD ⇒MN//BD 

Mà BD⊥BC ($\widehat{CBD}$=90$^{\circ}$) ⇒MN⊥BC.

b) Vì G,K là trọng tâm của △ABC và △ACD

=> $\frac{CG}{CM}$=$\frac{CK}{CN}$=$\frac{2}{3}$

⇒GK//MN mà MN ⊥  BC

⇒GK⊥BC 

Bài 7.4: Đối với nhà gỗ truyền thống, trong các cấu kiện: hoành, quá giang, xà cái, rui, cột tương ứng được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 như trong Hình 7.8, những cặp cấu kiện nào vuông góc với nhau?

Đáp án: 

Những cặp đường thẳng sau vuông góc với nhau:

+) Hoành (1) và quá giang (2) 

+) Hoành (1) và rui (4) 

+) Hoành (1) và cột (5) 

+) Quá giang (2) và xà cái (3) 

+) Quá giang (2) và cột (5) 

+) Xà cái (3) và rui (4)

+) Xà cái (3) và cột (5)