BÀI 9. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO CÁC XU THẾ TRUNG TÂM

1. SỐ TRUNG BÌNH CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Khảo sát thời gian tự học của các học sinh trong lớp theo mẫu bên.

a) Hãy lập bảng thống kê cho mẫu số liệu ghép nhóm thu được

b) Có thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp không?

c) Có cách nào tính gần đúng thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm này không?

Giải nhanh:

a) 

b) Ta không thể tính chính xác thời gian tự học trung bình của các học sinh trong lớp 

c) Dựa trên mẫu số liệu ghép nhóm bằng cách chọn thời gian đại diện cho mỗi nhóm, sau đó sử dụng tần số tương ứng để tính số trung bình, cụ thể:

- Thời gian tự học dưới giờ, ta chọn giá trị đại diện là giờ, tần số tương ứng là 5

- Thời gian tự học từ 1,5 đến dưới 3 giờ, ta chọn giá trị đại diện là , tần số tương ứng là 15

- Thời gian tự học từ 3 đến dưới 4,5 giờ, ta chọn giá trị đại diện là tần số tương ứng là 8

- Thời gian tự học là từ 4,5 giờ trở lên, ta chọn giá trị đại diện là 5,25, tần số tương ứng là 2.

=> Số trung bình là:

Bài 2: Tìm hiểu thời gian xem ti vi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả sau:

Tính thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các bạn học sinh này.

Giải nhanh:

Trong mỗi khoảng thời gian, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số học sinh là . Thời gian xem ti vi trung bình trong tuần trước của các học sinh là: (giờ)

2. TRUNG VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Cho mẫu số liệu ghép nhóm về chiều cao của 21 cây na giống.

Gọi x1, x2, ..., x21 là chiều cao của các cây giống, đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, x1, ..., x3 thuộc [0; 5), x4, ..., x11 thuộc [5; 10), ... Hỏi trung vị thuộc nhóm nào?

Giải nhanh:

Ta có: , là số lẻ nên trung vị là giá trị chính giữa của mẫu số liệu và là giá trị ở vị trí thứ 11 của mẫu số liệu. Mà thuộc nên trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm

Bài 2: Ghi lại tốc độ bóng trong 200 lần giao bóng của một vận động viên môn quần vợt cho kết quả như bảng bên.

Tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này.

Giải nhanh:

Cỡ mẫu là n = 200.

Gọi x₁, x₂, ..., x₂₀₀ là tốc độ giao bóng của vận động viên trong 20 lần giao bóng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là: . Do 2 giá trị thuộc nhóm nên nhóm này chứa trung vị.

Do đó:

Ta có:

3. TỨ PHÂN VỊ CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Với mẫu số liệu ghép nhóm cho trong HĐ2, hãy cho biết tứ phân vị thứ nhất Q1 và tứ phân vị thứ ba Q3 thuộc nhóm nào.

Giải nhanh:

Vì nên tứ phân vị thứ nhất là trung vị của dãy gồm 10 số liệu đầu tiên và chính là trung bình cộng của giá trị ở vị trí thứ 5 và thứ 6, do đó:

, mà thuộc nhóm nên tứ phân vị thứ nhất thuộc nhóm

 Tứ phân vị thứ ba là trung vị của dãy gồm 10 số liệu nằm bên phải trung vị là dãy nên . Ta có: , do đó thuộc nhóm nên tứ phân vị thứ ba thuộc nhóm

Bài 2: Tìm tứ phân vị thứ nhất và tứ phân vị thứ ba cho mẫu số liệu ghép nhóm ở Luyện tập 2

Giải nhanh:

Cỡ mẫu là

Tứ phân vị thứ nhất là . Do đều thuộc nhóm nên nhóm này chứa . Do đó, 

Ta có:

Tứ phân vị thứ ba là . Do đều thuộc nhóm nên nhóm này chứa . Do đó, 

. Ta có:

4. MỐT CỦA MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM

Bài 1: Với số liệu cho trong Luyện tập 1:

a) Có thể tìm được giá trị chính xác cho mốt của mẫu số liệu gốc về thời gian xem ti vi của học sinh không?

b) Mốt thuộc nhóm nào là hợp lí nhất? Nên lấy số nào trong nhóm để ước lượng được cho mốt?

Giải nhanh:

a) Không thể, do không có thời gian cụ thể của từng học sinh.

b) Tần số lớn nhất là 16 nên mốt thuộc nhóm là hợp lí nhất. Ta ước lượng mốt của mẫu số liệu bằng cách xác định số thứ tự của nhóm chứa mốt là ;

Do đó, mốt của mẫu số liệu xấp xỉ bằng: 

Bài 2: Thời gian (phút) để học sinh hoàn thành một câu hỏi thi được cho như sau:

Tìm mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này

Giải nhanh:

Tần số lớn nhất là 10 nên nhóm chứa mốt là nhóm

Ta có, 

.

Do đó, mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Bài 3: Hãy tính các số đặc trưng cho mẫu số liệu trong Bảng 3.1 và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được

Giải nhanh:

Ta có:

Bảng 3.1. Số tiền khách hàng mua xăng

+) Số trung bình

Trong mỗi khoảng số tiền, giá trị đại diện là trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng sau:

Tổng số khách hàng là . Số trung bình là:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho số trung bình của mẫu số liệu gốc. Từ đó, ta thấy số tiền bán xăng trung bình của 35 khách hàng xấp xỉ 63 nghìn đồng và có thể dùng làm đại diện cho mẫu số liệu.

+) Số trung vị, tứ phân vị

Cỡ mẫu là

- Gọi là số tiền xăng của 35 khách hàng và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là . Do thuộc nhóm nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, và ta có:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu gốc thành hai phần, mỗi phần chứa giá trị. Từ đó ta thấy trung vị của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 59, giá trị này là ngưỡng để chia mẫu số liệu gốc thành 2 phần.

- Tứ phân vị thứ nhất là . Do thuộc nhóm nên nhóm này chứa . Do đó,

và ta có:

- Tứ phân vị thứ ba là . Do thuộc nhóm nên nhóm này chứa . Do đó, 

và ta có:

- Tứ phân vị thứ hai

Có khoảng 25% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 41 500 đồng; 50% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 59 000 đồng; 75% số khách hàng mua xăng với số tiền ít hơn 84 750 đồng.

+) Mốt

Tần số lớn nhất là 15 nên nhóm chứa mốt là nhóm . Ta có . Do đó

Do đó, mốt của mẫu số liệu gốc xấp xỉ bằng 51,18. Vậy số khách hàng mua xăng với giá tiền khoảng 51,18 nghìn đồng là nhiều nhất.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 3.4: Quãng đường (km) đi từ nhà đến nơi làm việc của 40 công nhân một nhà máy được ghi lại như sau:

a) Ghép nhóm dãy số liệu trên thành các khoảng có độ rộng bằng nhau, khoảng đầu tiên là [0; 5). Tìm giá trị đại diện cho mỗi nhóm.

b) Tính số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm và mẫu số liệu ghép nhóm. Giá trị nào chính xác hơn?

c) Xác định nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm thu được.

Giải nhanh:

a) 

Giá trị đại diện cho mỗi nhóm là trung bình của hai đầu mút của nhóm. Ta có bảng giá trị đại diện như sau:

b) Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là:

Số trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm là

Giá trị trung bình của mẫu số liệu không ghép nhóm chính xác hơn vì nó là giá trị của mẫu số liệu gốc.

c) Nhóm và

Bài tập 3.5: Tuổi thọ (năm) của 50 bình ắc quy ô tô được cho như sau:

a) Xác định mốt và giải thích ý nghĩa.

b) Tính tuổi thọ trung bình của 50 bình ắc quy ô tô này

Giải nhanh:

a) 14 là tần số lớn nhất nên mốt thuộc nhóm [3;3.5), ta a) Tần số lớn nhất là 14 nên nhóm chứa mốt là nhóm . Ta có:

Ý nghĩa: Tuổi thọ của bình ắc quy ô tô khoảng năm là nhiều nhất hay tuổi thọ chủ yếu của bình ắc quy ô tô khoảng năm.

b) 

Tuổi thọ trung bình của 50 ắc quy ô tô này là:

(năm)

Bài tập 3.6: Điểm thi môn Toán (thang điểm 100, điểm được làm tròn đến 1) của 60 thí sinh được cho trong bảng sau:

a) Hiệu chỉnh để thu được mẫu số liệu ghép nhóm dạng Bảng 3.2.

b) Tìm các tứ phân vị và giải thích ý nghĩa của chúng

Giải nhanh:

a) 

b)

Gọi là điểm thi môn Toán của 60 thí sinh và giả sử dãy này đã được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó, trung vị là . Do hai giá trị thuộc nhóm nên nhóm này chứa trung vị. Do đó, và ta có:

Tứ phân vị thứ nhất là : . Do và đều thuộc nhóm nên nhóm này chứa . Do đó, 

và ta có :

Tứ phân vị thứ ba là : . Do và đều thuộc nhóm nên nhóm này chứa . Do đó, 

và ta có :

Tứ phân vị thứ hai

Bài tập 3.7: Phỏng vấn một số học sinh khối 11 về thời gian (giờ) ngủ của một buổi tối, thu được bảng số liệu ở bên.

a) So sánh thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam và nữ.

b) Hãy cho biết 75% học sinh khối 11 ngủ ít nhất bao nhiêu giờ?

Giải nhanh:

a) 

Tổng số các bạn nam là

Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nam là:

Tổng số các bạn nữ là

Thời gian ngủ trung bình của các bạn học sinh nữ là:

Vì nên thời gian ngủ trung bình của các học sinh nam ít hơn các học sinh nữ.

b) 

Tổng số học sinh khối 11 được khảo sát là

Gọi là thời gian ngủ của các học sinh khối 11 được khảo sát và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó trung vị của mẫu số liệu là

Do đó, tứ phân vị thứ ba . Vì thuộc nhóm nên nhóm này chứa  

Vậy học sinh khối 11 ngủ ít nhất giờ