BÀI 29. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

1. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

Bài 1: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 3”;

B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 4”.

Hai biến cố A và B có đồng thời xảy ra hay không? Vì sao? 

Đáp án: 

Hai biến cố A và B không đồng thời xảy ra.

Bài 2: Biến cố A và biến cố đối $\bar{A}$ có xung khắc hay không? Tại sao? 

Đáp án: 

Do A$\cap  \bar{A}$=∅ nên A và $\bar{A}$ xung khắc

Bài 3: Một tổ học sinh có 8 bạn, trong đó có 6 bạn thích môn Bóng đá, 4 bạn thích môn Cầu lông và 2 bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

E: “Học sinh được chọn thích môn Bóng đá”;

F: “Học sinh được chọn thích môn Cầu lông”.

Hai biến cố E và F có xung khắc không? 

Đáp án: 

Cặp biến cố E và F không xung khắc vì nếu chọn được vì nếu học sinh chọn được thích cả môn Cầu lông và môn Bóng đá thì cả E và F đều xảy ra.

Bài 4: Trở lại tình huống trong HĐ1. Hãy tính P(A), P(B) và P(AUB) 

Đáp án: 

AUB={3;4;6} 

P(A)=$\frac{1}{3}$;P(B)=$\frac{1}{6}$ 

P(AUB)=$\frac{1}{2}$ 

Bài 5: Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu.

Đáp án: 

n($\Omega $)=C82=28 

Biến cố A: "Chọn được cả hai quả cầu màu xanh"

=> n(A)=C$_{5}^{2}$=10 => P(A)=$\frac{5}{14}$

Biến cố B: "Chọn được cả hai quả cầu màu đỏ"

=> n(B)=C$_{3}^{2}$=3 => P(B)=$\frac{3}{28}$

Vậy P(AUB)=P(A)+P(B)=$\frac{13}{28}$

2. Công thức cộng xác suất

Bài 1: Ở một trường trung học phổ thông X…

Đáp án: 

a) P(A) là tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn. 

P(B) là tỉ lệ học sinh học khá môn Toán.

P(AB) là tỉ lệ học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán.

P(AUB) là tỉ lệ học sinh học khá ít nhất một trong hai môn Ngữ văn hoặc Toán.

b) Vì hai biến cố A và B không xung khắc do học sinh học khá môn Ngữ Văn có thể cũng học khá môn Toán.

Bài 2: Tại sao công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất? 

Đáp án: 

Nếu hai biến cố A và B xung khắc thì AB=∅ mà P(∅)=0. 

Vậy công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất. 

Bài 3: Phỏng vấn 30 học sinh lớp 11A về môn thể thao yêu thích thu được kết quả có 19 bạn thích môn Bóng đá, 17 bạn thích môn Bóng bàn và 15 bạn thích cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A. Tính xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn. 

Đáp án: 

A: "Học sinh đó thích môn Bóng đá" => P(A)=$\frac{19}{30}$

B: "Học sinh đó thích môn Bóng bàn" => P(B)=$\frac{17}{30}$

=> P(AB)=$\frac{15}{30}$

E: "Học sinh đó thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn" là biến cố hợp của A và B.

=> P(E)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB) =$\frac{21}{30}$=0,7

Bài 4: Giải quyết bài toán trong tình huống mở đầu… 

Đáp án: 

A: “Người đó mắc bệnh tim” => P(A)=8,2%=0,082

B: “Người đó mắc bệnh huyết áp” => P(B)=12,5%=0,125

=> P(AB)=5,7%=0,057

E: “Người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp”.

E‾: “Người đó mắc bệnh tim hoặc mắc bệnh huyết áp". 

=> P(E)=1-P(E‾)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB).

=1-0,082-0,125+0,057=0,85 

Vậy có 85% dân cư trên 50 tuổi của tỉnh X không có cả bệnh tim và bệnh huyết áp.

3. Bài tập

Bài 8.6: Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh. 

Đáp án: 

n(Ω)=182 

A: "Bạn Sơn lấy được viên bi xanh và bạn Tùng lấy được viên bi xanh" 

=> n(A)=8.7=56. Vậy P(A)=$\frac{56}{182}$

B: "Bạn Sơn lấy được viên bi đỏ và bạn Tùng lấy được viên bi xanh"

=> n(B)=6.8=48. Vậy P(B)=$\frac{48}{182}$

Biến cố: "Bạn Tùng lấy được viên bi xanh" chính là biến cố AB. 

Do A và B xung khắc nên P(AUB)=P(A)+P(B).

Vậy P(AUB)=$\frac{56}{182}$+$\frac{48}{182}$=$\frac{4}{7}$.

Bài 8.7: Lớp 11A của một trường có 40 học sinh, trong đó có 14 bạn thích nhạc cổ điển, 13 bạn thích nhạc trẻ và 5 bạn thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để:

a) Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ

b) Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. 

Đáp án: 

A: "Bạn đó thích nhạc cổ điển"

=> n(A)= 14 => P(A)=$\frac{14}{40}$

B: "Bạn đó thích nhạc trẻ"

=> n(B)=13 => P(B)=$\frac{13}{40}$

AB: “Bạn đó thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ”

=> n(AB)=5 => P(AB)=$\frac{5}{40}$.

a) Gọi E là biến cố: “Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ”

=> P(E)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=$\frac{14}{40}$+$\frac{13}{40}$-$\frac{5}{40}$=$\frac{11}{20}$.

b) Gọi F là biến cố: “Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển lẫn nhạc trẻ”. 

Khi đó F là biến cố đối của E.

=> P(F)=1-P(E)=1-$\frac{11}{20}$=$\frac{9}{20}$.

Bài 8.8: Một khu phố có 50 hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo, trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên. Tính xác suất để:

a) Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo

b) Hộ đó không nuôi cả chó và mèo. 

Đáp án: 

A: "Hộ đó nuôi chó"

=> n(A)=18 => P(A)=$\frac{18}{50}$

B: "Hộ đó nuôi mèo"

=> n(B)=16 => P(B)=$\frac{16}{50}$

AB là biến cố: "Hộ đó nuôi cả chó và mèo"

=> n(AB)=7 => P(AB)=$\frac{7}{50}$

a) Gọi E là biến cố: "Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo". Ta có E=AUB. 

=> P(E)=P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=$\frac{18}{50}$+$\frac{16}{50}$-$\frac{7}{50}$=$\frac{27}{50}$.

b) Gọi F là biến cố: "Hộ đó không nuôi cả chó và mèo". 

F là biến cố đối của biến cố E. 

=> P(F)=1-P(E)=1-$\frac{27}{50}$=$\frac{23}{50}$.

Bài 8.9: Một nhà xuất bản phát hành hai cuốn sách A và B. Thống kê cho thấy có 50% người mua sách A; 70% người mua sách B; 30% người mua cả sách A và sách B. Chọn ngẫu nhiên một người mua. Tính xác suất để:

a) Người mua đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B

b) Người mua đó không mua cả sách A và sách B. 

Đáp án: 

A: "Người đó mua sách A" => P(A)=0,5

B: "Người đó mua sách B" => P(B)=0,7

Ta có: P(AB)=0,3

a) Gọi E là biến cố: "Người đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B ", khi đó E=AUB.

=> P(E)=P(AUB)=0,5+0,7-0,3=0,9.

b) Gọi F là biến cố: "Người mua đó không mua cả sách A và sách B". 

F là biến cố đối của biến cố E. 

=> P(F)=1-P(E)=1-0,9=0,1.

Bài 8.10: Tại các trường trung học phổ thông của một tỉnh, thống kê cho thấy có 63% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa A, 56% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa B và 28,5% giáo viên môn Toán tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B. Tính tỉ lệ giáo viên môn Toán các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B. 

Đáp án: 

Chọn ngẫu nhiên một giáo viên môn Toán THPT của tỉnh X. Ta tính xác suất để giáo viên đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B.

A: "Giáo viên đó tham khảo bộ sách giáo khoa A" => P(A)=63%=0,63

B: "Giáo viên tham khảo bộ sách giáo khoa B" => P(B)=56%=0,56

Ta có P(AB)=28,5%=0,285.

Gọi E: "Giáo viên đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B". 

Biến cố đối E‾: "Giáo viên đó tham khảo bộ sách giáo khoa A hoặc B ”, khi đó E‾=AUB.

=> P(E)=1-P(E‾)=1-P(AUB)=1-P(A)-P(B)+P(AB).

=1-0,63-0,56+0,285=0,095

Vậy xác suất để giáo viên đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B là 9,5%