CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 3. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. ĐỊNH NGHĨA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Hoạt động 1:

* KXĐ: Không xác định.

Với mỗi số thực x, ta xác định được duy nhất một điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho số đo của góc lượng giác (OA, OM) bằng x. Do đó, ta luôn xác định được các giá trị lượng giác sin x và cos x của x lần lượt là tung độ và hoành độ của điểm M. Nếu cos x ≠0, ta định nghĩa tan x =$\frac{sinx}{cosx}$ và nếu sin x ≠0 thì ta định nghĩa cot x =$\frac{cosx}{sinx}$ .

Định nghĩa:

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực sin x được gọi là hàm số sin, kí hiệu là y=sinx .

Tập xác định của hàm số sin là R.

- Quy tắc đặt tương ứng mỗi số thực x với số thực cos x được gọi là hàm số côsin, kí hiệu là y=cosx

Tập xác định của hàm số côsin là R

- Hàm số cho bởi công thức y=$\frac{sinx}{cosx}$ được gọi là hàm số tang, kí hiệu là y=tanx .

Tập xác định của hàm số tang là R\ {k∈Z}.

Hàm số cho bởi công thức y=$\frac{cosx}{sinx}$ được gọi là hàm số côtang, kí hiệu là y=cotx .

Tập xác định của hàm số tang là R\ {k∈Z}.

Ví dụ 1: (SGK – tr.23).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.23).

Luyện tập 1

Biểu thức $\frac{1}{sinx}$ có nghĩa khi sinx ≠0, tức là:

x≠k$\pi $ k∈Z. 

Vậy tập xác định của hàm số y=$\frac{1}{sinx}$ là R\ {k∈Z}.

Câu hỏi mở rộng

y=f(x)= $\frac{\sqrt{4\pi ^{2}-x^{2}}}{cosx}$

Điều kiện xác định của hàm số:

{$4\pi ^{2}$-x$^{2}$≥0 cosx ≠0        

<=> {-2$\pi $≤x≤2$\pi $ x≠$\frac{\pi }{2}$+k} ;k∈Z

Vậy D=[-2$\pi $;2$\pi $]\{$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $}

2. HÀM SỐ CHẴN, HÀM SỐ LẺ, HÀM SỐ TUẦN HOÀN

a) Hàm số chẵn, hàm số lẻ

Hoạt động 2:

a) Biểu thức x$^{2}$ và x$^{3}$ luôn có nghĩa với mọi x∈R.

Vậy tập xác định của hàm số f(x)=x$^{2}$ là D$_{f}$=R và tập xác định của hàm số g(x)=x$^{3}$ là D$_{g}$=R. 

b) ∀x∈D$_{f}$, ta luôn có: 

f(-x)=(-x)$^{2}$=x$^{2}$=f(x) 

Vậy f(-x)=f(x), ∀x∈D$_{f}$.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số f(x)=x$^{2}$  đối xứng với nhau qua trục tung Oy.

c) ∀x∈D$_{g}$, ta luôn có: 

g(-x)=(-x)$^{3}$=-x$^{3}$=-g(x) 

Vậy g(-x)=-g(x), ∀x∈D$_{g}$.

Từ hình vẽ ta thấy đồ thị hàm số g(x)=x$^{3}$ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng.

Định nghĩa:

Cho hàm số y=f(x) có tập xác định là D.

+ Hàm số f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu ∀x∈D thì -x∈D và f(-x)=f(x).

Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung là trục đối xứng.

+ Hàm số f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu ∀x∈D thì -x∈D và f(-x)=-f(x).

Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc tọa độ là tâm đối xứng.

Nhận xét

- Để vẽ đồ thị của một hàm số chẵn (tương ứng, lẻ), ta chỉ cần vẽ phần đồ thị của hàm số với những x dương, sau đó lấy đối xứng phần đồ thị đã vẽ qua trục tung (tương ứng, qua góc tọa độ), ta sẽ được đồ thị của hàm số đã cho

Ví dụ 2: (SGK – tr.24).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.24).

Luyện tập 2.

Biểu thức $\frac{1}{x}$ có nghĩa khi x≠0.

Suy ra tập xác định của hàm số g(x)=$\frac{1}{x}$ là D=R\ {0}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì -x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: g(-x)=$\frac{1}{-x}$=-$\frac{1}{x}$=-g(x), ∀x∈D

Vậy g(x)=$\frac{1}{x}$ là hàm số lẻ.

Câu hỏi phụ

TXĐ: D=(-∞; -4]U[4; +∞)

$\forall $ (-∞;\4][4; +∞) => [x∈(-∞; -4]   x∈[4; +∞)   

=> [-x∈[4; +∞)      -x∈(-∞; -4] => -x∈D 

Xét f(-x)=cos$\sqrt{(-x)^{2}-16}$  

=cos$\sqrt{(-x)^{2}-16}$ =f(x) 

Vậy f(x) là hàm số chẵn

b) Hàm số tuần hoàn

Hoạt động 3

a) Ta có: sin(x+2$\pi $) =sin[$\pi $+(x+$\pi $)]

=-sin(x+$\pi $) =-(-sinx) =sinx   

Vậy sin(x+2$\pi $) =sinx .

b) Ta có: cos(x+2$\pi $) =cos[$\pi $+(x+$\pi $)]

=-cos(x+$\pi $) =-(-cosx) =cosx

Vậy cos(x+2$\pi $)=cosx .

c) Ta có: tan(x+$\pi $) =tan ($\pi $+x) =tanx

Vậy tan(x+$\pi $) =tanx .

d) Ta có: cot(x+$\pi $) =cot($\pi $+x) =cotx

Vậy cot(x+$\pi $) =cotx .

Định nghĩa:

Hàm số y=f(x) có tập xác định D được gọi là hàm số tuần hoàn nếu tồn tại số T≠0 sao cho với mọi xD ta có:

i) x+T$\epsilon $D và x-T$\epsilon $D

ii) f(x+T)=f(x)

Số T dương nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện trên (nếu có) được gọi là chu kì của hàm số tuần hoàn đó.

Câu hỏi:

Hàm số hằng f(x)=c (c là hằng số) có tập xác định D=R 

Với T là số dương bất kì và với ∀x∈D, ta luôn có:

+) x+T∈D và x-T∈D

+) f(x+T)=c=f(x) (vì f(x) là hàm số hằng nên với mọi x thì giá trị của hàm số đều có giá trị bằng c).

Vậy hàm số hằng f(x) = c (c là hằng số) là hàm số tuần hoàn với chu kì là một số dương bất kì.

Nhận xét:

a) Các hàm số y=sinx và y=cosx tuần hoàn với chu kì 2. Các hàm số y=tanx  và y=cotx tuần hoàn với chu kì $\pi $.

b) Để vẽ đồ thị của một hàm số tuần hoàn với chu kì T, ta chỉ cần vẽ đồ thị của hàm số này trên đoạn [a; a + T ], sau đó dịch chuyển song song với trục hoành phần đồ thị đã vẽ sang phải và sang trái các đoạn có độ dài lần lượt là T, 2T, 3T, ... ta được toàn bộ đồ thị của hàm số.

Ví dụ 3: (SGK – tr.25).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.25)

Chú ý

Tổng quát, người ta chứng minh được các hàm số y=A.sinωx và y=A.cosωx (ω>0) là những hàm số tuần hoàn với chu kì: 

T=$\frac{2\pi }{\omega }$ 

Luyện tập 3

Biểu thức tan2x có nghĩa khi:

2x≠$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $, k∈Z 

⟺x≠$\frac{\pi }{4}$+$\frac{k\pi }{2}$, k∈Z 

Suy ra hàm số y=tan2x có tập xác định là D=R\ {k∈Z}.

Với mọi số thực x, ta có:

+) x-$\frac{\pi }{2}$∈D, x+$\frac{\pi }{2}$∈D

+) tan 2(x+$\frac{\pi }{2}$) =tan 2x+$\pi $ =tan 2x

Vậy y=tan2x là hàm số tuần hoàn với chu kì T=$\frac{\pi }{2}$.

3. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ HÀM SỐ Y = SIN X

Hoạt động 4.

a) Hàm số y=f(x)=sin x có tập xác định là D=R.

Do đó, nếu x∈D thì -x∈D

Ta có: f(-x)=sin(-x)

                        =-sinx =-f(x), ∀x∈D

Vậy y=sinx là hàm số lẻ.

b) Ta có: sin0 =0; sin$\frac{\pi }{4}$ =$\frac{\sqrt{2}}{2}$;sin$\frac{\pi }{2}$ =1

sin$\frac{3\pi }{4}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$;sin $\pi $=0 

Vì y=sinsinx là hàm số lẻ nên:

sin(-$\frac{\pi }{4}$)= -sin$\frac{\pi }{4}$ =-$\frac{\sqrt{2}}{2}$; 

sin(-$\frac{\pi }{2}$) =-sin$\frac{\pi }{2}$ =-1;

sin(-$\frac{3\pi }{4}$) =-sin$\frac{3\pi }{4}$ =-$\frac{\sqrt{2}}{2}$;

sin(- $\pi $)=-sin$\pi $  =0.

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Bằng cách làm tương tự câu b cho các đoạn khác có độ dài bằng chu kì T = 2$\pi $, ta được đồ thị của hàm số y = sin x như hình dưới đây.

Kết luận:

Hàm số y=sinx :

+ Có tập xác định là R và tập giá trị là [-1;1].

+ Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì 2$\pi $.

+ Đồng biến trên mỗi khoảng:

(-$\frac{\pi }{2}$+k2$\pi $;$\frac{\pi }{2}$+k2$\pi $),k∈Z

+ Nghịch biến trên mỗi khoảng: 

($\frac{\pi }{2}$+k2$\pi $;$\frac{3\pi }{2}$+k2$\pi $), k∈Z.

+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ và gọi là một đường hình sin.

Ví dụ 4: (SGK – tr.26)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.26).

Luyện tập 4:

Ta có: -1≤sinx ≤1 với ∀x∈R.

Suy ra 2.(-1)≤2sinx ≤2.1; hay:

-2≤2sinx ≤2 với ∀x∈R.

Vậy hàm số y=2sinsinx có tập giá trị là [-2;2].

Vận dụng 1:

a) Thời gian của một chu kì hô hấp đầy đủ chính là một chu kì tuần hoàn của hàm v(t) và là: T=$\frac{2\pi }{\frac{\pi }{3}}$=6 (giây).

Ta có: 1 phút = 60 giây.

Do đó, số chu kì hô hấp trong một phút của người đó là $\frac{60}{6}$=10 (chu kì).

b) Ta có: v=0,85sin$\frac{\pi t}{3}$

+) v > 0 khi 0,85sin$\frac{\pi t}{3}$ >0⟺sin$\frac{\pi t}{3}$ >0

Mà -1≤sin$\frac{\pi t}{3}$ ≤1 với ∀x∈R. Do đó, 

0<sin$\frac{\pi t}{3}$ ≤1.

+) v < 0 khi 0,85sin$\frac{\pi t}{3}$<0<=>sin$\frac{\pi t}{3}$ <0

Mà -1<sin$\frac{\pi t}{3}$ ≤1 với ∀x∈R. Do đó, 

-1≤sin$\frac{\pi t}{3}$ <0.

+) Với t∈(0;3) ta có 0<sin$\frac{\pi t}{3}$ ≤1.

+) Với y∈(3;5] ta có -1≤sin$\frac{\pi t}{3}$ <0.

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 5 giây, khoảng thời điểm sau 0 giây đến trước 3 giây thì người đó hít vào và khoảng thời điểm sau 3 giây đến 5 giây thì người đó thở ra.

4. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = COS X

Hoạt động 5:

a) Hàm số y=f(x) cos x có tập xác định là D=R.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì –x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: 

f(-x)=cos(-x) =cosx =f(x), ∀x∈D 

Vậy hàm số y=cosx là hàm số chẵn.

b) Ta có: cos0 =1,cos$\frac{\pi }{4}$ =$\frac{\sqrt{2}}{2}$,cos$\frac{\pi }{2}$=0 ,

cos$\frac{3\pi }{4}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;cos$\pi $  =-1 

Vì y=cosx là hàm số chẵn nên: 

cos(-$\frac{\pi }{4}$) =cos$\frac{\pi }{4}$ =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

cos(-$\frac{\pi }{2}$) =cos$\frac{\pi }{2}$ =0 ;

cos(-$\frac{\pi }{4}$) =cos$\frac{3\pi }{4}$ =-$\frac{\sqrt{2}}{2}$ ;

cos(-$\pi $) =cos$\pi $=-1.

c) 

d) Quan sát Hình 1.15, ta thấy đồ thị hàm số y=cos x có:

+) Tập giá trị là [–1;1];

+) Đồng biến trên mỗi khoảng:

(-$\pi $+k2$\pi $;k2$\pi $), k∈Z (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

+) Nghịch biến trên mỗi khoảng:

(k2$\pi $; $\pi $+k2$\pi $), k∈Z (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Kết luận

Hàm số y=cosx :

+ Có tập xác định là R và tập giá trị là [-1;1];

+ Là hàm số chẵn và tuần hoàn với chu kì 2$\pi $.

+ Đồng biến trên mỗi khoảng: (-$\pi $+k2$\pi $;k2$\pi $) và nghịch biến trên mỗi khoảng (k2$\pi $; $\pi $+k2$\pi $), k∈Z.

+ Có đồ thị là một đường hình sin đối xứng qua trục tung.

Ví dụ 5: (SGK – tr.27).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.27)

Luyện tập 5:

Ta có: -1≤cosx ≤1 với mọi x∈R

Suy ra: (-3).(-1)≥-3cosx ≥(-3).1

Hay: -3≤-3cosx ≤3 với mọi x∈R.

Vậy hàm số y=-3cosx có tập giá trị là [-3;3].

Vận dụng:

a) Phương trình tổng quát của vật dao động điều hòa là: xt=Acos(ωt+φ)

So sánh với phương trình đã cho: 

                    x(t)=-5cos(4$\pi $t)

Ta có thể suy ra: A=5; ω=4$\pi $; φ=$\pi $

Vậy, biên độ của dao động là 5 cm và pha ban đầu là $\pi $ radian.

b) Thay t = 2 vào phương trình tổng quát của vật dao động điều hòa: x(t) = Acos(ωt + φ)

x(2)=5cos 4$\pi $.2+$\pi $  

         = 5cos(8$\pi $+$\pi $)=5cos(9$\pi $) 

+ Để tính giá trị của cos(9$\pi $), ta biết rằng:

cos$\pi $=-1,cos 2$\pi $ =1. Vì chu kỳ của cos là 2$\pi $, nên cos9$\pi $ sẽ có giá trị giống như cos$\pi $, tức là -1.

Vậy, x(2)=-5.

+ Ta có: 

T =$\frac{2\pi }{\omega }$ =$\frac{2\pi }{4\pi }$ =$\frac{1}{2}$ 

Số lần vật thực hiện được dao động toàn phần trong 2 giây là $\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4.

Vậy, vật thực hiện được 4 dao động toàn phần trong khoảng thời gian 2 giây.

5. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = TAN X

Hoạt động 6:

a) Hàm số y = f(x) = tan x có tập xác định là D=R\ {k∈Z}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(-x)=tan(-x)  

                      =-tanx =-f(x), ∀x∈D 

Vậy y=tanx là hàm số lẻ.

b) Ta có:

tan0 =0;tan$\frac{\pi }{4}$=1 ;tan$\frac{\pi }{3}$ =$\sqrt{3}$; tan$\frac{\pi }{4}$ =$\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Vì y=tanx là hàm số lẻ nên: 

tan(-$\frac{\pi }{4}$)=-tan$\frac{\pi }{4}$  =-1;

tan(-$\frac{\pi }{3}$) =-tan$\frac{\pi }{3}$= -$\sqrt{3}$;

tan(-$\frac{\pi }{6}$)=-tan$\frac{\pi }{6}$ =-$\frac{\sqrt{3}}{3}$. 

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Đồ thị hàm số:

Quan sát Hình 1.16, ta thấy đồ thị hàm số y = tan x có:

+) Tập giá trị là R.

+) Đồng biến trên mỗi khoảng: 

(-$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $;$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $), k∈Z (do đồ thị hàm số đi lên từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Kết luận

Hàm số y=tanx :

+ Có tập xác định là R\ {k∈Z} và tập giá trị là R;

+ Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì ;

+ Đồng biến trên mỗi khoảng:

(-$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $;$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $), k∈Z

+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ 6: (SGK – tr.29).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9).

Luyện tập 6:

Hàm số y = tan x nhận giá trị âm ứng với phần đồ thị nằm dưới trục hoành. Từ đồ thị ở Hình 1.16 ta suy ra trên đoạn [-$\pi $;$\frac{3\pi }{2}$] thì y<0 khi x∈(-$\frac{\pi }{2}$;0)U($\frac{\pi }{2}$;$\pi $).

6. ĐỒ THỊ VÀ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ Y = COT X

Hoạt động 7:

a) Hàm số y = f(x) = cot x có tập xác định là D=R\ {k∈Z}.

Do đó, nếu x thuộc tập xác định D thì – x cũng thuộc tập xác định D.

Ta có: f(-x)=cot( -x)

                      =-cotx =-f(x), ∀x∈D

b) Ta có:

cot$\frac{\pi }{6}$ =$\sqrt{3}$;cot$\frac{\pi }{4}$=1 ;cot$\frac{\pi }{3}$ =$\frac{\sqrt{3}}{3}$;

cot$\frac{\pi }{2}$ =0;cot$\frac{2\pi }{3}$ =-$\frac{\sqrt{3}}{3}$;cot$\frac{3\pi }{4}$ =-1;

cot$\frac{5\pi }{6}$ =-$\sqrt{3}$. 

Vậy ta hoàn thành được bảng như sau:

c) Quan sát Hình 1.17, ta thấy đồ thị hàm số y=cot x có:

+) Tập giá trị là R;

+) Nghịch biến trên mỗi khoảng:

(k$\pi $;$\pi $+k$\pi $), k∈Z (do đồ thị hàm số đi xuống từ trái sang phải trên mỗi khoảng này).

Kết luận:

Hàm số y=cotx :

+ Có tập xác định là R\ {k∈Z} và tập giá trị là R;

+ Là hàm số lẻ và tuần hoàn với chu kì $\pi $;

+ Nghịch biến trên mỗi khoảng (k$\pi $;$\pi $+k$\pi $), k∈Z;

+ Có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ.

Ví dụ 7: (SGK – tr.30).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.30).

Luyện tập 7: 

Hàm số y=cot x nhận giá trị dương ứng với phần đồ thị nằm trên trục hoành. Từ đồ thị ở Hình 1.17 ta suy ra trên đoạn [-$\frac{\pi }{2}$;2$\pi $] thì y>0 khi x∈(0;$\frac{\pi }{2}$)U($\pi $;$\frac{3\pi }{2}$).