BÀI 26. KHOẢNG CÁCH

1. KHOẢNG CÁCH TỪ MỘT ĐIỂM ĐẾN MỘT ĐƯỜNG THẲNG, ĐẾN MỘT MẶT PHẲNG

HĐ 1. a) Cho điểm M và đường thẳng a. Gọi H là hình chiếu của M trên a. Với mỗi điểm K thuộc a, vì sao giải thích vì sao MK ≥ MH (H.7.74).

b) Cho điểm M và mặt phẳng (P). Gọi H là hình chiếu của M trên (P). Với mỗi điểm K thuộc (P), giải thích vì sao MK ≥ MH (H7.75). (H.7.75).

Đáp án chuẩn:

a) Vì H là hình chiếu của M trên a nên MH ⊥⊥ a hay MH là đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng a. Khi đó MH là đường ngắn nhất nên MK ≥ MH.

b) Vì H là hình chiếu của M lên (P) nên MH ⊥⊥ (P), suy ra MH ⊥⊥ KH.

Dựa vào quan hệ giữa đường xiên và đường vuông góc ta có MK ≥≥ MH.

LT1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có ABC là tam giác vuông cân tại A, AB=a, AA'= h (H.7.77).

a) Tinh khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCC'B').

b) Tam giác ABC' là tam giác gì? Tính khoảng R cách từ A đến BC'.

Đáp án chuẩn:

1. d(A, BE) = a4+h2
2. 

2. KHOẢNG CÁCH GỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG, GIỮA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

HĐ 2: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Lấy hai điểm M, N bất kì thuộc a và gọi A, B tương ứng là các hình chiếu của chúng trên (P) (H.7.78).

Giải thích vì sao ABNM là một hình chữ nhật và M, N có cùng khoảng cách đến (P).

Đáp án chuẩn:

Ta có: AM và BN là hai đường thẳng vuông góc với (P) và AB và MN là hai đường thẳng chứa chúng. Do đó, AB//MN.

Vì AM và BN vuông góc với (P), ta có thể thấy rằng AMIN và BNIM là hai hình bình hành. Do đó, ta có:

AM=IN vàBN=IM

Từ 2 điều trên suy AB=MN => đpcm

HĐ 3: 

a) Cho hai đường thẳng m và n song song với nhau. Khi một điểm $M$ thay đổi trên m thì khoảng cách từ nó đến đường thẳng n có thay đổi hay không?

b) Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q) và một điểm $M$ thay đổi trên (P) (H.7.79). Hỏi khoảng cách từ $M$ đến (Q) thay đổi thế nào khi $M$ thay đổi.

Đáp án chuẩn:

a) Khi một điểm M thay đổi trên đường thẳng m, khoảng cách từ M đến đường thẳng n không thay đổi.

b) Khi một điểm M thay đổi trên mặt phẳng P, khoảng cách từ M đến mặt phẳng Q không thay đổi. 

LT2: Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = h$. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của $SA, SB, SC$.

a) Tính $d((MNP), (ABC))$ và $d(NP, (ABC))$.

b) Giả sử tam giác $ABC$ vuông tại $B$ và $AB = a$. Tính $d(A, (SBC))$.

Đáp án chuẩn:

a) d((MNP),(ABC))=h; d(NP,(ABC))=a2

b) d(A,(SBC = h2

Vận dụng: Ở một con dốc lên cầu, người ta đặt một khung khống chế chiều cao, hai cột của khung có phương thẳng đứng và có chiều dài bằng 2,28 m. Đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai đường mép dốc. Thanh ngang được đặt trên đỉnh hai cột. Biết dốc nghiêng 15° so phương nằm ngang. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường (theo đơn vị mét và làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai). Hỏi cầu này có cho phép xe cao 2,21 m đi qua hay không?

Đáp án chuẩn:

x ≤ 6,37m

3. KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU

HĐ 4: Cho hai đường thẳng chéo nhau a và b. Gọi (Q) là mặt phẳng chứa đường thẳng b và song song với a. Hình chiếu a' của a trên (Q) cắt b tại N. Gọi M là hình chiếu của N trên a (H.7.83).

a) Mặt phẳng chứa a và a' có vuông góc với (Q) hay không?

b) Đường thẳng MN có vuông góc với cả hai đường thẳng a và b hay không?

c) Nêu mối quan hệ của khoảng cách giữa a, (Q) và độ dài đoạn thẳng MN.

Đáp án chuẩn:

a) mặt phẳng chứa a và a' cũng vuông góc với (Q).

b) MN có vuông góc với cả hai đường thẳng a và b.

c) Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (Q) bằng độ dài đoạn thẳng NN', trong đó N' là hình chiếu của A lên (Q). Sử dụng định lý Pythagoras và các đường hình chiếu, ta có thể tính được khoảng cách giữa a và (Q) và độ dài đoạn thẳng MN.

Khám phá: Cho đường thẳng a vuông góc với mặt phẳng (P) và cắt (P) tại O. Cho đường thẳng b thuộc mặt phẳng (P). Hãy tìm mối quan hệ giữa khoảng cách giữa a, b và khoảng cách từ O đến b (H.7.88).

Đáp án chuẩn:

d là khoảng cách giữa a và mặt phẳng (P), oh là khoảng cách giữa b và mặt phẳng (P), MN là khoảng cách giữa a và b

BÀI TẬP

Bài tập 7.22: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là một tam giác đều và $(SAD) \perp (ABCD)$.

a) Tính chiều cao của hình chóp.

b) Tính khoảng cách giữa $BC$ và $(SAD)$.

c) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa $AB$ và $SD$.

Đáp án chuẩn:

1. SH = 32a
2. ( 2 + 2) a
3. Đường vuông góc chung của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng δ đi qua trung điẻm của AC và BD

• dS,AC = √6  3a

Bài tập 7.23: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, BC = c.

a) Tính khoảng cách giữa CC' và (BB'D'D).

b) Xác định đường vuông góc chung và tính khoảng cách giữa AC và B'D'.

Đáp án chuẩn:

1. 
2. Đường vuông góc chung của hai mặt phẳng (ABC) và (B′C′D′) la đường thẳng δ di qua trung điểm của BD và song song với ABCD.

Bài tập 7.24: Cho tứ diện ABCD có các cạnh đều bằng a. Gọi M, N tương ứng là trung điểm của các cạnh AB, CD. Chứng minh rằng:

a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Đáp án chuẩn:

a) MN vuông góc với CD và AB.

b) các góc tạo bởi các cặp cạnh đối diện trong tứ diện đều bằng nhau, mỗi góc bằng π2 (do OAB, OBC, OCD, ODA là tam giác vuông), nên chúng đều vuông góc với nhau.

Bài tập 7.25: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (D'AC) và (BC'A') song song với nhau và DB' vuông góc với hai mặt phẳng đó.

b) Xác định các giao điểm E, F của DB' với (D'AC), (BC'A'). Tính d(D'AC), (BC'A')).

Đáp án chuẩn:

a) Gọi O là tâm của hình lập phương, M là trung điểm của AB và N là trung điểm của A′C′. Ta có OM//D′A′C′ và ON//BC′A′ do OM và ON là đường trung bình của các cạnh tương ứng.

Do đó, (D′AC)//(BC′A′). Từ đó, ta có DB′⊥(D′AC) và DB′⊥(BC′A′), vì DB′ song song với cạnh AA′ và vuông góc với mặt phẳng chứa AA′.

Bài tập 7.26: Giá đỡ ba chân ở Hình 7.90 đang được mở sao cho ba gốc chân cách đều nhau một khoảng cách bằng 110 cm. Tính chiều cao của giá đỡ, biết các chân của giá đỡ dài 129 cm.

Đáp án chuẩn:

 119.5 cm.

Bài tập 7.27: Một bể nước có đáy thuộc mặt phẳng nằm ngang. Trong trường hợp này, độ sâu của bể là khoảng cách giữa mặt nước và đáy bể. Giải thích vì sao để đo độ sâu của bể, ta có thể thả quả dọi chạm đáy bể và đo chiều dài của đoạn dây dọi năm trong bề nước.

Đáp án chuẩn:

Độ sâu bể = chiều dài của đoạn dây dọi nằm trong bề nước