BÀI 3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Bài 1: Hoàn thành bảng sau:

Giải nhanh:

Bài 2: Tìm tập xác định của hàm số

Giải nhanh:

Tập xác định của hàm số là

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

Bài 1: Cho hai hàm số f(x) = x2 và g(x) = x3, với các đồ thị như hình dưới đây.

a) Tìm các tập xác định Df, Dg của các hàm số f(x) và g(x).

b) Chứng tỏ rằng Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y = f(x) đối với hệ trục tọa độ Oxy?

c) Chứng tỏ rằng Có nhận xét gì về tính đối xứng của đồ thị hàm số y = g(x) đối với hệ trục tọa độ Oxy?

Giải nhanh:

a) ;

b) , ta luôn có: 

Nhận xét: Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số  đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

c) , ta luôn có: 

Nhận xét: Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng

Bài 2: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số g(x) =

Giải nhanh:

Tập xác định của hàm số là .

Ta có:

Vậy là hàm số lẻ

Bài 3: So sánh:

Giải nhanh:

Bài 4: Hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) có phải hàm số tuần hoàn không? Nếu hàm số tuần hoàn thì nó có chu kì không?

Giải nhanh:

Hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) là hàm số tuần hoàn với chu kì là một số dương bất kì

Bài 5: Xét tính tuần hoàn của hàm số

Giải nhanh:

Biểu thức có nghĩa khi:  

Suy ra hàm số có tập xác định là

Với mọi số thực x, ta có:

+)

+)

Vậy là hàm số tuần hoàn với chu kì

3. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = SINX

Bài 1: Cho hàm số y = sin x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số trên đoạn bằng cách tính giá trị của sin x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của sin x với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; sin x) với x ∈ [– π; π] và nối lại ta được đồ thị hàm số y = sin x trên đoạn [– π; π].

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì , ta được đồ thị của hàm số như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.14, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số

Giải nhanh:

a) Hàm số có tập xác định là .

Do đó, nếu thì

Ta có:

Vậy là hàm số lẻ.

b) Ta có:

Vì là hàm số lẻ nên:

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì , ta được đồ thị của hàm số như hình dưới đây.

Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số

Giải nhanh:

có tập giá trị là

Bài 3: Giả sử vận tốc v (tính bằng lít/giây) của luồng khí trong một chu kì hô hấp (tức là thời gian từ lúc bắt đầu của một nhịp thở đến khi bắt đầu của nhịp thở tiếp theo) của một người nào đó ở trạng thái nghỉ ngơi được cho bởi công thức trong đó t là thời gian (tính bằng giây). Hãy tìm thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ và số chu kì hô hấp trong một phút của người đó.

a) Giải bài toán ở tình huống mở đầu

b) Biết rằng quá trình hít vào xảy ra khi v>0 và quá trình thở xảy ra khi v<0. Trong khoảng thời gian điểm nào thì người đó hít vào? người đó thở ra?

Giải nhanh:

a) (giây).

Số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là (chu kì)

b) Ta có:

+) v > 0 khi

Mà với . Do đó, 

.

+) v < 0 khi

Mà với . Do đó,

+) Với ta có

+) Với ta có

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra

4. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = COSX

Bài 1: Cho hàm số .

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = cos x trên đoạn bằng cách tính giá trị của cos x với những x không âm, sau đó sử dụng kết quả câu a để suy ra giá trị tương ứng của cos x với những x âm.

Bằng cách lấy nhiều điểm với và nối lại ta được đồ thị hàm số y = cos x trên đoạn

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì , ta được đồ thị của hàm số y = cos x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.15, hãy cho biết tập giá trị, các khoảng đồng biến, các khoảng nghịch biến của hàm số y = cos x.

Giải nhanh:

a) Hàm số có tập xác định là .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: 

Vậy hàm số là hàm số chẵn.

b) Ta có: ,

Vì là hàm số chẵn nên: 

c) 

d) Quan sát Hình 1.15, ta thấy đồ thị hàm số có:

+) Tập giá trị là

+) Đồng biến trên mỗi khoảng: 

+) Nghịch biến trên mỗi khoảng:

Bài 2: Tìm tập giá trị của hàm số y = – 3cos x

Giải nhanh:

có tập giá trị là

Bài 3: Trong Vật lí, ta biết rằng phương trình tổng quát của một vật dao động điều hòa cho bởi công thức , trong đó t là thời điểm (tính bằng giây), x(t) là li độ của vật tại thời điểm t, A là biên độ dao động (A > 0), ωt + φ là pha của dao động tại thời điểm t và là pha ban đầu của dao động. Dao động điều hòa này có chu kì (tức là khoảng thời gian để vật thực hiện một dao động toàn phần).

Giả sử một vật dao động điều hòa theo phương trình (cm).

a) Hãy xác định biên độ và pha ban đầu của dao động.

b) Tính pha của dao động tại thời điểm t = 2 (giây). Hỏi trong khoảng thời gian 2 giây, vật thực hiện được bao nhiêu dao động toàn phần?

Giải nhanh:

a)

b) Thay t = 2 vào phương trình tổng quát của vật dao động điều hòa:

+ Để tính giá trị của cos(9π), ta biết rằng:

. Vì chu kỳ của cos là , nên sẽ có giá trị giống như , tức là .

Vậy,

+ Ta có:  

Số lần vật thực hiện được dao động toàn phần trong 2 giây là .

Vậy, vật thực hiện được 4 dao động toàn phần trong khoảng thời gian 2 giây.

5. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = TANX

Bài 1:  Cho hàm số y = tan x.

a) Xét tính chẵn, lẻ của hàm số.

b) Hoàn thành bảng giá trị sau của hàm số y = tan x trên khoảng

Bằng cách lấy nhiều điểm M(x; tan x) với x ∈ và nối lại ta được đồ thị hàm số y = tan x trên khoảng

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các khoảng khác có độ dài bằng chu kì , ta được đồ thị của hàm số y = tan x như hình dưới đây.

Từ đồ thị ở Hình 1.16, hãy tìm tập giá trị và các khoảng đồng biến của hàm số y = tan x

Giải nhanh:

a) Hàm số y = f(x) = tan x có tập xác định là .

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có:  

Vậy là hàm số lẻ.

b) Ta có: ;

.

Vì là hàm số lẻ nên: 

;

;

. 

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Đồ thị hàm số:

Quan sát Hình 1.16, ta thấy đồ thị hàm số y = tan x có:

+) Tập giá trị là .

+) Đồng biến trên mỗi khoảng:  

Bài 2: Sử dụng đồ thị đã vẽ ở Hình 1.16, hãy xác định các giá trị của x trên đoạn  để hàm số y = tan x nhận giá trị âm.

Giải nhanh:

khi