CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 11. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

1. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG 

Hoạt động 1:

Quan sát Hình 4.13 ta thấy:

a) Hai tuyến đường mũi tên màu đỏ và mũi tên màu vàng giao nhau.

b) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và màu xanh lá cây không giao nhau.

c) Hai tuyến đường mũi tên màu xanh dương và mũi tên màu đỏ song song.

Kết luận:

Cho hai đường thẳng a và b trong không gian.

• Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.

• Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b, hoặc b chéo với a.

Câu hỏi

- Hình ảnh hai đường thẳng song song:

+ Hai cạnh đối diện của chiếc bàn:

+ Vạch kẻ đường:

- Hình ảnh hai đường thẳng chéo nhau:

+ Cạnh bàn và đường nối chân bàn. 

Nhận xét

- Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng đồng phẳng và không có điểm chung.

- Có đúng một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

Ví dụ 1. (SGK – tr.79).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.79).

Luyện tập 1

a) AB∩AC=A 

AB//CD (vì ABCD là hình bình hành)

AC∩CD=C 

b) M∈SA;N∈SB => M, N∈mp(SAB)

=> S, A, B, M, N cùng thuộc một mặt phẳng

=> SA, MN, AB đồng phẳng

Do đó khi lấy bất kì 2 trong 3 đường thẳng trên thì chúng có thể cắt nhau hoặc song song hoặc trùng nhau. Vậy trong các đường thẳng SA, MN, AB, không có hai đường thẳng nào chéo nhau.

Ví dụ 2: (SGK – tr.80).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.80).

=> Vậy, Nếu hai đường thẳng không chéo nhau thì chúng cùng nằm trong một mặt phẳng.

Luyện tập 2.

a) Các đường thẳng chéo với đường thẳng SA là BC và CD.

Giải thích: Nếu hai đường thẳng SA và BC không chéo nhau thì chúng cùng thuộc một mặt phẳng. Khi đó bốn điểm S, A, B, C đồng phẳng, trái với giả thiết S.ABCD là hình chóp. Do đó, hao đường thẳng SA và BC chéo nhau. Tương tự, giải thích được hai đường thẳng SA và CD chéo nhau.

b) Các đường thẳng chéo với đường thẳng BC là SA và SD. Giải thích tương tự câu a.

Vận dụng 1

Ta không thể đặt chiếc gậy đó song song với một trong các mép tường vì điểm đầu gậy chạm với sàn và 4 điểm góc của tường là các điểm không đồng phẳng nên đường thẳng tạo bởi chiếc gậy và một trong các mép tường là hai đường thẳng chéo nhau.

2. TÍNH CHẤT CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG

Hoạt động 2:

a) Trên mặt phẳng (P) có một và chỉ một đường thẳng đi qua M và song song với d (theo tiên đề Euclid).

b) Giả sử a là đường thẳng đi qua M và song song với d. Khi đó hai đường thẳng a và d đồng phẳng. Mà điểm M và đường thẳng d đều cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên a và d cùng nằm trong mặt phẳng (P).

=> Vậy nếu một đường thẳng đi qua M và song song với d thì đường thẳng đó thuộc mặt phẳng (P).

Kết luận:

Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Hoạt động 3:

Hai đường thẳng song song với mép trên của bảng, ta có thể chọn là mép trên của tường có gắn bảng và mép dưới của bảng liền với tường, hai đường thẳng này có song song với nhau.

Kết luận

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Ví dụ 3: (SGK – tr. 81).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.81).

Luyện tập 3

Ta có: EF // AB (do ABEF là hình bình hành) và CD // AB (do ABCD là hình bình hành).

Do đó, CD // EF.

Khi đó, hai đường thẳng CD và EF đồng phẳng hay bốn điểm C, D, E, F đồng phẳng.

Lại có EF = AB và CD = AB (do ABEF và ABCD là các hình bình hành) nên CD = EF.

Vậy tứ giác CDFE là hình bình hành.

Hoạt động 4:

a) 

Vì M$\in $a;a$\subset $mp(R) => M$\in $mp(R)

Vì M$\in $c;c$\subset $mp(Q) => M$\in $mp(Q)

Do đó M là điểm chung của mp(R) và mp(Q)

Lại cps mpR()∩mp(Q)=b 

Vậy M∈b

b) 

Ta thấy ba đường thẳng phân biệt a, b, c đôi một đồng phẳng.

Do đó, nếu không có hai trong ba đường thẳng nào trong chúng cắt nhau thì a, b, c đôi một song song.

Vậy nếu hai đường thẳng a và c song song với nhau thì hai đường thẳng b và c song song với nhau.

Định lí về ba đường giao tuyến

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

- Giữa d$_{1}$, d$_{2}$, d$_{3}$ có những vị trí tương đối là: Song song hoặc trùng nhau.

Chú ý (Hệ quả)

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó. (Hình minh họa bên dưới).

Ví dụ 4: (SGK – tr.82).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.82).

Bài tập nhỏ

+ Ta có hai mặt phẳng SAD và SBC có: Điểm S chung; AD // BC. Vậy giao tuyến d là đường thẳng qua S và song song với AD và BC.

+ Ta có: 

AD, BC⊂(ABCD) => d // (ABCD)

Mà BD⊂(ABCD) => d // BD.

Luyện tập 4

Hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) có điểm chung S và chứa hai đường thẳng song song là AD và BC. 

Do đó, mp(SAD)∩mp(SBC)=n với n đi qua S và n//AD, BC.

Vận dụng 2

Giả sử mặt phẳng (ABFE) mà mặt nước, mặt phẳng (EFCD) là mặt đáy của bể kính và (ABCD) là một mặt bên của bể kính.

Ba mặt phẳng (ABFE), (EFCD) và (ABCD) là ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo các giao tuyến EF, AB và CD. 

Vì DC // EF (do đáy của bể là hình chữ nhật) nên ba đường thẳng EF, AB và CD đôi một song song. 

Vậy đường mép nước AB song song với cạnh CD của bể nước.

3. NHẮC LẠI KIẾN THỨC VÀ LÀM BÀI TẬP HAI ĐƯƠNG THẲNG SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

a) Cho hai đường thẳng a và b trong không gian.

• Nếu a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta nói a và b đồng phẳng. Khi đó, a và b có thể cắt nhau, song song với nhau hoặc trùng nhau.

• Nếu a và b không cùng nằm trong bất kì mặt phẳng nào thì ta nói a và b chéo nhau. Khi đó, ta cũng nói a chéo với b, hoặc b chéo với a.

b) Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có đúng một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

c) Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song với nhau.

Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.

Em có biết (SGK – tr.83).

Bài 4.9

a) Mệnh đề a) là mệnh đề sai vì nếu a và b không cắt nhau thì a và b có thể song song hoặc chéo nhau.

b) Mệnh đề b) là mệnh đề đúng (theo định nghĩa hai đường thẳng chéo nhau).

c) Mệnh đề c) là mệnh đề sai vì hai đường thẳng a và b có thể trùng nhau.

d) Mệnh đề d) là mệnh đề sai vì a và c có thể cắt nhau hoặc chéo nhau hoặc song song hoặc trùng nhau.

Bài 4.10

a) Hai đường thẳng AB và CD song song với nhau do đáy ABCD là hình bình hành.

b) Hai đường thẳng AC và BD cắt nhau do đây là hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

c) Hai đường thẳng SB và CD chéo nhau.

Thật vậy, nếu hai đường thẳng SB và CD không chéo nhau, tức là hai đường thẳng này đồng phẳng hay bốn điểm S, B, C, D đồng phẳng, trái với giả thiết S.ABCD là hình chóp.

Bài 4.12

Xét ∆SAB có M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB, suy ra MN // AB.

Mà đáy ABCD là hình thang có AB // CD.

Do đó, MN // CD. Vậy tứ giác MNCD là hình thang.