BÀI 23. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

1. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

Bài 1: Đối với cánh cửa như trong Hình 7.10, khi đóng – mở cánh cửa, ta coi mép dưới BC của cánh cửa luôn sát sàn nhà (khe hở không đáng kể).

a) Từ quan sát trên, hãy giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng đi qua B trên sàn nhà.

b) Giải thích vì sao đường thẳng AB vuông góc với mọi đường thẳng trên sàn nhà.

Đáp án chuẩn:

a) Vì đường thẳng BC quay quanh điểm B và (AB,BC)=90 nên AB vuông góc với các đường thẳng trên mặt sàn và đi qua B.

b) Lấy đường thẳng a bất kì trên mặt sàn. Xét a' là đường thẳng trên mặt sàn, đi qua B và // a. Khi đó (AB,a)=AB,a'=90

Bài 2: Nếu đường thẳng Δ và mặt phẳng (P) vuông góc với nhau thì chúng có cắt nhau hay không? 

Đáp án chuẩn:

∆ và (P) cắt nhau.

Bài 3: Gấp tấm bìa cứng hình chữ nhật sao cho nếp gấp chia tấm bia thành hai hình chữ nhật, sau đó đặt nó lên mặt bàn như Hình 7.11.

a) Bằng cách trên, ta tạo được đường thẳng AB vuông góc với hai đường thẳng nào thuộc mặt bàn?

b) Trên mặt bàn, qua điểm A kẻ một đường thẳng a tuỳ ý. Dùng ê ke, hãy kiểm tra trên mô hình xem AB có vuông góc với a hay không.

Đáp án chuẩn:

a) AB⊥AD, AB⊥AN.

b) Đặt ê ke như mô tả trong hình vẽ. Ta thấy một cạnh của ê ke trùng với AB và một cạnh thuộc a nên AB vuông góc với a.

Bài 4: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì đường thẳng đó có vuông góc với các cạnh còn lại hay không? 

Đáp án chuẩn:

Đường thẳng vuông góc với cạnh thứ ba.

Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, SA = SC và SB = SD (H.7.14). Chứng minh rằng SO vuông (ABCD)

O là trung điểm của AC, BD⇒SO⊥AC, SO⊥BD ⇒SO⊥ABCD

Bài 6: Khi làm cột treo quần áo, ta có thể tạo hai thanh đế thẳng đặt dưới sàn nhà và dựng cột treo vuông góc với hai thanh đế đó (H.7.15). Hãy giải thích vì sao bằng cách đó ta có được cột treo vuông góc với sàn nhà. 

Đáp án chuẩn:

Vì cột treo vuông góc với hai thanh đế (cắt nhau) nên cột vuông góc với sàn nhà

2. TÍNH CHẤT

Bài 1: Cho điểm O và đường thẳng Δ không đi qua O. Gọi d là đường thẳng đi qua O và song song với Δ. Xét hai mặt phẳng phân biệt tuỳ ý (P) và (Q) cùng chứa d. Trong các mặt phẳng (P), (Q) tương ứng kẻ các đường thẳng a, b cùng đi qua O và vuông góc với d (H.7.16). Giải thích vì sao mp(a, b) đi qua O và vuông góc với Δ

Đáp án chuẩn:

Ta có: P=d,a;Q=(d,b). 

Do (P) và (Q) phân biệt => a và b phân biệt ⇒Δ⊥a; Δ⊥b

Mà a∩b={O}⇒mp(a,b) đi qua O và vuông góc với .

Bài 2: Cho mặt phẳng (P) và điểm O. Trong mặt phẳng (P), lấy hai đường thẳng cắt nhau a, b tuỳ ý. Gọi (α), (β) là các mặt phẳng qua O và tương ứng vuông góc với a, b (H.7.19).

a) Giải thích vì sao hai mặt phẳng (α), (β) cắt nhau theo một đường thẳng đi qua Q.

b) Nêu nhận xét về mối quan hệ giữa Δ và (P)

Đáp án chuẩn:

a) Có ),(β) không trùng nhau mà  (α),(β) có điểm chung O nên  (α),(β) cắt nhau theo một đường thẳng đi qua O.

b) a⊥Δ; b⊥Δ

Mà a∩b=I⇒Δ⊥(P)

Bài 3: Cho ba điểm phân biệt A, B, C sao cho các đường thẳng AB và AC cùng vuông góc với một mặt phẳng (P). Chứng minh rằng ba điểm A, B, C thẳng hàng. 

Đáp án chuẩn:

Ta có: AB⊥P;AC⊥P

Mặt khác, qua điểm A có duy nhất đường thẳng  (P)

⇒A, B, C thẳng hàng

3. LIÊN HỆ GIỮA QUAN HỆ SONG SONG VÀ QUAN HỆ VUÔNG GÓC CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Bài 1: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và song song với đường thẳng b. Lấy một đường thẳng m bất kì thuộc mặt phẳng (P). Tính (b, m) và từ đó rút ra mối quan hệ giữa b và (P).

Đáp án chuẩn:

b⊥P.

Bài 2: Cho hai đường thẳng phân biệt a và b cùng vuông góc với mặt phẳng (P). Xét O là một điểm thuộc a nhưng không thuộc b. Gọi c là đường thẳng qua O và song song với b.

a) Hỏi c có vuông góc với (P) hay không? Nhận xét về vị trí tương đối giữa a và c.

b) Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng a và b.

Đáp án chuẩn:

a) a trùng c

b) a//b

Bài 3: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và đường thẳng  vuông góc với (P). Gọi b là một đường thẳng bất kì thuộc (Q). Lấy một đường thẳng a thuộc (P) sao cho a song song với b (H.7.23). So sánh (Δ, b) và (Δ, a). Từ đó rút ra mối quan hệ giữa Δ và (Q).

Đáp án chuẩn:

∆ ⊥(Q)

Bài 4: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) cùng vuông góc với đường thẳng Δ . Xét O là một điểm thuộc mặt phẳng (P) nhưng không thuộc mặt phẳng (Q). Gọi (R) là mặt phẳng đi qua O và song song với (Q) (H.7.24).

a) Hỏi (R) có vuông góc với Δ hay không? Nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa (P) và (R).

b) Nêu vị trí tương đối giữa (P) và (Q).

Đáp án chuẩn:

a) (R) trùng (P)

b) (P)//(Q)

Bài 5: Một chiếc bàn có các chân cùng vuông góc với mặt phẳng chứa mặt bàn và mặt phẳng chứa mặt sàn. Hỏi hai mặt phẳng đó có song song với nhau hay không? Vì sao? 

Đáp án chuẩn:

Hai mặt phẳng đó song song vì hai mặt phẳng đó phân biệt, cùng vuông góc với một đường thẳng

Bài 6: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P) và đường thẳng Δ vuông góc với mặt phẳng (P). Tính (Δ, a).

Đáp án chuẩn:

∆,a=90o

Bài 7: Cho đường thẳng a và mặt phẳng (P) cùng vuông góc với một đường thẳng Δ.

a) Qua một điểm O thuộc (P), kẻ đường thẳng a song song với a. Nêu vị trí tương đối giữa a' và (P).

b) Nêu vị trí tương đối giữa a và (P).

Đáp án chuẩn:

a) a'P

b) a // (P)

Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình vuông, SA(ABCD). Kẻ AH vuông góc với SC (H thuộc SC), BM vuông góc với SC (M thuộc SC). Chứng minh rằng SC(MBD) và AH // (MBD)

Đáp án chuẩn:

+) BD⊥SAC => BD⊥SC

BM⊥SC;BD∩BM={B} ⇒SC⊥(MBD)

Gọi AC∩BD=O

SC⊥MBD;OM⊂MBD⇒SC⊥OM

Mà AH⊥SC AH//OM,OM⊂(MBD)⇒AH // (MBD)

4. BÀI TẬP

Bài 7.5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân tại A và SA ⊥ (ABC). Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng:

a) BC ⊥ (SAM)

b) Tam giác SBC cân tại S.

Đáp án chuẩn:

a) AM⊥BC; SA⊥BC; AM∩SA={A}⇒BC⊥(SAM)

b) Xét tam giác SBC có: SM là đường cao vừa là đường trung tuyến 

Tam giác SBC cân tại S

Bài 7.6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp S.ABCD là các tam giác vuông. 

Đáp án chuẩn:

Chứng minh BC⊥SB; CD⊥SD

Vì: SA⊥AB  Tam giác SAB vuông tại A.

Vì: SB⊥BC⇒ Tam giác SBC vuông tại B.

Vì: SD⊥CD⇒ Tam giác SCD vuông tại D.

Vì: SA⊥AD⇒ Tam giác SAD vuông tại A.

Bài 7.7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật và SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N tương ứng là hình chiếu của A trên SB, SD. Chứng minh rằng:

AM⊥(SBC); AN⊥(SCD), SC⊥(AMN)

Đáp án chuẩn:

CD⊥AN; BC⊥AM; SC⊥AM; SC⊥AN; AM⊥SC; 

AN⊥SC; AM∩AN=A⇒SC⊥AMN.

Bài 7.8: Bạn Vinh thả quả dọi chìm vào thùng nước. Hỏi khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng thì đường thẳng chứa dây dọi có vuông góc với mặt phẳng chứa mặt nước trong thùng hay không? 

Đáp án chuẩn:

Khi dây dọi căng và mặt nước yên lặng, đường thẳng chứa dây dọi vuông góc với mặt phẳng nước chứa mặt nước 

Bài 7.9: Một cột bóng rổ được dựng trên một sân phẳng. Bạn Hùng đo khoảng cách từ một điểm trên sân, cách chân cột 1 m đến một điểm trên cột, cách chân cột 1 m được kết quả là 1,5 m (H.7.27). Nếu phép đo của Hùng là chính xác thì cột có vuông góc với sân hay không? Có thể kết luận rằng cột không có phương thẳng đứng hay không?

Đáp án chuẩn:

Cột không có phương thẳng đứng.