CHƯƠNG IX: ĐẠO HÀM

BÀI TẬP CUỐI CHƯƠNG IX

Bài 9.18: Với u, v là các hàm số hợp theo biến x, quy tắc tính đạo hàm nào sau đây là đúng?

A. (u + v)' = u' – v'

B. (uv)' = u'v + uv'

C. ()' =

D. ()' =

Giải nhanh: 

B. (uv)' = u'v + uv'

Bài 9.19: Cho hàm số f(x) = x² + sin³x. Khi đó f′() bằng

A. π

B. 2π

C. π + 3

D. π – 3

Giải nhanh:

A. π

Bài 9.20: Cho hàm số f(x) = x³−x²−3x+1.Tập nghiệm của bất phương trình f'(x) ≤ 0 là

A. [1; 3]

B. [–1; 3]      

C. [–3; 1]

D. [–3; –1]

Giải nhanh:

B. [–1; 3]     

Bài 9.21: Cho hàm số f(x) = với u(1) = 7, u'(1) = 10. Khi đó f'(1) bằng

A. 1

B. 6

C. 3

D. –3 

Giải nhanh:

C. 3

Bài 9.22: Cho hàm số f(x) = x²e^–2x. Tập nghiệm của phương trình f'(x) = 0 là

A. {0; 1}

B. {–1; 0}

C. {0}

D. {1} 

Giải nhanh:

A. {0; 1}

Bài 9.23: Chuyển động của một vật có phương trình s(t) = sin(0,8πt+)0,8πt+π3, ở đó s tính bằng centimét và thời gian t tính bằng giây. Tại các thời điểm vận tốc bằng 0, giá trị tuyệt đối của gia tốc của vật gần với giá trị nào sau đây nhất?

A. 4,5 cm/s²

B. 5,5 cm/s²

C. 6,3 cm/s²

D. 7,1 cm/s²

Giải nhanh:

C. 6,3 cm/s²

Bài 9.24: Cho hàm số y = x³ – 3x² + 4x – 1 có đồ thị là (C). Hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến tại một điểm M trên đồ thị (C) là

A. 1

B. 2

C. –1

D. 3

Giải nhanh:

A. 1

Bài 9.25: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y =

b) y =                                          

c)

d) Log(x+ )

Giải nhanh: 

a) Với , ta có .

b) .

c)

d) Với , ta có .

Bài 9.26: Xét hàm số lũy thừa y = x^α với α là số thực.

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Bằng cách viết y = x^α = e^αlnx, tính đạo hàm của hàm số đã cho. 

Giải nhanh:

a)
b) .

Bài 9.27:  Cho hàm số f(x) = . Đặt g(x) = f(1) + 4(x² – 1).f'(1). Tính g(2)

Giải nhanh:

Với , ta có .

.

Bài 9.28: Cho hàm số f(x) = . Tính f''(0)

Giải nhanh:

.

Bài 9.29: Cho hàm số f(x) thỏa mãn f(1) = 2 và f'(x) = x²f(x) với mọi x. Tính f''(1)

Giải nhanh:

Ta có .
Mặt khác, từ => .
Do đó

Bài 9.30: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ + 3x² – 1 tại điểm có hoành độ bằng 1

Giải nhanh:

Ta có: .

Do hệ số góc của tiếp tuyến là . 

Ngoài ra, ta có

=> => .

Bài 9.31: Đồ thị của hàm số y = (a là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi.

Giải nhanh:

Ta có . Gọi là một điểm bất kì trên hypebol. 
Phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm là => .
Gọi là giao điểm của với trục hoành, khi đó .
Gọi là giao điểm của với trục tung, khi đó .
không đổi.

Bài 9.32: Hình 9.10 biểu diễn đồ thị của ba hàm số. Hàm số thứ nhất là hàm vị trí của một chiếc ô tô, hàm số thứ hai biểu thị vận tốc và hàm số thứ ba biểu thị gia tốc của ô tô đó. Hãy xác định đồ thị của mỗi hàm số này và giải thích.

Giải nhanh:

- Hàm số c luôn đồng biến (đạo hàm của nó luôn không âm) 

Hàm số b là đạo hàm của hàm số c.

- Hàm số b đồng biến trên khoảng mà hàm số a dương, nghịch biến trên khoảng hàm số a âm.

Hàm số a là đạo hàm của hàm số b.

Vậy hàm số a là hàm gia tốc, hàm số b là hàm vận tốc và hàm số c là hàm vị trí của ô tô.

Bài 9.33: Vị trí của một vật chuyển động thẳng được cho bởi phương trình: s = f(t) = t³ – 6t² + 9t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét.

a) Tính vận tốc của vật tại các thời điểm t = 2 giây và t = 4 giây.

b) Tại những thời điểm nào vật đứng yên?

c) Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.

d) Tính tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.

e) Trong 5 giây đầu tiên, khi nào vật tăng tốc, khi nào vật giảm tốc? 

Giải nhanh:

Ta có    và

a) .

.

b) . 
c) .
d) hoặc .
Do đó ta cần tính riêng quãng đường vật đi được trong từng khoảng thời gian .
Từ thời điểm giây đến thời điểm giây, vật đi được quãng đường là:

Từ thời điểm giây đến thời điểm giây, vật đi được quãng đường là:
.

Từ thời điểm giây đến thời điểm giây, vật đi được quãng đường là:
.

Vậy tổng quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên là: 4 + 4 + 20 = 28 m.

e) Xét

Với thì gia tốc âm, tức là vật giảm tốc.

Với thì gia tốc dương, tức là vật tăng tốc.