BÀI 19. LÔGARIT

1. Khái niệm lôgarit

Bài 1: Tìm x, biết…

Đáp án: 

a) 2$^{x}$=8

<=> x=3

b)  2$^{x}$=$\frac{1}{4}$

<=> x=-2 

c) 2$^{x}$=2

<=> x=$\frac{1}{2}$ 

Bài 2: Tính...

Đáp án: 

a) 3$\sqrt{3}$ =3$^{\frac{3}{2}}$=$\frac{3}{2}$

b) log$_{\frac{1}{2}}$32=log$_{\frac{1}{2}}$($\frac{1}{2}$)$^{-5}$=-5

2. Tính chất của lôgarit

Bài 1: Tính và so sánh…

Đáp án: 

a) log$_{2}$⁡(MN)=log$_{2}$⁡(2$^{5}$.2$^{3}$)=log$_{2}$⁡2$^{8}$=8

log$_{2}$⁡M+log$_{2}$⁡N=log$_{2}$⁡2$^{5}$+log$_{2}$⁡2$^{3}$=8 

=> log$_{2}$⁡(MN)=log$_{2}$⁡M+log$_{2}$⁡N

b) log$_{2}$⁡($\frac{M}{N}$)=log$_{2} \frac{2^{5}}{2^{3}}$log$_{2}$2$^{2}$=2

log$_{2}$⁡M-log$_{2}$⁡N=log$_{2}$⁡2$^{5}$-log$_{2}$⁡2$^{3}$=2

log$_{2}$⁡($\frac{M}{N}$)=log$_{2}$⁡M-log$_{2}$⁡N

Bài 2: Rút gọn biểu thức…

Đáp án: 

A=(x$^{3}$-x) -(x+1) - (x-1)  (x>1)

= $\frac{x^{3}-x}{(x+1)(x-1)}$

=$\frac{x(x^{2}-1)}{x^{2}-1}$ =x.  

Bài 3: Giả sử đã cho log$_{a}$⁡M và ta muốn tính…

Đáp án: 

a) y=log$_{a}$⁡M => M=a$^{y}$

b) Công thức tính y là:

log$_{b}$⁡M=log$_{b}$a$^{y}$ <=> log$_{b}$⁡M=ylog$_{b}$⁡a <=> y=$\frac{log_{b}M}{log_{b}a}$ 

Bài 4: Không dùng máy tính cầm tay…

Đáp án: 

$\frac{1}{27}$=$\frac{\frac{1}{27}}{9}$=-$\frac{3}{2}$  

3. Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên

Bài 1: Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng với lãi suất 6% một năm…

Đáp án: 

a) Nếu lãi suất được tính theo lãi kép kì hạn 12 tháng, số tiền cô Hương thu được sau 1 năm là: 100. (1+$\frac{0,06}{1}$)$^{1}$=106 (triệu đồng) 

Nếu lãi suất được tính theo lãi kép kì hạn 1 tháng, số tiền cô Hương thu được sau 1 năm là: 100. (1+$\frac{0,06}{12}$)$^{12}$=106,17 (triệu đồng)

Nếu lãi suất được tính theo lãi kép liên tục, số tiền cô Hương thu được sau 1 năm là: 100. e$^{6^{o}/_{o}.1}$≈106,18 (triệu đồng)

b) Thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền theo yêu cầu đề bài là:

100. e$^{0,06t}$=150⇔e$^{0,06t}$=1,5 ⇔0,06t=log$_{e}$⁡1,5⇔t≈6,76 (năm)

4. Bài tập

Bài 6.9: Tính…

Đáp án: 

a) log$_{2}$2$^{-13}$=-13

b) lne$^{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$

c) log$_{8}$16-log$_{8}$2=log$_{8} \frac{16}{2}$=1

d) log$_{2}$6.log$_{6}$8=log$_{2}$8=3.

Bài 6.10: Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức…

Đáp án: 

a) A=ln⁡$\frac{x(x+1)}{(x-1)x(x^{2}-1)}$=ln⁡$\frac{x(x+1)}{(x-1)x(x-1)(x+1)}$=ln⁡$\frac{1}{(x-1)^{2}}$=-ln⁡(x-1)$^{2}$.

b) B=log$_{3}$x$^{7}$+log$_{3}$⁡(9x$^{2}$)-log$_{3}$9=log$_{3} \frac{x^{7}.9x^{2}}{9}$=log$_{3}$x$^{9}$=9log$_{3}$x.

Bài 6.11: Rút gọn các biểu thức sau…

Đáp án: 

a) A=log$_{3^{-1}}$5+2log$_{3^{2}}$5$^{2}$-2log$_{3}$5$^{-1}$=-log$_{3}$5+2log$_{3}$5+2log$_{3}$5=3log$_{3}$5.

b) B=2log$_{a}$M+$\frac{1}{2}$⋅4log$_{a}$M=4log$_{a}$M. 

Bài 6.12:  Tính giá trị của các biểu thức sau…

Đáp án: 

a) A=$\frac{log⁡3}{log⁡2} \frac{log⁡4}{log⁡3} \frac{log⁡5}{log⁡4} \frac{log⁡6}{log⁡5} \frac{log⁡7}{log⁡6} \frac{log⁡8}{log⁡7}$=$\frac{log⁡8}{log⁡2}$l=log$_{2}$8=3. 

b) B=2 .4... 2$^{n}$ =1.2.3.….n=n!

Bài 6.13: Biết rằng cao độ tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm…

Đáp án: 

Vì đỉnh Everest có độ cao 8 850 m so với mực nước biển nên ta có: 

15500(5-log⁡p)=8850⇔log⁡p≈4,43.

Vậy áp suất không khí ở đỉnh Everest là p≈10$^{4,43}$≈26915,35 Pa.

Bài 6.14: Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB)…

Đáp án: 

a) Mức cường độ âm của cuộc trò chuyện bình thường là:

10.log⁡$\frac{10^{-7}}{10^{-12}}$=10.log⁡10$^{5}$=50 (dB).

b) Mức cường độ âm của giao thông thành phố đông đúc là:

10.log⁡$\frac{10^{-3}}{10^{-12}}$=10.log⁡10$^{9}$=90 (dB).