BÀI 10. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

1. KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU

Bài 1: Hãy tìm một số hình ảnh mặt phẳng trong thực tế

Giải nhanh:

Mặt bàn, mặt gương phẳng, mặt sàn phẳng, trần nhà phẳng,...

Bài 2: Chấm phạt đền trên sân bóng đá cho ta hình ảnh về một điểm thuộc mặt phẳng. Hãy tìm thêm các ví dụ khác cũng gợi cho ta hình ảnh đó.

Giải nhanh:

Một chấm mực trên tờ giấy trắng

2. CÁC TÍNH CHẤT THỪA NHẬN

Bài 1: Chiếc xà ngang đặt tựa lên hai điểm A, B của trụ nhảy thể hiện hình ảnh của một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Có thể tìm được một đường thẳng khác cũng đi qua hai điểm A, B này không?

Giải nhanh:

Không thể tìm được đường thẳng nào khác đi qua hai điểm đã cho ngoài đường thẳng tạo bởi xà ngang.

Bài 2: Có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm trong số ba điểm không thẳng hàng?

Giải nhanh:

Bài 3:  Trong Hình 4.4 là một khối rubik có bốn đỉnh và bốn mặt, mỗi mặt là một tam giác.

a) Đặt khối rubik sao cho ba đỉnh của mặt màu đỏ đều nằm trên mặt bàn. Khi đó, mặt màu đỏ của khối rubik có nằm trên mặt bàn hay không?

b) Có thể đặt khối rubik sao cho 4 đỉnh của nó đều nằm trên mặt bàn hay không?

Giải nhanh:

a) Mặt màu đỏ của khối rubik nằm trên mặt bàn.

b) Không thể

Bài 4: Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng?

Giải nhanh:

Có vô số mặt phẳng đi qua đường thẳng này nên có vô số mặt phẳng đi qua ba điểm thẳng hàng.

Bài 5: Cho tứ giác ABCD. Có bao nhiêu mặt phẳng đi qua ba trong số bốn đỉnh của tứ giác đó?

Giải nhanh:

Vì 4 điểm tạo thành 1 tứ giác, khi đó 4 điểm đã đồng phẳng và tạo thành 1 mặt phẳng duy nhất là mặt phẳng

Bài 6: Hãy giải thích tại sao trong thực tiễn có nhiều đồ vật được thiết kế gồm ba chân như chân đỡ máy ảnh, giá treo tranh, kiềng ba chân treo nổi,...

Giải nhanh:

Ta thấy các đồ vật này có thể đứng thẳng mà không bị đổ trên các bề mặt bởi vì các ba chân của các đồ vật này giống như 3 điểm không thẳng hàng.

Bài 7: Trong Ví dụ 2, lấy điểm N thuộc đường thẳng AB sao cho N khác M. Đường thẳng MN có thuộc mặt phẳng (ABC) hay không?

Giải nhanh:

Bài 8: Căng một sợi dây sao cho hai đầu của sợi dây nằm trên mặt bàn. Khi đó, sợi dây có nằm trên mặt bàn hay không?

Giải nhanh:

Sợi dây nằm trên mặt bàn

Bài 9: Trong Hình 4.7, mặt nước và thành bể có giao nhau theo đường thẳng hay không?

Giải nhanh:

Mặt nước và thành bể giao nhau theo đường thẳng.

Bài 10: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).

Giải nhanh:

Ta có: =

=> => , => Vậy là một điểm chung của

Vì S và A là hai điểm chung của nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng SA. Ta viết

3. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG

Bài 1: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C phân biệt (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?

Bài 10: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SCN).

Giải nhanh:

Ta có: =

=> => , => Vậy là một điểm chung của

Vì S và A là hai điểm chung của nên giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng SA. Ta viết

3. CÁCH XÁC ĐỊNH MỘT MẶT PHẲNG

Bài 1: Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d. Trên đường thẳng d lấy hai điểm B, C phân biệt (H.4.9). Mặt phẳng (ABC) có chứa điểm A và đường thẳng d hay không? Mặt phẳng (ABC) có chứa hai đường thẳng AB và BC hay không?

Bài 2: Trong Ví dụ 4, vẽ một đường thẳng c cắt cả hai đường thẳng a và b. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng: mp (S, a) và mp (S, c); mp (S, b) và mp (S, c).

Giải nhanh:

và nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng SL.

nên Hai điểm và cùng thuộc và nên giao tuyến của hai mặt phẳng đó là đường thẳng .

Bài 3: Để tránh cho cửa ra vào không bị va đập vào các đồ dùng xung quanh (do mở cửa quá mạnh hoặc do gió to đập cửa), người ta thường sử dụng một phụ kiện là hít cửa nam châm. Hãy giải thích tại sao khi cửa được hút tới vị trí của nam châm thì cánh cửa được giữ cố định.

Giải nhanh:

Phụ kiện hít cửa nam châm đại diện cho 1 điểm cố định, một cạnh của cánh cửa đại diện cho một đường thẳng không chứa điểm phụ kiện hít cửa nam châm. Chính vì vậy có một mặt phẳng được xác định khi phụ kiện hít cửa và một cạnh của cánh cửa, khi đó cánh cửa luôn được giữ cố định. Hình chóp và hình tứ diện

Bài 4: Các hình ảnh dưới đây có đặc điểm chung nào với hình chóp tam giác đều mà em đã học ở lớp 8?

Giải nhanh:

Các hình ảnh đã cho đều có các mặt bên là các tam giác có chung một đỉnh.

Bài 5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC (M khác S, C). Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD).

Giải nhanh:

+ Bốn mặt bên là các tam giác

+ Một mặt đáy là tứ giác .

Bài 6: Trong các hình chóp ở HĐ7, hình chóp nào có ít mặt nhất? Xác định số cạnh và số mặt của hình chóp đó.

Giải nhanh:

Hình chóp thứ ba tính từ trái sang (hình khối rubik) có ít mặt nhất.

Hình chóp này có 6 cạnh và 4 mặt

Bài 7: Trong Ví dụ 6, xác định giao điểm của đường thẳng DF và mặt phẳng 

(ABC).

Giải nhanh:

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 4.1: Trong không gian, cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (P). Những mệnh đề nào sau đây là đúng?

a) Nếu a chứa một điểm nằm trong (P) thì a nằm trong (P).

b) Nếu a chứa hai điểm phân biệt thuộc (P) thì a nằm trong (P).

c) Nếu a và b cùng nằm trong (P) thì giao điểm (nếu có) của a và b cũng nằm trong (P).

d) Nếu a nằm trong (P) và a cắt b thì b nằm trong (P).

Giải nhanh:

b) Mệnh đề b) là mệnh đề đúng

c) Mệnh đề c) là mệnh đề đúng

Bài tập 4.2: Cho tam giác ABC và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABC). Lấy D, E là các điểm lần lượt thuộc cạnh SA, SB và D, E khác S.

a) Đường thẳng DE có nằm trong mặt phẳng (SAB) không?

b) Giả sử DE cắt AB tại F. Chứng minh rằng F là điểm chung của hai mặt phẳng (SAB) và (CDE).

Giải nhanh:

a)

b) =>

=>

Vậy là điểm chung của và

Bài tập 4.3: Cho mặt phẳng (P) và hai đường thẳng a, b nằm trong (P). Một đường thẳng c cắt hai đường thẳng a và b tại hai điểm phân biệt. Chứng minh rằng đường thẳng c nằm trong mặt phẳng (P).

Giải nhanh:

Giả sử

Vì =>

Vì =>

Đường thẳng có hai điểm phân biệt và nên tất cả các điểm của đường thẳng c hay đường thẳng nằm trong mặt phẳng

Bài tập 4.4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và M là một điểm thuộc cạnh SC (M khác S, C). Giả sử hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại N. Chứng minh rằng đường thẳng MN là giao tuyến của hai mặt phẳng (ABM) và (SCD).

Giải nhanh:

=>

=> (1)

=>

=> (2)

Từ (1); (2) suy ra:

Bài tập 4.5: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD và lấy một điểm E thuộc cạnh SA của hình chóp (E khác S, A). Trong mặt phẳng (ABCD) vẽ một đường thẳng d cắt các cạnh CB, CD lần lượt tại M, N và cắt các tia AB, AD lần lượt tại P, Q.

a) Xác định giao điểm của mp(E, d) với các cạnh SB, SD của hình chóp.

b) Xác định giao tuyến của mp(E, d) với các mặt của hình chóp.

Giải nhanh:

a) Vì => . =>  

=>

Trong : . Do  

=> và  

=> .

Như vậy .

+) Vì => .  

=>

=>

Trong : . Do  

=> .

Như vậy .

b) 

+) => mà =>

Lại có:  

=>

=>  

=> .

+) Vì  

=> .

Lại có: =>

Vì =>  

Như vậy

+)  

=>

Lại có: => =>

Vì =>

Như vậy

+)  

Vì =>

Lại có: => và =>  

Vậy

+) ; 

Do đó  

Lại có:

Như vậy

Bài tập 4.6: Cho hình tứ diện ABCD. Trên các cạnh AC, BC, BD lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho AM = CM, BN = CN, BP = 2DP

a) Xác định giao điểm của đường thẳng CD và mặt phẳng (MNP)

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP)

Giải nhanh:

a) Trong : hay là trung điểm BC và sao cho:

. Khi đó:

mà =>

Như vậy

b) => . Vì =>

=>

Vì và nên

Như vậy

Bài tập 4.7: Tại các nhà hàng, khách sạn, nhân viên phục vụ bàn thường xuyên phải bưng bê nhiều khay, đĩa đồ ăn khác nhau. Một trong những nguyên tắc nhân viên cần nhớ là khay phải được bưng bằng ít nhất 3 ngón tay. Hãy giải thích tại sao?

Giải nhanh:

Ba đầu ngón tay minh họa cho 3 điểm phân biệt không thẳng hàng. Khi đó, mỗi khay, đĩa đồ ăn đại diện cho một mặt phẳng đi qua ba điểm ở đầu ngón tay làm cho khay, đĩa đồ ăn được giữ vững bằng phẳng

Bài tập 4.8: Bàn cắt giấy là một dụng cụ được sử dụng thường xuyên ở các cửa hàng photo-copy. Bàn cắt giấy gồm hai phần chính: phần bàn hình chữ nhật có 

kích thước giấy và phần dao cắt có một đầu được cố định vào bàn. Hãy giải thích tại sao khi sử dụng bàn cắt giấy thì các đường cắt luôn là đường thẳng.

Giải nhanh:

Phần dao cắt có một đầu được gắn cố định vào bàn, giấy cắt được đặt lên phần bàn hình chữ nhật, khi cắt mặt phẳng cắt giao với mặt phẳng giấy theo một giao tuyến là phần đường cắt nên nó luôn là một đường thẳng