BÀI 23. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Bài 1: Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).

a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.

b) Giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Giải nhanh: 

a) + Đường thẳng cố định vì luôn đi qua hai bản lề cố định, 

+ Đường thẳng trên mặt sàn và luôn đi qua điểm cố định (là giao của đường thẳng và mặt sàn). 

- Vì đường thẳng quay quanh điểm và nên vuông góc với các đường thẳng trên mặt sàn và đi qua .

b) Lấy đường thẳng bất kì trên mặt sàn. Xét là đường thẳng trên mặt sàn, đi qua và // . Khi đó

Bài 2: Nếu đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không? 

Giải nhanh: 

và (P) cắt nhau.

Vì nếu trái lại thì // hoặc nằm trên  

Khi đó, tồn tại đường thẳng: //  

Do đó, , mâu thuẫn với giả thiết

Bài 3: Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bia thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.

a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?

b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB có vuông góc với a hay không.

Giải nhanh: 

a)

b) Đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ. Ta thấy một cạnh của ê ke trùng với AB và một cạnh thuộc a nên AB vuông góc với a.

Bài 4: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với các cạnh còn lại hay không? 

Giải nhanh: 

Đường thẳng vuông góc với cạnh thứ ba.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (H.7.14). Chứng minh rằng SO vuông (ABCD)

Giải nhanh: 

Vì

là giao điểm của hai đường chéo AC, BD 

=> là trung điểm của

Bài 6: Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà. 

Giải nhanh: 

Vì cột treo vuông góc với hai thanh đế (cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà

2. TÍNH CHẤT

Bài 1: Cho điểm O và đường thẳng Δ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với Δ. Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với Δ

Giải nhanh: 

Ta có: . 

Do vàphân biệt => và phân biệt.

Mà đi qua và vuông góc với .

Bài 2: Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi (α), (β) là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).

a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau theo một đường thẳng đi qua Q.

b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa Δ và (P)

Giải nhanh: 

a) Vì và cắt nhau theo một giao tuyến

Tương tự và cắt nhau theo một giao tuyến m

Do và cắt nhau nên cắt nhau

=> Chúng phân biệt không trùng nhau.

Mặt khác, có điểm chung O nên  cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) Ta có: đi qua O

Mà

Bài 3: Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. 

Giải nhanh: 

Ta có:

Mặt khác, qua điểm có duy nhất đường thẳng

thẳng hàng

3. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Bài 1: Cho đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và song song với đường thẳng Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng Tính ) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa

Giải nhanh: 

Vì nên .

Mặt khác // nên .

Mà là đường thẳng bất kì thuộc nên với mọi đường thẳng trong (P).

Bài 2: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng Xét là một điểm thuộcnhưng không thuộc Gọi là đường thẳng qua và song song với

a) Hỏi c có vuông góc với hay không? Nhận xét về vị trí tương đối giữa và

b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng và

Giải nhanh: 

a) (P)

Mà (P)

cùng đi qua điểm O

trùng .

b) //mà trùng c =>

Bài 3: Cho hai mặt phẳng và song song với nhau và đường thẳng vuông góc với Gọi b là một đường thẳng bất kì thuộc Lấy một đường thẳng thuộc sao cho song song với (H.7.23). So sánh và Từ đó rút ra mối quan hệ giữa

Giải nhanh: 

//

Do mọi đường thẳng b trong nên (Q).

Bài 4: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng Δ . Xét O là một điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O và song song với (Q) (H.7.24).

a) Hỏi (R) có vuông góc với Δ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).

b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Giải nhanh: 

a) (Q)

Mà và là 2 mặt phẳng cùng đi qua O.

trùng

b) mà trùng =>

Bài 5: Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao?

Giải nhanh: 

Hai mặt phẳng đó song song vì hai mặt phẳng đó phân biệt, cùng vuông góc với một đường thẳng

Bài 6: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng và đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P). Tính

Giải nhanh: 

Vì //(P) => a //b trong (P). 

Mà =>

Bài 7: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng Δ.

a) Qua một điểm O thuộc (P), kẻ đường thẳng a song song với a. Nêu vị trí tương đối giữa a' và (P).

b) Nêu vị trí tương đối giữa a và (P).

Giải nhanh: 

a) Do // và  nên 

a’ đi qua O và nên

b) Vì nên hoặc //

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, SA(ABCD). Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC), BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Chứng minh rằng SC(MBD) và AH // (MBD)

Giải nhanh: 

+)

Gọi

Mà

// (MBD)

4. BÀI TẬP

Bài 7.5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (SAM)

b) Tam giác SBC cân tại S.

Giải nhanh: 

a) Xét tam giác cân tại có: là đường trung tuyến 

là đường cao

Xét tam giác SBC có:

+ SM là đường cao

+ SM là đường trung tuyến ( là trung điểm

Tam giác SBC cân tại S

Bài 7.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông. 

Giải nhanh: 

+) ; ;

+) ; ;

Vì: Tam giác vuông tại .

Vì: Tam giác vuông tại.

Vì: Tam giác vuông tại.

Vì: Tam giác vuông tại.

Bài 7.7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:

AM⊥(SBC); AN⊥(SCD), SC⊥(AMN)

Giải nhanh: 

+) ; ;

+) ; ;

+) ; ;

+) ; ;

+) ; ;

Bài 7.8: Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không? 

Giải nhanh: 

Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng, đường thẳng chứa dây dọi vuông góc với mặt phẳng nước chứa mặt nước

Bài 7.9: Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột 1 m đến một điểm trên cột, cách chân cột 1 m được kết quả là 1,5 m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

Giải nhanh: 

Cột không có phương thẳng đứng.