CHƯƠNG IX: ĐẠO HÀM

BÀI 31. ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM

1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ĐẾN KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

a) Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

Hoạt động 1 trang 81 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật di chuyển trên một đường thẳng (H.9.2). Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).

a) Tính vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t₀ đến t.

b) Giới hạn cho ta biết điều gì ?

Giải nhanh: 

a)

b) Giới hạn cho ta biết vận tốc tức thời của vật tại thời điểm

b) Cường độ tức thời

Hoạt động 2 trang 82 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t)

a) Tính cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t0 đến t.

b) Giới hạn cho ta biết điều gì?

Giải nhanh: 

a) .

b) Giới hạn cho ta biết cường độ tức thời của vật tại thời điểm

2. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM 

Hoạt động 2 trang 45 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: 

Luyện tập 1 trang 83 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số tại điểm y = tại điểm x_{0 =} -1

Giải nhanh: 

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT KHOẢNG

Hoạt động 3 trang 83 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm f'(x₀) tại điểm x₀ bất kì trong các trường hợp sau:

a) f(x) = c (c là hằng số);

b) f(x) = x.

Giải nhanh: 

Luyện tập 2 trang 84 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x² + 1

b) y = kx + c (với k, c là các hằng số).

Giải nhanh: 

a) Với bất kì, ta có:

b) Với bất kì, ta có:

4. Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA ĐẠO HÀM

Hoạt động 4 trang 84 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Nhận biết tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và P(x₀; f(x₀)) ∈ (C). Xét điểm Q(x; f(x)) thay đổi trên (C) với x ≠ x₀.

a) Đường thẳng đi qua hai điểm P, Q được gọi là một cát tuyến của đồ thị (C) (H.9.3). Tìm hệ số góc k_PQ của cát tuyến PQ.

b) Khi x → x₀ thì vị trí của điểm Q(x; f(x)) trên đồ thị (C) thay đổi như thế nào?

c) Nếu điểm Q di chuyển trên (C) tới điểm P mà k_PQcó giới hạn hữu hạn k thì có nhận xét gì về vị trí giới hạn của cát tuyến QP?

Giải nhanh: 

a)

b) Khi thì vị trí của điểm trên đồ thị (C) sẽ tiến gần đến điểm và khi hai điểm này sẽ trùng nhau.
c) Nếu điểm di chuyển trên tới điểm mà có giới hạn hữu hạn thì cát tuyến cũng sẽ tiến đến gần vị trí đường thẳng

Luyện tập 3 trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y = x² tại điểm có hoành độ x₀ = 1/2

Giải nhanh:

Ta có nên . Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ là .

Hoạt động 5 trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số y = x² có đồ thị là đường parabol (P).

a) Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của (P) tại điểm có hoành độ x₀=1.

b) Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Giải nhanh:

a) Ta có nên .

Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol tại điểm có hoành độ là

b)

Luyện tập 4 trang 48 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol (P): y = –2x² tại điểm có hoành độ x₀ = –1.

Giải nhanh:

Ta có: nên
Ngoài ra, nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là

Vận dụng trang 85 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Người ta xây dựng một cây cầu vượt giao thông hình parabol nối hai điểm có khoảng cách là 400 m (H.9.4). Độ dốc của mặt cầu không vượt quá 10⁰ (độ dốc tại một điểm được xác định bởi góc giữa phương tiếp xúc với mặt cầu và phương ngang như Hình 9.5). Tính chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu đến mặt đường (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Giải nhanh:

Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho là trung điểm , tia trùng với tia , tia Oy hướng lên trên.

Khi đó . Gọi chiều cao giới hạn của cầu là h , suy ra đỉnh cầu có tọa độ .

Ta tìm được phương trình parabol của cầu là
Ta có . 

=> .

=>

Độ dốc của mặt cầu không quá nên ta có

Vậy chiều cao giới hạn từ đỉnh cầu tới mặt đường là .

BÀI TẬP

Bài tập 9.1 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x² – x tại x₀ = 1;

b) y = –x³ tại x₀ = –1.

Giải nhanh: 

a) Ta có: .
Với .
Tính giới hạn . 

Vậy .
b) Ta có:

.
Với.
Tính giới hạn . 

Vậy

Bài tập 9.2 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Sử dụng định nghĩa, tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = kx² + c (với k, c là các hằng số);

b) y = x³.

Giải nhanh:

a) Với bất kì, ta có:

b) Với bất kì, ta có

Bài tập 9.3 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Viết phương trình tiếp tuyến của parabol y = –x² + 4x, biết:

a) Tiếp điểm có hoành độ x₀ = 1;

b) Tiếp điểm có tung độ y₀ = 0.

Giải nhanh: 

Với bất kì, ta có

a) Hệ số góc của tiếp tuyến là . Ngoài ra, ta có nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là hay .
b) Do nên . Suy ra .

Với , ta có hệ số góc của tiếp tuyến là , nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là hay .

Với , ta có hệ số góc của tiếp tuyến là , nên phương trình tiếp tuyến cần tìm là hay .

Bài tập 9.4 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu là 19,6 m/s thì độ cao h của nó (tính bằng mét) sau t giây được cho bởi công thức h = 19,6t – 4,9t². Tìm vận tốc của vật khi nó chạm đất.

Giải nhanh:

Khi vật chạm đất thì , tức là
Ta có :

Bài tập 9.5 trang 86 sgk Toán 11 tập 2 KNTT: Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong có dạng parabol (H.9.6a), đoạn dốc lên L₁ và đoạn dốc xuống L₂ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là 0,5 và –0,75. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, L₁ và L₂ phải là những tiếp tuyến của cung parabol tại các điểm chuyển tiếp P và Q (H.9.6b). Giả sử gốc tọa độ đặt tại P và phương trình của parabol là y = ax² + bx + c, trong đó x tính bằng mét.

a) Tìm c.

b) Tính y'(0) và tìm b.

c) Giả sử khoảng cách theo phương ngang giữa P và Q là 40 m. Tìm a.

d) Tìm chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp P và Q.

Giải nhanh: 

Ta có:

.
a) .
b) Ta có là hệ số góc của đồ thị tại điểm , .

=>
c) Do khoảng cách theo phương ngang giữa và là nên hoành độ tại điểm là 40. Ta có là hệ số góc của đồ thị tại điểm , tức là:

Do nên

Vậy phương trình parabol là
d)