1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1: Các mặt bậc thang trong...

Đáp án:

- Các mặt của từng tầng trong giá không có điểm chung.

- Các mặt của ruộng bậc thang không có điểm chung.

Bài 2: Trong hình ảnh mở đầu...

Đáp án:

Các nhát cắt có nằm trong các mặt phẳng song song.

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1: Cho mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt...

Đáp án:

Do a // mp($\beta $) và a $\subset$  mp($\alpha $) nên ($\alpha $) và ($\beta $) cắt nhau theo giao tuyến c // a.

Lí luận tương tự, ta thấy c // b.

Từ đó suy ra a // b hoặc a $\equiv $ b (mâu thuẫn giả thiết).

Bài 2: Nếu không có điều kiện...

Đáp án:

Giả sử a $\equiv $ b thì khi đó có thể xảy ra trường hợp ($\alpha $) $\cap$  ($\beta $) theo giao tuyến c // với hai đường thẳng trùng nhau trên, do đó ($\alpha $) và ($\beta $) không song song với nhau.

Do vậy, khẳng định trên không đúng nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau”.

Bài 3: Trong không gian cho bốn điểm...

Đáp án:

Vì m // BC => m // (BCD).

Vì n // BD => n // (BCD).

m, n $\subset$ mp(m,n)

Mà m, n//mp(BCD)

=> mp(m, n)//mp(BCD)

Bài 4: Một chiếc bàn có phần chân là hai khung...

Đáp án:

Vì các khung sắt có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của khung sắt song song với nhau, do đó a // c và b // d.

Vì c và d là các đường thẳng của chân bàn nằm trên mặt đất, nên a // c và b // d thì a, b song song với mặt đất.

Mà mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng a và b => mặt phẳng bàn song song với mặt đất.

Bài 5: Đặt một bìa cứng lên một góc của mặt bàn nằm ngang...

Đáp án:

Quan sát Hình 4.44 ta thấy, mặt bìa trùng với mặt bàn.

Bài 6: Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song...

Đáp án:

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau. Vì theo tính chất bắc cầu, giả dụ cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) phân biệt có (P) // (Q), (Q) // (R) => (P) // (R).

Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD...

Đáp án:

Xét $\triangle(SAB)$ có $\frac{MA}{MS}=\frac{NB}{NS}=\frac{1}{2}$

=> MN // AB (định lí Thalès). Do đó MN // mp(ABCD).

Tương tự, NP // BC nên NP //mp (ABCD).

Vậy mp(MNP) chứa hai đường thẳng MN và NP cùng // mp(ABCD)

=> Nên mp(MNP) // mp(ABCD).

Lập lập tương tự ta có mp (MPQ) //mp(ABCD).

(MNP) và (MPQ) cùng đi qua điểm M (MNP) //(ABCD) và (MPQ) //(ABCD)  nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Bài 8: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q)...

Đáp án:

a) Ta có: (P) // (Q), mà (R) cắt (P)

=> (R) cũng cắt (Q).

b) Vì a, b$\subset$ mp(R) => a, b không thể chéo nhau

=> a, b không có điểm chung.

Bài 9: Trong Ví dụ 3, hãy xác định giao tuyến của mặt...

Đáp án:

Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh (MNPQ) // (ABCD). 

Vì vậy hai giao tuyến của mp(EMQ) với mp(MNPQ) và mp(ABCD) song song với nhau. Ta có (EMQ) $\cap$  (MNPQ) = MQ. 

Trong mpMEQ, qua E kẻ đường thẳng song song với MQ cắt CD tại H (EH // MQ //AD) 

Như vậy, EH là giao tuyến của EMQ và ABCD.

3. ĐỊNH LÍ THALES TRONG KHÔNG GIAN

Bài 1: Cho ba mặt phẳng (P), (Q) và (R) đôi một song song...

Đáp án:

a) Ta có: (Q) // (R)

Mà ACC’$\cap$(Q) tại BD và ACC’$\cap$(R) tại CC’ => BD // CC’.

Lại có (AC’A’)$\cap$(P) tại AA’ và (AC’A’)$\cap$(Q) tại B’D => B’D // AA’.

b) Xét $\triangle(ACC')$ có BD // CC’, 

=>$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC'}$(định lí Thalès)

Tương tự, xét $\triangle(AA'C') có B’D // AA’ => ADDC'=A'B'B'C'.

Vậy $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC^{'}}=\frac{A^{'}B^{'}}{B^{'}C^{'}}$

Bài 2: Trong HĐ5, cho AB = 2 cm...

Đáp án:

$B^{'}C^{'}=\frac{A^{'}B\cdot BC}{AB}=\frac{3\cdot 4}{2}=6$

4. Hình lăng trụ và hình hộp

Bài 1: Các hình ảnh dưới...

Đáp án:

Các hình ảnh trên đều có chứa hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song, các mặt còn lại chứa các cạnh đối diện song song với nhau.

Bài 4: Hãy giải thích tại sao các mặt bên của hình lăng trụ...

Đáp án:

Xét mặt bên A1A1'A2'A2, ta có 

A1A1' // A2A2', 

(A1A1'A2'A2) $\cap$ ($\alpha $) tại giao tuyến A1A2

(A1A1'A2'A2) $\cap$ ($\alpha $)  tại giao tuyến A1'A2'

=> A1A2 // A1'A2'. 

Do vậy, tứ giác A1A1'A2'A2 là hình bình hành (các cặp cạnh đối diện song song). 

=> A1A1' // A2A2' và A1A1' = A2A2'.

Chứng minh tương tự, ta có các mặt bên khác của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.

Bài 5: Cho hình lăng trụ tam giác...

Đáp án:

Ta có BB' // CC' nên BCC'B' là hình thang.

Ta có M là trung điểm của cạnh BC

M' là trung điểm của cạnh B'C' 

=> MM' là đường trung bình của hình thang BCC'B'=> MM', BB', CC' đôi một song song (2).

Mà AA', BB', CC' đôi một song song (các cạnh bên của ABC.A'B'C')

Từ đó suy ra MM'// AA'// CC' hay mp(ABC)//mp(A'B'C') 

=> mp(AMC)//mp(A'B'C')

Do vậy AMC.A'M'C' là hình lăng trụ.

Bài 6: Hình ảnh nào trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

Đáp án:

Hình ảnh thứ 2 gợi nên hình ảnh hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

Bài 7: Cho hình hộp...

Đáp án:

Ta có: AD // BC (ABCD là hình bình hành) => AD // (BCC'B').

AA' // BB' (các cạnh bên của hình hộp) => AA' // (BCC'B').

Trong mp(ADD'A') có: 

AD//mp(BCC'B') và AA'//mp(BCC'B') (cmt)

Vậy mp(ADD'A')//mp(BCC'B')

Bài 8: Để xác định mực nước trong một chiếc bể có dạng hình hộp...

Đáp án:

Vì bể nước có dạng hình hộp nên nắp bể và đáy bể nằm trong hai mặt phẳng song song. Khi mặt nước yên lặng thì mặt nước, nắp bể và đáy bể nằm trong ba mặt phẳng đôi một song song. Khi đó, thanh gỗ và chiều cao của bể đóng vai trò như hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng đôi một song song trên. 

Vậy áp dụng định lí Thalès, ta kết luận được tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể chính là tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 4.21: Trong không gian cho ba mặt phẳng phân biệt...

Đáp án:

a) Sai 

b) Sai 

c) Đúng vì (P) và (Q) là hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba là mặt phẳng (R) thì (P) và (Q) song song với nhau.

d) Sai 

Bài tập 4.22: Cho hình lăng trụ tam giác...

Đáp án:

Ta có: BCC'B' là các hình bình hành hay cũng là các hình thang.

Vì M là trung điểm của AA'

N là trung điểm của BB'  

=> MN là đường trung bình của ABB'A', do đó MN // AB => MN //mp(ABC).

Tương tự, NP // BC => NP //mp(ABC).

Trong  mp(MNP):

MN∩NP; MN//mp(ABC); NP//mp(ABC) 

Vậy mp(MNP)//mp(ABC).

Bài tập 4.23: Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD...

Đáp án:

Ta có: m // n => m // mp(C, n).

AB // CD (ABCD là hình thang) => AB // mp(C, n).

Xét mp(B, m) có 

m$\cap$ AB; m//mp(C, n); AB//mp(C, n) 

Vậy mp(B, m)//mp(C, n).

Bài tập 4.24: Cho hình tứ diện SABC...

Đáp án:

Vì mp(P)//mp(ABC) và mp(Q)//mp(ABC) => mp(P)//mp(Q)

=> mp(ABC)//mp(P)//mp(Q).

=> $\frac{A_{2}A_{1}}{AA_{1}} = \frac{B_{2}B_{1}}{BB_{1}}=\frac{C_{2}C_{1}}{CC_{1}}$ (định lí Thalés)

Mà $AA_{1}= A_{1}A_{2}$ nên $\frac{A_{2}A_{1}}{AA_{1}} =1$

=> $\frac{A_{2}A_{1}}{AA_{1}} = \frac{B_{2}B_{1}}{BB_{1}}=\frac{C_{2}C_{1}}{CC_{1}}=1$, do đó $BB_{1}= B_{1}B_{2}$;$CC_{1}= C_{1}C_{2}$

Tương tự ta chứng minh: $\frac{A_{2}S}{A_{2}A_{1}} = \frac{B_{2}S}{BB_{1}}=\frac{C_{2}S}{C_{2}C_{1}}$. Mà $A_{1}A_{2}= A_{2}S$ nên $\frac{A_{2}S}{A_{2}A_{1}} =1$

=> $\frac{A_{2}S}{A_{2}A_{1}} = \frac{B_{2}S}{BB_{1}}=\frac{C_{2}S}{C_{2}C_{1}}=1$, do đó $B_{1}AB_{2}= B_{2}S$ và $C_{1}C_{2}= C_{2}S$

Vậy $BB_{1}= B_{1}B_{2}=B_{2}S$  và  $CC_{1}= C_{1}C_{2}=C_{2}S$

Bài tập 4.25: Cho hình lăng trụ tứ giác...

Đáp án:

Ta có ABCD.A'B'C'D' là hình lăng trụ tứ giác.

=> mp(ABCD)//mp(A'B'C'D') 

=> mp(ABCD)//mp(A''B''C''D'') (1).

Mà AA''// BB''// CC" 

=> ABCD.A"B"C"D" là hình lăng trụ tứ giác. 

Bài tập 4.26: Cho hình lăng trụ tam giác...

Đáp án:

a) Gọi M là trung điểm của BC; N là trung điểm của B'C' 

=> MN là đường trung bình của hình bình hành BCC'B'

=> MN // BB' và MN = BB'.

Xét tứ giác AMNA':

Do AA' // BB' và AA' = BB' (ABC.A'B'C' là hình lăng trụ tam giác)

=> MN // AA' và MN = AA'. 

=> AMNA' là hình bình hành => AM // A'N và AM = A'N.

Vì G và G' lần lượt là trọng tâm của ∆ABC và ∆A'B'C' => A'G'A'N=AGAM=23.

Do đó, AG = A'G' và AG // A'G'. 

=> AGG'A' là hình bình hành.

b) Ta có: AA' // GG' (AGG'A' là hình bình hành)

Tương tự: CC' // GG' (CGG'C' là hình bình hành)

=> AA'//GG'//CC' 

Lại có: mp (AGC)//mp(A'G'C')

Vậy AGC.A'G'C' là hình lăng trụ tam giác.

Bài tập 4.27: Cho hình...

Đáp án:

Ta có: AA'//BB'//CC'//DD' và mp(ABCD)//mp(A'B'C'D'). (Do ABCD.A'B'C'D'  là hình hộp)

M$\in$ AD;N$\in$ BC => MN$\subset$ mp(ABCD)

Tương tự M'N'$\subset$ mp(A'B'C'D') 

=> (ABNM) // (A'B'N'M') (1).

Ta có: (ABB'A') // (MNN'M')  

mp(ABCD)$\cap$ mp(ABB'A')=AB 

mp(ABCD)$\cap$ mp(MNN'M')=MN 

=> AB//MN

Tương tự: M'N' // A'B'; NN' // BB'; MM' // AA'.

Mà AA' // BB' => AA'//BB'//NN'//MM' (2)

Từ (1) và (2) suy ra ABNM.A'B'N'M' là hình lăng trụ.

Tứ giác ABNM có : 

AB // MN 

AM // BN (do AD // BC) 

=> ABNM là hình bình hành.

Xét A'B'N'M' có :

A'B' // M'N' và A'M' // B'N' (do A'D' // B'C') 

=> A'B'N'M' là hình bình hành.

Hình lăng trụ ABNM.A'B'N'M' có hai đáy là hình bình hành nên nó là hình hộp.

Bài tập 4.28: Cầu thang xương cá là dạng cầu thang có hình dáng...

Đáp án:

Các bậc cầu thang là các mặt phẳng song song với nhau từng đôi một. 

Mặt phẳng tường cắt mỗi mặt phẳng là các bậc của cầu thang theo các giao tuyến là phần mép của mỗi bậc cầu thang nằm trên tường 

Suy ra, các giao tuyến này song song với nhau.