BÀI 6. CẤP SỐ CỘNG

1. ĐỊNH NGHĨA

Bài 1: Cho dãy số () gồm tất cả các số tự nhiên lẻ, xếp theo thứ tự tăng dần

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức biểu diễn số hạng theo số hạng -1

Giải nhanh:

a) .

b)

Bài 2: Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số cộng không?

Giải nhanh:

Đây là một dãy số hằng

Bài 3: Cho dãy số () với =-2n+3. Chứng minh rằng () là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu và công sai của cấp số cộng này.

Giải nhanh:

Ta có:

Do đó, với mọi

Vậy dãy số () là cấp số cộng có số hạng đầu là và công sai

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Bài 1: Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 và công sai d.

a) Tính các số hạng u2, u3, u4, u5 theo u1 và d.

b) Dự đoán công thức tính số hạng tổng quát un theo u1 và d.

Giải nhanh:

a)

.

b)

Bài 2: Cho dãy số (un) với un = 4n – 3. Chứng minh rằng (un) là một cấp số cộng. Xác định số hạng đầu u1 và công sai d của của cấp số cộng này. Từ đó viết số hạng tổng quát un­ dưới dạng un = u1 + (n – 1)d.

Giải nhanh:

Ta có: , với mọi .

Do đó, dãy số là một cấp số cộng với số hạng đầu và công sai  

Số hạng tổng quát là:

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Bài 1: Cho cấp số cộng (un) với số hạng đầu u1 và công sai d.

Để tính tổng của n số hạng đầu

Sn = u1 + u2 + ... + un – 1 + un,

hãy lần lượt thực hiện các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng Sn theo số hạng đầu u1 và công sai d.

b) Viết Sn theo thứ tự ngược lại: Sn = un + un – 1 + ... + u2 + u1 và sử dụng kết quả ở phần a) để biểu diễn mỗi số hạng trong tổng này theo u1 và d.

c) Cộng từng vế hai đẳng thức nhận được ở a), b), để tính Sn theo u1 và d.

Giải nhanh:

a) Ta có: 

=>  

b)

c) Ta có:

Bài 2: Anh Nam được nhận vào làm việc ở một công ty về công nghệ với mức lương khởi điểm là 100 triệu đồng một năm. Công ty sẽ tăng thêm lương cho anh 

Nam mỗi năm là 20 triệu đồng. Tính tổng số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc cho công ty đó.

Giải nhanh:

Số tiền lương anh Nam nhận được mỗi năm lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu u₁ = 100 và công sai d = 20.

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng này là

Vậy số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc ở công ty này là 1 900 triệu đồng hay 1 tỷ 900 triệu đồng

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 2.8: Xác định công sai, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số cộng sau:

a) 4, 9, 14, 19, ...;

b) 1, – 1, – 3, – 5, ....

Giải nhanh:

a) .

.

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là .

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là .

b)

Số hạng tổng quát của cấp số cộng là .

Số hạng thứ 100 của cấp số cộng là .

Bài tập 2.9: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (un) sau và xét xem nó có phải là cấp số cộng không. Nếu dãy số đó là cấp số cộng, hãy tìm công sai d và viết số hạng tổng quát của nó dưới dạng un = u1 + (n – 1)d.

a) un = 3 + 5n;

b) un = 6n – 4;

c) u1 = 2, un = un – 1 + n;

d) u1 = 2, un = un – 1 + 3.

Giải nhanh:

a)  

b)  

.

c)  

Ta có: , do luôn thay đổi nên hiệu hai số hạng liên tiếp của dãy số thay đổi.

Vậy dãy số không phải là cấp số cộng.

d)  

Bài tập 2.10: Một cấp số cộng có số hạng thứ 5 bằng 18 và số hạng thứ 12 bằng 32. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số cộng này.

Giải nhanh:

hay .

hay .

Khi đó ta có hệ phương trình: 

Số hạng thứ 50 của cấp số cộng là 

Bài tập 2.11: Một cấp số cộng có số hạng đầu bằng 5 và công sai bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng này để có tổng bằng 2 700?

Giải nhanh:

Cấp số cộng có và . Giả sử tổng của n số hạng đầu bằng 2 700. Khi đó ta có:  

Do đó  

Vậy tổng của 50 số hạng đầu của cấp số cộng đã cho bằng 2700

Bài tập 2.12: Giá của một chiếc xe ô tô lúc mới mua là 680 triệu đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá của chiếc ô tô giảm 55 triệu đồng. Tính giá còn lại của chiếc xe sau 5 năm sử dụng.

Giải nhanh:

Giá của chiếc xe ô tô sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu là và công sai  

Do đó, giá của chiếc ô tô sau 5 năm sử dụng là

(triệu đồng)

Bài tập 2.13: Một kiến trúc sư thiết kế một hội trường với 15 ghế ngồi ở hàng thứ nhất, 18 ghế ngồi ở hàng thứ hai, 21 ghế ngồi ở hàng thứ ba, và cứ như vậy (số ghế ở hàng sau nhiều hơn 3 ghế so với số ghế ở hàng liền kề trước nó). Nếu muốn hội trường đó có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi thì kiến trúc sư đó phải thiết kế tối thiểu bao nhiêu hàng ghế?

Giải nhanh:

Số ghế ở mỗi hàng của hội trường lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 15 và công sai d = 3. Giả sử cần thiết kế tối thiểu n hàng ghế để hội trường có sức chứa ít nhất 870 ghế ngồi. Ta có: 

Do đó,

Vậy cần thiết kế tối thiểu 20 hàng ghế để thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 2.14: Vào năm 2020, dân số của một thành phố là khoảng 1,2 triệu người. Giả sử mỗi năm, dân số của thành phố này tăng thêm khoảng 30 nghìn người. Hãy ước tính dân số của thành phố này vào năm 2030.

Giải nhanh:

Ta có: 1,2 triệu người bằng 1 200 nghìn người.

Dân số mỗi năm của thành phố từ năm 2020 đến năm 2030 lập thành một cấp số cộng, gồm 11 số hạng với số hạng đầu và công sai Ta có: .

Vậy dân số của thành phố này vào năm 2030 khoảng 1 500 nghìn người hay 1,5 triệu người