CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 6: CẤP SỐ CỘNG

1. ĐỊNH NGHĨA 

Hoạt động 1:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u$_{n}$) là năm số tự nhiên lẻ đầu tiên và đó là: 1; 3; 5; 7; 9.

b) Nhận thấy trong dãy số (u$_{n}$), số hạng sau hơn số hạng liền trước 2 đơn vị.

Do đó, ta dự đoán công thức biểu diễn số hạng u$_{n}$ theo số hạng u$_{n-1}$ là u$_{n-1}$ là u$_{n}$=u$_{n-1}$+2

Kết luận:

+ Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng trước nó cộng với một số không đổi d. Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

+ Cấp số cộng (u$_{n}$) với công sai d được cho bởi hệ thức truy hồi:

u$_{n}$=u$_{n-1}$+d với n≥2.

Câu hỏi

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số cộng với công sai d = 0.

=> Đây là một dãy số hằng.

Ví dụ 1: (SGK – tr.48)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.48).

Ví dụ 2: (SGK – tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Luyện tập 1

Ta có: u$_{n-1}$=-2(n-1)+3=-2n+2+3=-2n+5

Do đó, u$_{n}$-u$_{n-1}$=(-2n+3)-(-2n+5)=-2 với mọi n≥2

Vậy dãy số (u$_{n}$) là cấp số cộng có số hạng đầu là u$_{1}$= –2 . 1+3=1 và công sai d= –2.

2. SỐ HẠNG TỔNG QUÁT

Hoạt động 2

a) Ta có: u$_{2}$ = u$_{1}$ + d;

u$_{3}$ = u$_{2}$ + d = (u$_{1}$ + d) + d = u$_{1}$ + 2d; 

u$_{4}$ = u$_{3}$ + d = (u$_{1}$ + 2d) + d = u$_{1}$ + 3d; 

u$_{5}$ = u$_{4}$ + d = (u$_{1}$ + 3d) + d = u$_{1}$ + 4d.

b)Từ câu a, ta dự đoán công thức tính số hạng tổng quát u$_{n}$ theo u$_{1}$ và d là:

u$_{n}$ = u$_{1}$ + (n – 1)d.

Kết luận:

Nếu cấp số cộng (u$_{n}$) có số hạng đầu và công sai d thì số hạng tổng quát u$_{n}$ của nó được xác định theo công thức:

u$_{n}$=u$_{1}$+(n-1)d.

Ví dụ 3: (SGK – tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Ví dụ 4: (SGK - tr.49).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.49).

Luyện tập 2.

Ta có: 

u$_{n}$ – u$_{n-1}$= (4n – 3) – [4(n –1) – 3] 

= 4n – 3 – (4n – 4 – 3) = 4, 

với mọi n ≥ 2.

Do đó, dãy số (un) là một cấp số cộng với số hạng đầu u$_{1}$=4 . 1 – 3=1 và công sai d= 4.

Số hạng tổng quát là: u$_{n}$=1+(n –1). 4

3. TỔNG N SỐ HẠNG ĐẦU CỦA MỘT CẤP SỐ CỘNG

Hoạt động 3

a) Ta có: u$_{2}$ = u$_{1}$ + d; ...; 

u$_{n-1}$= u$_{1}$ + (n – 1 – 1)d = u$_{1}$+ (n – 2)d;  

u$_{n}$=u$_{1}$ + (n – 1)d. 

S$_{n}$= u$_{1}$+ u$_{2}$ + ... + u$_{n-1}$ + u$_{n}$ 

= u$_{1}$ + (u$_{1}$ + d) + ... + [u$_{1}$ + (n – 2)d] + [u$_{1}$ + (n – 1)d] 

b) S$_{n}$ = u$_{n}$ + u$_{n-1}$+ ... + u$_{2}$ + u$_{1}$

=[u$_{1}$+ (n – 1)d] + [u$_{1}$ + (n – 2)d] + ... + (u$_{1}$ + d) + u$_{1}$ 

c) Ta có:

S$_{n}$ + S$_{n}$ = {u$_{1}$ + (u$_{1}$ + d) + ... + [u$_{1}$ + (n – 2)d] + [u$_{1}$ + (n – 1)d]} + {[u$_{1}$ + (n – 1)d] + [u$_{1}$ + (n – 2)d] + ... + (u$_{1}$ + d) + u$_{1}$} 

2Sn={u$_{1}$ + [u$_{1}$+(n – 1)d]}+ {(u$_{1}$+d)+ [u$_{1}$+ (n – 2)d]}+ ... + {[u$_{1}$ + (n – 2)d] + (u$_{1}$+d)}+{[u$_{1}$ + (n – 1)d]+u$_{1}$} 

2S$_{n}$ = [2u$_{1}$ + (n – 1)d] + [2u$_{1}$ + (n – 1)d] + ... + [2u$_{1}$+(n –1)d] + [2u$_{1}$ + (n – 1)d] 

2S$_{n}$ = n . [2u$_{1}$ + (n – 1)d] 

S$_{n}$ = [2u$_{1}$ + (n – 1)d]. 

Kết luận

Cho cấp số cộng (u$_{n}$) với công sai d. Đặt S$_{n}$=u$_{1}$+u$_{2}$+…+u$_{n}$. Khi đó

S$_{n}$=$\frac{n}{2}$[2u$_{1}$+(n-1)d].

Chú ý:

Sử dụng công thức u$_{n}$=u$_{1}$+(n-1)d, ta có thể viết tổng Sn dưới dạng:

S$_{n}$=$\frac{n(u_{1}+u_{n})}{2}$

Ví dụ 5: (SGK – tr.50).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).

Ví dụ 6: (SGK – tr. 50).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.50).

Vận dụng

Số tiền lương anh Nam nhận được mỗi năm lập thành một cấp số cộng, gồm 10 số hạng, với số hạng đầu u$_{1}$ = 100 và công sai d = 20.

Tổng 10 số hạng đầu của cấp số cộng này là

S$_{10}$=u$_{1}$+u$_{2}$+…+u$_{10}$ 

=$\frac{10}{2}$(2u$_{1}$+(10-1)d )

=$\frac{10}{2}$(2.100+9.20)  

=1900

Vậy số tiền lương mà anh Nam nhận được sau 10 năm làm việc ở công ty này là 1 900 triệu đồng hay 1 tỷ 900 triệu đồng.