BÀI 29. CÔNG THỨC CỘNG XÁC SUẤT

1. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

Bài 1: Gieo một con xúc xắc cân đối, đồng chất. Xét hai biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 3”;

B: “Số chấm xuất hiện trên con xúc xắc là số chia hết cho 4”.

Hai biến cố A và B có đồng thời xảy ra hay không? Vì sao? 

Giải nhanh: 

Hai biến cố và không đồng thời xảy ra.

Bài 2: Biến cố A và biến cố đối có xung khắc hay không? Tại sao? 

Giải nhanh: 

Xung khắc

Bài 3: Một tổ học sinh có 8 bạn, trong đó có 6 bạn thích môn Bóng đá, 4 bạn thích môn Cầu lông và 2 bạn thích cả hai môn Bóng đá và Cầu lông. Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:

E: “Học sinh được chọn thích môn Bóng đá”;

F: “Học sinh được chọn thích môn Cầu lông”.

Hai biến cố E và F có xung khắc không? 

Giải nhanh: 

Không xung khắc 

Bài 4: Trở lại tình huống trong HĐ1. Hãy tính , và  

Giải nhanh: 

Bài 5: Một hộp đựng 5 quả cầu màu xanh và 3 quả cầu màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Chọn ngẫu nhiên hai quả cầu trong hộp. Tính xác suất để chọn được hai quả cầu có cùng màu.

Giải nhanh: 

Xét các biến cố "Chọn được cả hai quả cầu màu xanh", B: "Chọn được cả hai quả cầu màu đỏ". 

Biến cố C: "Hai quả cầu có cùng màu" là biến cố hợp của và . 

Hai biến cố và là xung khắc nên .

=>

=>

2. Công thức cộng xác suất

Bài 1: Ở một trường trung học phổ thông X, có 19% học sinh học khá môn Ngữ văn, 32% học sinh học khá môn Toán, 7% học sinh học khá cả hai môn Ngữ văn và Toán. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của trường X. Xét hai biến cố sau:

A: “Học sinh đó học khá môn Ngữ văn”;

B: “Học sinh đó học khá môn Toán”.

a) Hoàn thành các mệnh đề sau bằng cách tìm cụm từ thích hợp thay cho dấu “?”

P(A) là tỉ lệ …(?)… P(AB) là tỉ lệ …(?)…

P(B) là …(?)… P(A∪ B) là …(?)…

b) Tại sao để tính P(A∪ B) ta không áp dụng được công thức P(A ∪ B) = P(A) + P(B)?

Giải nhanh: 

a) là tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn. 

là tỉ lệ học sinh học khá môn Toán.

là tỉ lệ học sinh học khá cả môn Ngữ văn và môn Toán.

là tỉ lệ học sinh học khá môn Ngữ văn hoặc học khá môn Toán.

b) Không xung khắc

Bài 2: Tại sao công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất? 

Giải nhanh: 

Công thức cộng xác suất:

P(A∪ B) = P(A) + P(B) – P(AB)

Khi hai biến cố A và B xung khắc thì A ∩ B = nên P(AB) = 0, do đó, công thức cộng xác suất trở thành: P(A∪ B) = P(A) + P(B) – 0 = P(A) + P(B). Đây chính là công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc.

Như vậy công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc là hệ quả của công thức cộng xác suất.

Bài 3: Phỏng vấn 30 học sinh lớp 11A về môn thể thao yêu thích thu được kết quả có 19 bạn thích môn Bóng đá, 17 bạn thích môn Bóng bàn và 15 bạn thích cả hai môn đó. Chọn ngẫu nhiên một học sinh của lớp 11A. Tính xác suất để chọn được học sinh thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn. 

Giải nhanh: 

Xét các biến cố A: "Học sinh đó thích môn Bóng đá", B: "Học sinh đó thích môn Bóng bàn". 

Biến cố E: "Học sinh đó thích ít nhất một trong hai môn Bóng đá hoặc Bóng bàn" là biến cố hợp của và .

Theo công thức cộng:

.
Ta có .

Thay vào ta được:

Bài 4: Giải quyết bài toán trong tình huống mở đầu.

Gợi ý. Chọn ngẫu nhiên một người dân trên 50 tuổi của tỉnh X. Gọi A là biến cố “Người đó mắc bệnh tim”; B là biến cố “Người đó mắc bệnh huyết áp”;  là biến cố “Người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp”. Khi đó là biến cố “Người đó mắc bệnh tim hoặc mắc bệnh huyết áp”. Ta có:  = A∪ B. Áp dụng công thức cộng xác suất và công thức xác suất của biến cố đối để tính P(E).

Giải nhanh: 

Theo công thức xác suất của biến cố đối:  

Theo công thức cộng xác suất ta có: .

Do đó: .
Dữ liệu bài toán cho ta:

.

Thay giá trị của và vào ta được:

Như vậy xác suất để người đó không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp là 0,85. Điều đó có nghĩa là có 85% dân cư trên 50 tuổi của tỉnh không có cả bệnh tim và bệnh huyết áp.

3. Bài tập

Bài 8.6: Một hộp đựng 8 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu đỏ, có cùng kích thước và khối lượng. Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp (lấy xong không trả lại vào hộp). Tiếp đó đến lượt bạn Tùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Tính xác suất để bạn Tùng lấy được viên bi màu xanh. 

Giải nhanh: 

Gọi là biến cố: "Bạn Sơn lấy được viên bi xanh và bạn Tùng lấy được viên bi xanh" 

B là biến cố: "Bạn Sơn lấy được viên bi đỏ và bạn Tùng lấy được viên bi xanh".

Biến cố: "Bạn Tùng lấy được viên bi xanh" chính là biến cố . Do và xung khắc nên .

Mỗi kết quả có thể là một bộ trong đó là viên bi bạn Sơn chọn; là viên bi bạn Tùng chọn có 14 cách chọn. có 13 cách chọn. Do đó theo quy tắc nhân số bộ là . Vậy .

+) Tính : Bạn Sơn có 8 cách chọn được viên bi xanh. Bạn Tùng có 7 cách chọn được viên bi xanh. 

Do đó . 

Vậy .

+) Tính Bạn Sơn có 6 cách chọn được viên bi đỏ. Bạn Tùng có 8 cách chọn được viên bi xanh. 

Do đó . Vậy .

Vậy
Bài 8.7: Lớp 11A của một trường có 40 học sinh, trong đó có 14 bạn thích nhạc cổ điển, 13 bạn thích nhạc trẻ và 5 bạn thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Tính xác suất để:

a) Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ

b) Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ. 

Giải nhanh: 

Gọi là biến cố: "Bạn đó thích nhạc cổ điển", 

là biến cố: "Bạn đó thích nhạc trẻ";

là biến cố: “Bạn đó thích cả nhạc cổ điển và nhạc trẻ”.

Ta có 14 =>

a) Gọi là biến cố: “Bạn đó thích nhạc cổ điển hoặc nhạc trẻ”. Ta có:

Vậy

b) Gọi là biến cố: “Bạn đó không thích cả nhạc cổ điển lẫn nhạc trẻ”. Khi đó là biến cố đối của

Vậy

Bài 8.8: Một khu phố có 50 hộ gia đình nuôi chó hoặc nuôi mèo, trong đó có 18 hộ nuôi chó, 16 hộ nuôi mèo và 7 hộ nuôi cả chó và mèo. Chọn ngẫu nhiên một hộ trong khu phố trên. Tính xác suất để:

a) Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo

b) Hộ đó không nuôi cả chó và mèo. 

Giải nhanh: 

Gọi là biến cố: "Hộ đó nuôi chô"; B là biến cố: "Hộ đó nuôi mèo". là biến cố: "Hộ đó nuôi cả chó và mèo". Ta có:

a) Gọi là biến cố: "Hộ đó nuôi chó hoặc nuôi mèo". Ta có . 

.

b) Gọi là biến cố: "Hộ đó không nuôi cả chó và mèo". là biến cố đối của biến cố . 

Bài 8.9: Một nhà xuất bản phát hành hai cuốn sách A và B. Thống kê cho thấy có 50% người mua sách A; 70% người mua sách B; 30% người mua cả sách A và sách B. Chọn ngẫu nhiên một người mua. Tính xác suất để:

a) Người mua đó mua ít nhất một trong hai sách A hoặc B

b) Người mua đó không mua cả sách A và sách B. 

Giải nhanh: 

Gọi là biến cố: "Người đó mua sách A", B là biến cố: "Người đó mua sách B".

Ta có: .

a) Gọi là biến cố: "Người đó mua ít nhất một trong hai sách hoặc ", khi đó

.

b) Gọi là biến cố: "Người mua đó không mua cả sách và sách B". F là biến cố đối của biến cố . 

.

Bài 8.10: Tại các trường trung học phổ thông của một tỉnh, thống kê cho thấy có 63% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa A, 56% giáo viên môn Toán tham khảo bộ sách giáo khoa B và 28,5% giáo viên môn Toán tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B. Tính tỉ lệ giáo viên môn Toán các trường trung học phổ thông của tỉnh đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B. 

Giải nhanh: 

Chọn ngẫu nhiên một giáo viên môn Toán THPT của tỉnh . Ta tính xác suất để giáo viên đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa và .

Xét biến cố : "Giáo viên đó tham khảo bộ sách giáo khoa A", biến cố B: "Giáo viên tham khảo bộ sách giáo khoa

Ta có

Gọi là biến cố: "Giáo viên đó không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa A và B". 

Biến cố đối : "Giáo viên đó tham khảo hoặc bộ sách giáo khoa hoặc bộ sách giáo khoa ” là biến cố hợp của và , khi đó .

Theo công thức xác suất của biến cố đối ta có .

Theo công thức cộng xác suất ta có .

Do đó .

Thay giá trị của và vào ta được

Vậy 9,5% giáo viên môn Toán các trường THPT của tỉnh không tham khảo cả hai bộ sách giáo khoa và