CHƯƠNG VI: HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LÔGARIT

BÀI 18. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

1. Lũy thừa với số mũ nguyên

Bài 1: Tính...

Đáp án: 

(1,5)$^{2}$=2,25

(-$\frac{2}{3}$)$^{3}$=-$\frac{8}{27}$ 

($\sqrt{2}$)$^{4}$=4

Bài 2: Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu...

Đáp án: 

a) Khối lượng của Trái Đất là: 5,98.10$^{24}$ kg.

b) Khối lượng của hạt proton là: 1, 67262.10$^{-27}$ kg.

2. Lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Bài 1:

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho…

Đáp án: 

a) x$^{2}$=4=2$^{2}$=(-2)$^{2}$ <=>x=±2.

b) x$^{3}$=-8 <=> x$^{3}$=(-2)$^{3}$ <=> x=-2.

Bài 2: Tính…

Đáp án: 

a) $\sqrt[3]{-125}$=$\sqrt[3]{(-5)^{3}}$=-5.

b) $\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$=$\sqrt[4]{(\frac{1}{3})^{4}}$=$\frac{1}{3}$

Bài 3: 

a) Tính và so sánh…

Đáp án: 

a) $\sqrt[3]{-8}$.$\sqrt[3]{27}$=$\sqrt[3]{(-2)^{3}}$.$\sqrt[3]{3^{3}}$=-6

$\sqrt[3]{(-8).27}$=$\sqrt[3]{-216}$=$\sqrt[3]{(-6)^{3}}$=-6

=> $\sqrt[3]{-8}$.$\sqrt[3]{27}$=$\sqrt[3]{(-8).27}$

b) $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}$=$\frac{\sqrt[3]{(-2)^{3}}}{\sqrt[3]{3^{3}}}$=-$\frac{2}{3}$  

$\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$=$\sqrt[4]{(\frac{-2}{3})^{3}}$=-$\frac{2}{3}$ 

$\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}}$=$\sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$ 

Bài 4: Tính…

Đáp án: 

a) $\sqrt[3]{5}$:$\sqrt[3]{625}$=$\sqrt[3]{(\frac{1}{125})^{4}}$=$\frac{1}{5}$

b) $\sqrt[5]{-25\sqrt{5}}$=$\sqrt[5]{-(\sqrt{5})^{5}}$=-$\sqrt{5}$

Bài 5: Cho a là một số thực dương…

Đáp án: 

a) Ta có: $(\sqrt[n]{a})^{n}$=a ; $(a^{\frac{1}{n}})^{n}$=a 

=> a$(a^{\frac{1}{n}})^{n}$=$(\sqrt[n]{a})^{n}$ => $a^{\frac{1}{n}}$=$\sqrt[n]{a}$

b) Ta có a$^{\frac{1}{n}}$=$\sqrt[n]{a}$ 

Mà a$^{\frac{m}{n}}$=a$(^{\frac{1}{n}})^{m}$; $(\sqrt[n]{a})^{m}$=$\sqrt[n]{a^{m}}$

=> a$^{\frac{1}{n}}$=$(\sqrt[n]{a})^{m}$

Bài 6: Rút gọn biểu thức…

Đáp án: 

A=$\frac{x^{\frac{1}{2}}y+xy^{\frac{1}{2}}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}$=$\frac{xy(x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}+y^{\frac{1}{2}}}$=xy.

3. Lũy thừa với số mũ thực

Bài 1: Ta biết rằng..

Đáp án: 

a) 3$^{r_{1}}$=3

3$^{r_{2}}$=4,655536722 

3$^{r_{3}}$=4,706965002 

3$^{r_{4}}$=4,72873393

3$^{\sqrt{2}}$=4,728804388 

b) |3$^{\sqrt{2}}$-3$^{r_{1}}$|=1, 728804388

|3$^{\sqrt{2}}$-3$^{r_{2}}$ |= 0,07326766609

|3$^{\sqrt{2}}$-3$^{r_{3}}$|=0,02183938612

|3$^{\sqrt{2}}$-3$^{r_{4}}$|=0,0000704576662

Vậy sai số tuyệt đối giữa 3$^{\sqrt{2}}$ và 3$^{r_{n}}$ là giảm dần khi n càng lớn.

Bài 2: Rút gọn biểu thức…

Đáp án: 

A=$\frac{(a^{\sqrt{2}-1})^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1}.a^{3-\sqrt{5}}}$=$\frac{a^{(\sqrt{2}-1)(1+\sqrt{2})}}{a^{\sqrt{5}-1+3-\sqrt{5}}}$=$\frac{1}{a}$.

Bài 3: Giải bài toán tính huống mở đầu…

Đáp án: 

Sau 3 năm số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được là: 

100.(1+ 6%)$^{3}$ ≈ 119,1016 (triệu đồng)

3. Bài tập

Bài 6.1: Tính…

a) ($\frac{1}{5}$)$^{-2}$= 25 

b) 4$^{\frac{3}{2}}$= 8 

c) ($\frac{1}{8}$)$^{-\frac{2}{3}}$= 4 

d) ($\frac{1}{16}$)$^{-0,75}$= 8 

Bài 6.2: Thực hiện phép tính…

a) 27$^{\frac{2}{3}}$+81$^{-0,75}$-25$^{0,5}$

=9+$\frac{1}{27}$-5=$\frac{109}{27}$

b) 4$^{2-3\sqrt{7}}$.8$^{2\sqrt{7}}$

=2$^{2.(2-3\sqrt{7})}$.2$^{6\sqrt{7}}$=2$^{2.(2-3\sqrt{7})+6\sqrt{7}}$=2$^{4}$=16.

Bài 6.3: Rút gọn các biểu thức sau…

Đáp án: 

a) A=$\frac{x^{5}y^{-2}}{x^{3}y}$=$\frac{x^{2}}{y^{3}}$

b) B=$\frac{x^{2}y^{-3}}{(x^{-1}y^{4})^{3}}$=$\frac{x^{2}y^{-3}}{x^{3}y^{-12}}$=x$^{2-3}$y$^{-3+12}$=x$^{-1}$y$^{9}$=$\frac{y^{9}}{x}$

Bài 6.4: Cho x, y là các số thực dương…

Đáp án: 

a) $\frac{x^{\frac{1}{3}}\sqrt{y}+y^{\frac{1}{3}}\sqrt{x}}{\sqrt[6]{x}+\sqrt[6]{y}}$=$\frac{x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}(x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}})}{x^{\frac{1}{6}}+y^{\frac{1}{6}}}$=$x^{\frac{1}{3}}y^{\frac{1}{3}}$=$\sqrt[3]{xy}$

b) $(\frac{x^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}})^{\sqrt{3}+1}$.$\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}=\frac{x^{\sqrt{3}.(\sqrt{3}+1)}}{y^{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}-1)}}$.$\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$=$\frac{x^{3+\sqrt{3}}}{y^{2}}$.$\frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}}$=$x^{2}$

Bài 6.5: Chứng minh rằng…

Đáp án: 

Xét vế trái: 

$\sqrt{4+2\sqrt{3}}$-$\sqrt{4-2\sqrt{3}}$=$\sqrt{(1+\sqrt{3})^{2}}$-$\sqrt{(1-\sqrt{3})^{2}}$=(1+$\sqrt{3}$)+(1-$\sqrt{3}$)=2 (đpcm)

Bài 6.6: Không sử dụng máy tính cầm tay…

Đáp án: 

a) Ta có: 6$\sqrt{3}$=$\sqrt{36} \sqrt{3}$=$\sqrt{108}$>3$\sqrt{6}$=$\sqrt{54}$ mà 5>1

=> 5$^{6\sqrt{3}}$>5$^{3\sqrt{6}}$

b) Ta có: ($\frac{1}{2}$)$^{-\frac{4}{3}}$=2$^{\frac{4}{3}}$ và $\sqrt{2}$.2$^{\frac{2}{3}}$=2$^{\frac{1}{2}}$.2$^{\frac{2}{3}}$=2$^{\frac{7}{6}}$

Do 2>1 và $\frac{4}{3}$>$\frac{7}{6}$ nên 2$^{-\frac{4}{3}}$>2$^{\frac{7}{6}}$

=> ($\frac{1}{2}$)$^{-\frac{4}{3}}$>$\sqrt{2}$.2$^{\frac{2}{3}}$

Bài 6.7: Nếu một khoản tiền gốc P…

Đáp án: 

Do người đó gửi tiết kiệm với kì hạn 6 tháng nên được tính lãi 2 lần trong 1 năm. Sau 2 năm thì được 4 lần. 

Sau 2 năm số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) là:

120.(1+$\frac{5%}{2}$)$^{4}$≈132,46 (triệu đồng)

Bài 6.8: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á…

Đáp án: 

Sau 20 năm kể từ năm 2021, dân số của quốc gia đó là:

A=19⋅2$^{\frac{20}{30}}$≈30 (triệu người).