BÀI 25. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

1. GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG, HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ 1. Cho hai mặt phẳng (P) và (Q). Lấy hai đường thẳng a, a' cùng vuông góc với (P), hai đường thẳng b, b' cùng vuông góc với (Q). Tìm mối quan hệ giữa các góc (a,b) và (a', b').

Đáp án chuẩn:

Mối quan hệ giữa hai góc (a,b) và (a',b') là bằng nhau.

LT 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là một hình chữ nhật có tâm O, SO ┴  (ABCD). Chứng minh rằng hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau khi và chỉ khi ABCD là một hình vuông.

Đáp án chuẩn:

Ta có: AC⊥SO và BD⊥SO; SA⊥SO và SB⊥SO

Vì ABCD là hình vuông, nên AC vuông góc với BD. Khi đó, góc giữa (SAC) và (SBD) là góc giữa đường thẳng AC và BD, mà đó chính là góc vuông. Do đó, (SAC) và (SBD) vuông góc với nhau.

2. ĐIỀU KIỆN HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ 2. Cho mặt phẳng (P) chứa đường thẳng b vuông góc với mặt phẳng (Q). Lấy một đường thẳng a vuông góc với (P) (H.7.47).

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tính góc giữa (P) và (Q).

Đáp án chuẩn:

a) góc giữa a và b bằng góc giữa hai mặt phẳng (S) và (T).

b) góc giữa (P) và (Q) bằng góc giữa đường thẳng b và c.

LT2 trang 46 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Trong HĐ1 của Bài 23, ta đã nhận ra rằng đường thẳng nối các bán lề của của phòng vuông góc với sàn nhà. Hãy giải thích vì sao trong quá trình đóng – mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

Đáp án chuẩn:

Trong quá trình đóng - mở cánh cửa, bán lề của cánh cửa vẫn cố định với mặt tường, nên đường thẳng nối bán lề của cánh cửa và cạnh của phòng vẫn là đường thẳng vuông góc với sàn nhà. Từ đó suy ra, trong quá trình đóng - mở, cánh cửa luôn vuông góc với sàn nhà.

3. TÍNH CHẤT HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

HĐ 3 trang 46 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau. Kẻ đường thẳng a thuộc (P) và vuông góc với giao tuyến $\Delta$ của (P)và (Q). Gọi O là giao điểm của a và $\Delta$. Trong mặt phẳng (Q), gọi b là đường thẳng vuông góc với $\Delta$ tại D.

a) Tính góc giữa a và b.

b) Tìm mỗi quan hệ giữa a và (Q)

Đáp án chuẩn:

1. 0 độ
2. Đường a và đường b là hai đường thẳng vuông góc với nhau

Đường a' cũng vuông góc với đường b

(Q) và mặt phẳng qua a và a' cũng là hai mặt phẳng vuông góc với nhau

HĐ 4 trang 46 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến a cùng vuông góc với mặt phẳng (R). Gọi O là một điểm thuộc a và a' là đường thẳng qua O và vuông góc với (R).

a) Hỏi a có nằm trong các mặt phẳng (P). (Q) hay không?

b) Tim mối quan hệ giữa a và a'.

c) Tim mối quan hệ giữa a và (R).

Đáp án chuẩn:

a) a nằm trong cả hai mặt phẳng (P) và (Q).

b) a' song song với a.

c) a vuông góc với mặt phẳng (R).

LT3. Với giả thiết như ở Ví dụ 3, chứng minh rằng:

a) Các mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) cùng vuông góc với (SAC);

b) Giao tuyến của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD) là đường thẳng đi qua A, nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

Đáp án chuẩn:

a) AB' và AD' cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng (SBC) và (SCD) khi đi qua A, tức là cùng vuông góc với mặt phẳng (SAC).

B'C' và B'D' cùng nằm trong mặt phẳng vuông góc với đường thẳng (SAB) và (SCD) khi đi qua A, tức là cùng vuông góc với mặt phẳng (SAC).

Vậy (AB'C'D') và (ABCD) đều vuông góc với (SAC).

b) đường thẳng AC là đường thẳng giao của hai mặt phẳng (AB'C'D') và (ABCD), và nó nằm trong mặt phẳng (ABCD) và vuông góc với AC.

4. GÓC NHỊ PHÂN

HĐ 5 . Một tài liệu hướng dẫn rằng đối với ghế bàn ăn, nên thiết kế lưng ghế tạo với mặt ghế một góc có số đo từ 100° đến 105°. Trong Hình 7.51, các tia Ox, Oy được vẽ tương ứng trên mặt ghế, lưng ghế đồng thời vuông góc với giao tuyển a của mặt ghế và lưng ghế.

a) Theo tài liệu nói trên, góc nào trong hình nên có số đo từ 100° đến 105°?

b) Nếu thiết kế theo hướng dẫn đó thì góc giữa mặt phẳng chứa mặt ghế và mặt phẳng chứa lưng ghế có thể nhận số đo từ bao nhiêu đến bao nhiêu độ?

Đáp án chuẩn:

a) 100° đến 105°  

b) 0 độ đến 90 độ.

LT4. Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$, AB = AC = a,

$\widehat{BAC}=120^{\circ}$ , $SA= \frac{a}{2\sqrt{3}}$. Gọi M là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng SMA là một góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A].

b) Tinh số đo của góc nhị diện [S, BC, A]

Đáp án chuẩn:

a) Chứng minh SMAˆ=180∘−2SMCˆ

=>  SMAˆ là một góc phẳng của góc nhị diện [S,BC,A]

b) 90 độ

Vận dụng 1: Trong cửa sổ ở Hình 7.56, cánh và khung cửa là các nửa hình tròn có đường kính 80 cm, bản lề được đính ở điểm chính giữa O của các cung tròn khung và cánh cửa. Khi cửa mở, đường kính của khung và đường kính của cánh song song với nhau và cách nhau một khoảng dị khi cửa đóng, hai đường kính đó trùng nhau. Hãy tính số đo của góc nhị diện có hai nửa mặt phẳng tương ứng chứa cánh, khung cửa khi d = 40 cm.

Đáp án chuẩn:

60∘

5. MỘT SỐ HÌNH LĂNG TRỤ ĐẶC BIỆT 

a) Hình lăng trụ đứng 

HĐ 6: Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình gì và các mặt bên đó có vuông góc với mặt đáy không? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

Các mặt bên của lăng trụ đứng là các hình chữ nhật, vì chúng được tạo thành bởi cặp đối xứng của các hình chữ nhật đồng dạng và song song với mặt đáy. Các cạnh của các hình chữ nhật này bằng nhau và vuông góc với mặt đáy.

Các mặt bên của lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy, vì chúng được tạo thành bởi việc kéo các cạnh của hình đáy theo hướng vuông góc so với mặt đáy. Do đó, các mặt bên là các hình chữ nhật có hai cạnh đối diện vuông góc với mặt đáy.

b) Hình lăng trụ đều

HĐ 7: Các mặt bên của hình lăng trụ đều có phải là các hình chữ nhật có cùng kích thước hay không? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

Các mặt bên của một hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật có cùng kích thước, khi đường cong của đáy và đỉnh của lăng trụ nằm trên cùng một đường thẳng song song với mặt đáy, thì các hình chữ nhật bên của lăng trụ có cùng kích thước, vì chúng đều có chiều cao bằng độ dài của cạnh đáy và chiều dài bằng chu vi của đáy.

c) Hình hộp đứng

HĐ 8: Trong 6 mặt của hình hộp đứng, có ít nhất bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

vì hình hộp được tạo thành từ hai hình vuông kề nhau và các đường thẳng nối các cạnh của hai hình vuông này đều là các đoạn thẳng và song song với các mặt hình vuông. 

d) Hình hộp chữ 

HĐ 9: 

a) Hình hộp chữ nhật có bao nhiêu mặt là hình chữ nhật? Vì sao?

b) Các đường chéo của hình hộp chữ nhật có bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường hay không? Vi sao?

Đáp án chuẩn:

a) Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, trong đó 2 mặt đối diện là hình chữ nhật và các mặt bên là hình chữ nhật nữa. 

b) vì hình hộp chữ nhật có đối xứng giữa các đường chéo dài. Một đường chéo là đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề nhau của hình chữ nhật. Vì hình chữ nhật có hai cặp đỉnh đối diện, nên hình hộp chữ nhật sẽ có 2 đường chéo dài, mỗi đường chéo nối hai đỉnh đối diện của hình hộp

e) Hình lập phương

HĐ 10: Các mặt của một hình lập phương là các hình gì? Vì sao?

Đáp án chuẩn:

Mặt của một hình lập phương là các hình vuông

Vận dụng 2: Từ một tấm tôn hình chữ nhật, tại 4 góc bác Hùng cắt bỏ đi 4 hình vuông có cũng kích thước và sau đó hàn gắn các mép tại các góc như Hình 7.65. Giải thích vì sao bằng cách đó, bác Hùng nhận được chiếc thùng không nắp có dạng hình hộp chữ nhật.

Đáp án chuẩn:

Do các hình vuông được cắt ra từ tấm tôn góc ban đầu có kích thước giống nhau, do đó khi ghép các mép lại với nhau, ta sẽ có được đường biên của chiếc hộp chữ nhật.

6. HÌNH CHÓP ĐỀU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỀU

HĐ 11: Tháp lớn tại Bảo tàng Louvre ở Paris (H.7.66) (với kết cấu kinh và kim loại) có dạng hình chóp với đây là hình vuông có cạnh bằng 34 m, các cạnh bên bằng nhau và có độ dài xấp xỉ 32,3 m (theo Wikipedia.org).

Giải thích vì sao hình chiếu của đỉnh trên đây là tâm của đáy tháp.

Đáp án chuẩn:

Vì hình chóp là một hình thể có tính chất đồng nhất, nên đường phân giác của tất cả các góc của đáy là một đường chung, chính là đường vuông góc với mặt phẳng đáy. Do đó, hình chiếu của đỉnh trên đáy tháp sẽ nằm ở trung tâm của hình vuông đáy.

HĐ 12: Cho hình chóp S.A₁A₂...A_n. Gọi O là hình chiếu của S trên mặt phẳng (A1A2...An).

a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O có gì đặc biệt đối với tam giác đều A1A2...An?

b) Nếu đa giác A1A2...An là đều và O là tâm của đa giác đó thì hình chóp đã cho có gì đặc biệt?

Đáp án chuẩn:

a) Trong trường hợp hình chóp đã cho là đều, vị trí của điểm O  sẽ trùng với tâm của đường tròn này, tức là tâm của đa giác đều A₁A₂...A_n.

b) Nếu đa giác A1A2...An là đều và O là tâm của đa giác đó, thì hình chóp đã cho sẽ là một hình chóp đều.

LT5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng $a\sqrt{\frac{5}{12}}$.Tính số đo của góc nhị diện [S, BC, A].

Đáp án chuẩn:

38∘

HĐ 13: Cho hình chóp đều S.A₁A₂...A_n. Một mặt phẳng không đi qua S và song song với mặt phẳng đáy, cắt các cạnh SA1, SA2,.... SAn, tương ứng tai B1B2,....,B_n

a) Giải thích vì sao S.B1,B2,....,Bn, là một hình chóp đều.

b) Gọi H là tâm của đa giác A1A2...An. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua tâm K của đa giác đều B1,B2,....,Bn, và HK vuông góc với các mặt phẳng (A1A2...An). (B1B2,....,Bn)

Đáp án chuẩn:

a) Vì mặt phẳng cắt các cạnh SA1, SA2,.... SAn, tương ứng tại B1B2,....,Bn là một mặt phẳng song song với mặt phẳng đáy nên các tam giác SA₁B₁, SA₂B₂,...., SA_nB_n đều và có cùng diện tích. Do đó, ta có thể kết luận rằng S.B₁B₂...B_n là một hình chóp đều.

b) Từ câu a) ta suy ra rằng các đoạn thẳng S.B₁, SB₂, ..., SA_n đều có cùng độ dài, và K là trung điểm của đoạn thẳng B₁B₂,....,B_n.

ta sử dụng tính chất của hình chóp đều và đa diện đều:

H nằm trên đường thẳng SA₁, do đó HK song song với SA₁ và vuông góc với mặt phẳng đáy A₁A₂...A_n.

HK vuông góc với các mặt phẳng A₂A₃...A_nA₁, A₃A₄...A₁A₂, ..., A_nA₁...A_(n-1).

Vì các đoạn thẳng SB₁, SB₂, ..., SA_n đều có cùng độ dài nên S.B₁B₂...Bn là một đa giác đều, và K là tâm của đa giác đều này. Do đó, ta có thể thấy rằng HK là đường cao của tam giác S.B₁B₂, vì vậy HK vuông góc với mặt phẳng B₁B₂...B_n.

BÀI TẬP

Bài tập 7.16: Cho hình chóp S.ABC có $SA \perp (ABC)$. Gọi H là hình chiếu của A trên BC.

a) Chứng minh rằng $(SAB) \perp (ABC)$ và $(SAH) \perp (SBC)$.

b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, $\widehat{ABC} = 30 ^{\circ}$, $AC = a$, $SA = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ .Tính số đo nhị diện [S. BC. A]

Đáp án chuẩn:

1. Vì SA⊥(ABC) nên ta có SA⊥AB và SA⊥AC. Do đó, ta có thể kết luận rằng hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC) là A, và hình chiếu của A trên đường thẳng SB cũng nằm trên mặt phẳng (ABC), do đó (SAB) vuông góc với (ABC).
2. -a2 √34

Bài tập 7.17: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a.

a) Tính độ dài đường chéo của hình lập phương.

b) Chứng minh rằng (ACC'A') ⊥  (BDD'B')

c) Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Chứng minh rằng $\widehat{COC'}$ là một góc phẳng của góc nhị diện [C, BD, C']. Tính (gần đúng) số đo của các góc nhị diện [C. BD, C]. [A, BD, C'].

Đáp án chuẩn:

1. d = 3a
2. (ACC′A′)⊥(BDD′B′)

Bài tập 7.18: Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D'.

a) Chứng minh rằng (BDD'B') ⊥  (ABCD).

b) Xác định hình chiếu của AC' trên mặt phẳng (ABCD).

c) Cho AB = a,BC=b,CC' =c . Tính AC'.

Đáp án chuẩn:

1. Ta có BD//B′D′ và BD′=BD, suy ra BDD′B′ là hình bình hành. Hơn nữa, BD⊥AB và B′D′⊥A′D′, suy ra BDD′B′⊥(ABCD).
2. AP⊥(ABCD) từ đó ta tìm được điểm P là giao điểm của đường thẳng AA′ với (ABCD) 
3. AC′ = √(a2+b22) + c2

Bài tập 7.19: Cho hình chóp đều S.ABC, đây có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

Đáp án chuẩn:

1. 1
2. 3

Bài tập 7.20 : Hai mái nhà trong Hình 7.72 là hai hình chữ nhật. Giả sử AB = 4,8m; OA = 2,8 m; OB = 4m.

a) Tính (gần đúng) số đo của góc nhị diện tạo bởi hai nửa mặt phẳng tương ứng chưa hai mái nhà.

b) Chứng minh rằng mặt phẳng (OAB) vuông góc với mặt đất phẳng. Lưu ý: Đường giao giữa hai mái (đường nóc) song song với mặt đất.

c) Điểm A ở độ cao (so với mặt đất) hơn điểm B là 0.5 m. Tính (gần đúng) góc giữa mái nhà (chứa OB) so với mặt đất.

Đáp án chuẩn:

1. 143∘
2. OA là đoạn thẳng nối hai điểm trên mặt đất phẳng nên OA vuông góc với mặt đất phẳng.
3. 49.68∘

Bài tập 7.21: Độ dốc của mái nhà, mặt sân, con đường thẳng là tang của góc tạo bởi mái nhà mặt sân, con đường thẳng đó với mặt phẳng nằm ngang. Độ dốc của đường thẳng dành cho người khuyết tật được quy định là không quá $\frac{1}{12}$ Hỏi theo đó, góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá bao nhiêu độ? (Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

Đáp án chuẩn:

góc tạo bởi đường dành cho người khuyết tật và mặt phẳng nằm ngang không vượt quá 45∘