CHƯƠNG IX: ĐẠO HÀM

BÀI 32. CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM

1. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 

Hoạt động 1 trang 88 sgk Toán 11 tập 2 KNTT:  Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xⁿ

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ N)

Giải nhanh: 

a) Với bất kì, ta có:

b)

Kết luận: Hàm số có đạo hàm trên và

Hoạt động 2 trang 88 sgk Toán 11 tập 2 KNTT

Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = tại điểm x>0.

Giải nhanh:

Với bất kì, ta có:

2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG

Hoạt động 3 trang 89 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: 

Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y=x³+x²tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x³+x²)′ và (x³)′+(x²)′

Giải nhanh: 

a) Với bất kì, ta có:

b)

Do đó

Luyện tập 1 trang 90 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

b)        

Giải nhanh: 

a)
b)

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

Hoạt động 4 trang 90 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số y = u² và u = x²+1

a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x

b) Tính và so sánh: y'(x) và y'(u).u'(x)

Giải nhanh: 

a)
b)

=>

Luyện tập 2 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)

b)

Giải nhanh: 

a)

b)

4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

Hoạt động 5 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h≠0, biến đổi hiệu sin(x + h)- sin x thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn = 1 và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa

Giải nhanh: 

a)
b) Với bất kì, ta có:

Luyện tập 3 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số 

Y = sin ()

Giải nhanh: 

Hoạt động 5 trang 91 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm số y=cos x. Bằng cách viết y = cosx = sin ()tính đạo hàm của hàm số y = cosx

Giải nhanh: 

Luyện tập 4 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số 

y = 2.cos()

Giải nhanh:

Hoạt động 7 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết y = tanx = (x ≠ + k, k ∈ Z, tính đạo hàm của hàm số y = tanx

b) Sử dụng đẳng thức x = tan() - x với x ≠ , k ∈ Z tính đạo hàm của hàm số y  = cotx

Giải nhanh: 

a)

b)

Luyện tập 5 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số y = 2tan²x + 3cot-2x)

Giải nhanh: 

5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT

a) Hình lăng trụ đứng 

Hoạt động 8 trang 92 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t =, tìm giới hạn

b) Với y = , tính Ln y và tìm giới hạn của

c) Đặt t = e^x-1. Tính x theo t và tìm giới hạn

Giải nhanh: 

a) Ta có thì ;

b)

c)

Hoạt động 9 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn và đẳng thức e^x+h - e^x = e^x(e^h - 1), tính đạo hàm của hàm số y = x^e tại x bằng định nghĩa

b) Sử dụng đẳng thức a^x = e^xlna (0< a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y=a^x

Giải nhanh: 

a) Với bất kì và , ta có:

b) Ta có:

 .

Luyện tập 6 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y =

b) y =

Giải nhanh:

a)

b)

Hoạt động 10 trang 93 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) sử dụng giới hạn =1và đẳng thức ln(x+h) –lnx = ln= ln(1+) tính đạo hàm của hàm số y = Inx tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức log_ax = (0< a≠ 1), hãy tính đạo hàm của y = log_ax

Giải nhanh:

a) Với bất kì và ta có 

b) Ta có nên .

Luyện tập 7 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số log₂(2x-1)

Giải nhanh: 

Hàm số xác định trên

Vận dụng 2 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH=-log[H+], ở đó [H+] là nồng độ (mol/l) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H+]

Giải nhanh: 

BÀI TẬP

Bài tập 9.6 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=x³−3x²+2x+1

b) y=x²−4+3

Giải nhanh:

1. .
2. .

Bài tập 9.7 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y =

b) y =  

Giải nhanh: 

1. .
2.  .

Bài tập 9.8 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y=xsin²x

b) y=cos²x+sin2x

c) sin3x-3sinx

d) tanx+cotx

Giải nhanh: 

a) .
b) .
c) .
d) Với , ta có .

Bài tập 9.9 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y =

b) y = log₃(4x+1)

Giải nhanh: 

a)
b)

Bài tập 9.10 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số f(x) = 2sin²(3x-). Chứng minh rằng

Giải nhanh:

.
=> .
Bài tập 9.11 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t)= 100 – 4,9t², ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây

b) Khi vật chạm đất.

Giải nhanh:

a) .
.
b) Khi vật chạm đất thì túc là .
.
Ở đây, dấu âm trong các kết quả tính vận tốc thể hiện vật chuyển động thẳng đứng xuống dưới (ngược với chiều dương).

Bài tập 9.12 trang 94 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?

Giải nhanh:

(cm).

Ta có nên vận tốc cực đại của hạt là .