BÀI 21. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LÔGARIT

1. Phương trình mũ

Bài 1: Xét phương trình:…

Đáp án: 

a) 2$^{x+1}$ =$\frac{1}{4}$ <=> 2$^{x+1}$=2$^{-2}$

b) x+1=-2 ⇔x=-3 

Bài 2: Giải các phương trình sau…

Đáp án: 

a) 2$^{3x-1}$=$\frac{1}{2^{x+1}}$

2$^{3x-1}$=2$^{-(x+1)}$⇔3x-1=-(x+1) <=> x=0

b) 2e$^{2x}$=5

<=> e$^{2x}$=$\frac{5}{2}$⇔2x=ln ln $\frac{5}{2}$ x=12.ln ln ($\frac{5}{2}$)

2. Phương trình lôgarit

Bài 1: Xét phương trình:…

Đáp án: 

a) 2log$_{2}$⁡x=-3⇔log$_{2}$⁡x=-$\frac{3}{2}$

b) x =-$\frac{3}{2}$

x=2$^{-\frac{3}{2}}$ <=> x=($\sqrt{2}$)$^{-3}$ <=> x=$\sqrt{\frac{1}{8}}$ 

Bài 2: Giải các phương trình sau…

Đáp án: 

a) 4-log⁡(3-x)=3 (ĐK: x<3)

⇔log⁡(3-x)=1 

⇔3-x=10 

x=-7(TM) 

Vậy phương trình có nghiệm x=-7.

b) x+2 +x-1 =1 (ĐK: x>1)

log$_{2}$⁡[(x+2)(x-1)]=1 

⇔(x+2)(x-1)=2 

$\left\{\begin{matrix}x=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}(TM) & \\ x=\frac{-1-\sqrt{17}}{2}(Không TM) & \end{matrix}\right.$ 

Vậy phương trình có nghiệm x=$\frac{-1+\sqrt{17}}{2}$

3. Bất phương trình mũ

Bài 1: Cho đồ thị của hàm số… 

Đáp án: 

Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y=2$^{x}$ nằm phía trên đường thẳng y=4 là (2;+∞).

Bài 2: Giải các bất phương trình sau…

Đáp án: 

a) 0,1$^{2x-1}$≤0,1$^{2-x}$

⇔2x-1≥2-x <=> x≥1 

b) 3.2$^{x+1}$≤1

2$^{x+1}$≤$\frac{1}{3}$ <=> x+1≤log$_{2} \frac{1}{3}$ 

x≤-log$_{2}$⁡3-1 <=> x≤-log$_{2}$⁡6 

4. Bất phương trình lôgarit

Bài 1: Cho đồ thị của hàm số… 

Đáp án: 

Khoảng giá trị của x mà đồ thị hàm số y=x  nằm phía trên đường thẳng y=2 là: (4;+∞)

Bài 2: Giải các bất phương trình sau…

Đáp án: 

a) log$_{\frac{1}{7}}$⁡(x+1)>log$_{7}$⁡(2-x)  (Điều kiện: -1<x<2)

log$_{7^{-1}}$⁡(x+1)>log$_{7}$⁡(2-x)  

<=> log$_{7}$⁡(x+1)$^{-1}$>log$_{7}$⁡(2-x)

⇔(x+1)$^{-1}$>2-x

<=> $\frac{1}{x+1}$-2+x>0

<=> $\frac{x^{2}-x-1}{x+1}$>0

Mà -1<x<2 nên x+1>0 <=> x$^{2}$-x-1>0

⇔$\left\{\begin{matrix}x<\frac{1-\sqrt{5}}{2} & \\ x>\frac{1+\sqrt{5}}{2} & \end{matrix}\right.$

Kết hợp điều kiện: $\left\{\begin{matrix}-1<x<\frac{1-\sqrt{5}}{2} & \\ \frac{1+\sqrt{5}}{2}<x<2 & \end{matrix}\right.$

b) 2log⁡(2x+1)>3 (Điều kiện: x>-$\frac{1}{2}$)

<=> log⁡(2x+1)>$\frac{3}{2}$

⇔ 2x+1>10$\sqrt{10}$

<=> x>$\frac{10\sqrt{10}-1}{2}$

Kết hợp điều kiện: x>$\frac{10\sqrt{10}-1}{2}$.

Bài 3: Áp suất khí quyển p (tính bằng kilopascal, viết tắt là kPa)…

Đáp án: 

a) Ở độ cao h=4, ta được: 

ln⁡($\frac{p}{100}$)=-$\frac{4}{7}$ => $\frac{p}{100}$=e$^{\frac{-4}{7}}$

<=> p=100e$^{\frac{-4}{7}}$≈56,47 (kPa).

b) Ở độ cao trên 10 km thì h>10

=> ln⁡$\frac{p}{100}$=-$\frac{h}{7}$<-$\frac{10}{7}$ p<100e$^{\frac{-10}{7}}$≈23,97(kPa).

5. Bài tập

Bài 6.20: Giải các phương trình sau…

Đáp án: 

a) 3$^{x-1}$=27

<=> 3$^{x-1}$=3$^{3}$ <=> x=4.

b) 100$^{2x^{2}-3}$=0,1$^{2x^{2}-18}$

<=> 10$^{4x^{2}-6}$=10$^{-2x^{2}+18}$⇔4x$^{2}$-6=-2x$^{2}$+18 <=> x=±2.

c) $\sqrt{3}$e$^{3x}$=1

<=> e$^{3x}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$⇔3x=ln⁡$\frac{1}{\sqrt{3}}$ <=> x=-$\frac{1}{6}$ln⁡3.

d) 5$^{x}$=3$^{2x-1}$

log$_{3}$5$^{x}$=log$_{3}$⁡3$^{2x-1}$ <=> xlog$_{3}$⁡5=2x-1⇔x=$\frac{1}{2-log_{3}5}$. 

Bài 6.21: Giải các phương trình sau…

Đáp án: 

a) log⁡(x+1)=2 (Điều kiện: x>-1)

x+1=10$^{2}$ <=> x=99.

b) 2log$_{4}$⁡x+log$_{2}$⁡(x-3)=2 (Điều kiện: x>3) 

log$_{2}$⁡x+log$_{2}$⁡(x-3)=2 

x(x-3) =2 

x(x-3)=4 <=> $\left\{\begin{matrix}x=-1(KTM) & \\ x=4(TM) & \end{matrix}\right.$  

c) ln ln x +ln⁡(x-1)=ln⁡4x (Điều kiện: x>1) 

ln ln x(x-1) = ln ln 4x  

x(x-1)=4x <=> $\left\{\begin{matrix}x=0(KTM) & \\ x=5(TM) & \end{matrix}\right.$

d) x$^{2}$-3x+2 =log$_{3}$⁡(2x-4) (Điều kiện: x>2) 

x$^{2}$-3x+2=2x-4 

x$^{2}$-5x+6=0 <=> $\left\{\begin{matrix}x=2(KTM) & \\ x=3(TM) & \end{matrix}\right.$ 

Bài 6.22: Giải các bất phương trình sau…

Đáp án: 

a) 0,1$^{2-x}$>0,1$^{4+2x}$

⇔2-x<4+2x <=> x>-$\frac{2}{3}$ 

b) 2.5$^{2x+1}$≤3

5$^{2x+1}$≤$\frac{3}{2}$⇔2x+1≤$\frac{3}{2}$  

x≤$\frac{1}{2}$(log$_{5} \frac{3}{2}$⁡-1) <=> x≤log$_{5} \frac{\sqrt{30}}{10}$

c) log$_{3}$⁡(x+7) ≥-1 (Điều kiện: x>-7)

<=> x+7 ≥ $\frac{1}{3}$ <=> x ≥-$\frac{20}{3}$ 

d) log$_{0,5}$⁡(x+7)≥log$_{0,5}$⁡(2x-1) (Điều kiện: x>$\frac{1}{2}$)

<=> x+7 ≤ 2x-1 ⇔ x ≥ 8.

Bài 6.23: Bác Minh gửi tiết kiệm 500 triệu đồng ở một ngân hàng với lãi suất không đổi 7,5%...

Đáp án: 

Thời gian tối thiểu gửi tiết kiệm để bác Minh thu được ít nhất 800 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) là: 

A≥800 ⇔ 500.1,075$^{n}$≥800 ⇔ 1,075$^{n}$≥1,6 

<=> n≥log$_{1,075}$1,6 ≈ 6,5 (năm).  

Bài 6.24: Số lượng vi khuẩn ban đầu trong một mẻ nuôi cấy là 500 con…

Đáp án: 

Số lượng vi khuẩn vượt mức 80 000 con sau số giờ là:

N(t)>80 000⇔500e$^{0,4t}$>80 000⇔e$^{0,4t}$>160 

⇔0,4t>ln ln 160 <=> t> ≈ 12,69 (giờ).  

Bài 6.25: Giả sử nhiệt độ…

Đáp án: 

a) Nhiệt độ T$_{0}$ ban đầu của vật tại t=0:

T$_{0}$=T(0)=25+70e$^{-0,5.0}$=95 $^{\circ}$ C.

b) Nhiệt độ của vật còn lại 30$^{\circ}$C khi t thoả mãn phương trình

25+70e$^{-0,5t}$=30⇔e$^{-0,5t}$=$\frac{1}{14}$ 

⇔-0,5t=ln⁡$\frac{1}{14}$ <=> t=2ln⁡14 ≈ 5,278 phút.

Bài 6.26: Tính nồng độ ion hydrogen (tính bằng mol/lít) của một dung dịch có độ pH là 8. 

Đáp án: 

nồng độ ion hydrogen của dung dịch có độ pH là

pH=-log[⁡H$^{+}$]=8. Suy ra [H$^{+}$]=10$^{-8}$ (mol/l).