BÀI 15. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

1. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0. Cho dãy số với

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0.01?

Giải nhanh:

a) .

Biểu diễn các số hạng này trên trục số, ta được:

b) Khoảng cách từ đến 0 là

Ta có:

Vậy bắt đầu từ số hạng thứ 101 của dãy thì khoảng cách từ đến 0 nhỏ hơn 0,01

Bài 2: Chứng minh rằng

Giải nhanh:

Bài 3: Nhận biết dãy số có giới hạn là 0

Cho dãy số (Un) với Un =

a) Biểu diễn năm số hạng đầu của dãy số này trên trục số

b) Bắt đầu từ số hạng nào của dãy, khoảng cách từ un đến 0 nhỏ hơn 0.01?

Giải nhanh:

Nhận biết dãy số có giới hạn hữu hạn.

Ta có:  

Do đó

Bài 4: Cho dãy số (Un) với Un = . Chứng minh rằng:

Giải nhanh:

Mà khi  

Do vậy lim

Bài 5: Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng 2/3 độ cao trước đó. Giả sử rằng quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Giả sử un là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ n. Chứng minh rằng dãy số (un) có giới hạn là 0.

Giải nhanh:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống mặt sàn, sau lần chạm sàn đầu tiên, quả bóng nảy lên một độ cao là

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là: 

Tiếp đó, bóng rơi từ độ cao u₂ xuống mặt sàn và nảy lên độ cao là:

Sau lần chạm sàn thứ n, quả bóng nảy lên độ cao là

Ta có: , do đó,  

2. ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Hình thành quy tắc tính giới hạn. Cho hai dãy số (Un) và (Vn) với 

=

Tính và so sánh: 

Giải nhanh:

+) Ta có: 

Lại có: 

khi

Do vậy,

+) Ta có: khi

 Do vậy ,

Và khi

Do vậy,

Khi đó,

Vậy lim

Bài 2: Tìm lim(n->)

Giải nhanh:

lim(n->)

lim(n->)

3. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Bài 1: Cho hình vuông cạnh 1 (đơn vị độ dài). Chia hình vuông đó thành bốn hình vuông nhỏ bằng nhau, sau đó tô màu hình vuông nhỏ góc dưới bên trái (H.5.2). Lặp lại các thao tác này với hình vuông nhỏ góc trên bên phải. Giả sử quá trình trên tiếp diễn vô hạn lần. Gọi u1, u2, ..., un, ... lần lượt là độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu.

Giải nhanh:

a) Ta có: là độ dài cạnh của hình vuông được tô màu tạo từ việc chia hình vuông cạnh 1 thành 4 hình vuông nhỏ bằng nhau, do đó ; ,….

Do vậy, độ dài cạnh của các hình vuông được tô màu lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu và công bội

Do đó, tổng của n số hạng đầu là:

b) Ta có:

Bài 2: Tính tổng  

Giải nhanh:

=> Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với và

=>

Bài 3: Để đơn giản, ta giả sử Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h và khoảng cách ban đầu là a = 100 (km).

a) Tính thời gian t1, t2, ..., tn, ... tương ứng để Achilles đi từ A1 đến A2, từ A2 đến A3, ... từ An đến An + 1, ...

b) Tính tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường A1A2, A2A3, ..., A­nAn + 1, ..., tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa.

c) Sai lầm trong lập luận của Zeno là ở đâu?

Giải nhanh:

Ta có: Achilles chạy với vận tốc , vận tốc của rùa là .

a) 

+ Để chạy hết quãng đường từ đến với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian này, rùa đã chạy được quãng đường .

+ Để chạy quãng đường đến với , Achilles phải mất thời gian . Với thời gian này, rùa đã chạy được quãng đường

+ Để chạy hết quãng đường từ đến với , Achilles phải mất thời gian .

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết quãng đường tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

(h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn có và .

Ta có: (giờ) 

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.

4. GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ

Bài 1: Một loại vi khuẩn được nuôi cấy với số lượng ban đầu là 50. Sau mỗi chu kì 4 giờ, số lượng của chúng sẽ tăng gấp đôi.

a) Dự đoán công thức tính số vi khuẩn un sau chu kì thứ n.

b) Sau bao lâu, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000?

Giải nhanh:

a) Ta có số lượng ban đầu của vi khuẩn là

Sau chu kì thứ nhất, số lượng vi khuẩn là

Sau chu kì thứ hai, số lượng vi khuẩn là

Ta dự đoán được sau chu kì thứ n, số lượng vi khuẩn là với .

b) Giả sử sau chu kì thứ k, số lượng vi khuẩn sẽ vượt con số 10 000.

Khi đó ta có  

Bài 2: Tính

Giải nhanh:

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 5.1: Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a)

b) 1

Bài tập 5.2: Cho hai dãy số không âm (un) và (vn) với lim_(n->) Un = 2 và lim _(n->) Vn=3. Tìm các giới hạn sau:

Giải nhanh:

a) 4

b)

Bài tập 5.3: Tìm giới hạn của các dãy số cho bởi

a)

b)

Giải nhanh:

a)

vì

b)

Ta có:

Vì và

Nên

Vậy

Bài tập 5.4: Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số:

a) 1,(12) = 1,121212...;

b) 3,(102) = 3,102102102...

Giải nhanh:

a)

b)

Bài tập 5.5: Một bệnh nhân hằng ngày phải uống một viên thuốc 150 mg. Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5%. Tính lượng thuốc có trong cơ thể sau khi uống viên thuốc của ngày thứ 5. Ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài.

Giải nhanh:

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg.

Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn

Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

(mg).

Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

Lại có là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội .

=>

Suy ra

Bài tập 5.6: Cho tam giác vuông ABC vuông tại A, có AB = h và góc B bằng α (H.5.3). Từ A kẻ AA1 ⊥ BC, từ A1 kẻ A1A2 ⊥ AC, sau đó lại kẻ A2A3 ⊥ BC. Tiếp tục quá trình trên, ta được đường gấp khúc vô hạn AA1A2A3... Tính độ dài đường gấp khúc này theo h và α.

Giải nhanh:

Tam giác vuông tại có

Do đó,

Ta có: và , suy ra

Tam giác vuông tại nên 

Vì và nên AB // , suy ra (2 góc đồng vị).

Tam giác vuông góc tại nên 

Vì và nên // suy ra

Tam giác vuông tại nên 

Ta xác định được

Ta có:

Vì góc là góc nhọn nên sin , do đó .

Khi đó, độ dài của đường gấp khúc vô hạn là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu và công bội

Do đó