CHƯƠNG IV. QUAN HỆ SONG SONG TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 13: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Hoạt động 1:

- Các mặt của từng tầng trong giá để dép gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

- Mặt sàn và mặt trần nhà bằng gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

- Hai mặt đối diện của hộp diêm gợi nên hình ảnh về các mặt phẳng không có điểm chung.

Khái niệm

Hai mặt phẳng (α) và (β) được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung, kí hiệu (α) // (β) hay (β) // (α).

Nhận xét

Nhận xét. Nếu hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau và đường thẳng d nằm trong (α) thì d và (β) không có điểm chung, tức là d song song với (β). Như vậy, nếu một đường thẳng nằm trong một trong hai mặt phẳng song song thì đường thẳng đó song song với mặt phẳng còn lại.

Câu hỏi

Trong hình ảnh mở đầu, các nhát cắt nằm trong các mặt phẳng song song.

2. ĐIỀU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 

Hoạt động 2:

Do a song song với mặt phẳng (β) và a nằm trong mặt phẳng (α) nên (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c song song với a. Lí luận tương tự, ta thấy c song song với b. Từ đó suy ra a song song với b hoặc a trùng với b (mâu thuẫn giả thiết).

Kết luận

Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau và hai đường thẳng này song song với mặt phẳng (β) thì (α) và (β) song song với nhau.

Câu hỏi

Giả sử hai đường thẳng a và b trùng nhau thì khi đó có thể xảy ra trường hợp hai mặt phẳng (α) và (β) cắt nhau theo giao tuyến c song song với hai đường thẳng trùng nhau trên, do đó (α) và (β) không song song với nhau. Do vậy, nếu không có điều kiện “hai đường thẳng cắt nhau” thì khẳng định trên không đúng.

Ví dụ 1: (SGK – tr.89).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.89).

Luyện tập 1

Vì m // BC nên m // (BCD).

Vì n // BD nên n // (BCD).

m$\subset $mp(m,n); n$\subset $mp(m, n); m∩n=A

m, n//mp(BCD) 

=> mp(m, n)//mp(BCD)

Vận dụng 1

Vì các khung sắt có dạng hình chữ nhật nên các cạnh đối diện của khung sắt song song với nhau, do đó a // c và b // d.

Vì c và d là các đường thẳng của chân bàn nằm trên mặt đất, nên a // c thì đường thẳng a song song với mặt đất và b // d thì đường thẳng b song song với mặt đất.

Mặt phẳng bàn chứa hai đường thẳng cắt nhau a và b cùng song song với mặt đất nên mặt phẳng bàn song song với mặt đất.

3. ĐIỂU KIỆN VÀ TÍNH CHẤT CỦA HAI MẶT PHẲNG SONG SONG ( TIẾP TỤC)

Hoạt động 3

Mặt bàn nằm ngang thì song song với mặt đất. Khi tấm bìa cứng được đặt lên một góc của mặt bàn nằm ngang sao cho mặt bìa song song với mặt bàn thì mặt bìa trùng với mặt bàn.

Tính chất:

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng sóng song với mặt phẳng đã cho.

Câu hỏi

Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì hai mặt phẳng đó song song với nhau.

Chứng minh: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) phân biệt có (P) // (Q), (Q) // (R). Theo tính chất bắc cầu ta có (P) // (R).

Ví dụ 2: (SGK – tr.90).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.90).

Luyện tập 2

Xét ∆SAB có $\frac{MA}{MS}$=$\frac{NB}{NS}$=12 hay $\frac{SM}{SA}$=$\frac{SN}{SB}$=13

Suy ra MN // AB (theo định lí Thalès).

Do đó MN // mp(ABCD). Tương tự, NP // BC nên NP //mp (ABCD). 

Vậy mp(MNP) chứa hai đường thẳng cắt nhau MN và NP cùng song song với mp(ABCD) 

=> Nên mp(MNP) // mp(ABCD). 

Lập lập tương tự ta có mp (MPQ) //mp(ABCD).

(MNP) và (MPQ) cùng đi qua điểm M (MNP) //(ABCD) và (MPQ) //(ABCD)  nên hai mặt phẳng đó trùng nhau, tức là bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Hoạt động 4

(hình 4.46)

a) Giả sử:

mp(R) không cắt mp(Q) => R//(Q). Mà mp(P)//mp(Q)

=> mp(R)//mp(P). Điều này mâu thuẫn với gải thiết mp(R)∩mp(P)=a

b) Vì a, b$\subset $mp(R) => a, b không thể chéo nhau.

=> a, b không có điểm chung.

Giả sử: a, b có điểm chung là A => mp(P), mp(Q) cũng có điểm chung là A. Điều này mâu thuẫn với giả thiết mp(P)//mp(Q)

Tính chất

Cho hai mặt phẳng song song. Nếu một mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cũng cắt mặt phẳng kia và hai giao tuyến song song với nhau.

Ví dụ 3: (SGK – tr.90).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.90).

Luyện tập 3

Trong Ví dụ 2, ta đã chứng minh được (MNPQ) // (ABCD). 

Vì vậy hai giao tuyến của mặt phẳng (EMQ) với hai mặt phẳng (MNPQ) và (ABCD) song song với nhau. Ta có (EMQ) ∩ (MNPQ) = MQ. 

Trong mặt phẳng (MEQ), qua E vẽ đường thẳng song song với MQ cắt CD tại H (EH // MQ // AD) thì đường thẳng EH là giao tuyến của hai mặt phẳng (EMQ) và mặt phẳng (ABCD).

4. ĐỊNH LÍ THALES TRONG KHÔNG GIAN

Hoạt động 5

a) Mặt phẳng (ACC’)∩(Q) và (ACC’)∩(R) theo hai giao tuyến BD và CC’. Do đó, BD // CC’.

Mặt phẳng (AC’A’)∩(P) và (AC’A’)∩(Q) theo hai giao tuyến AA’ và B’D. Do đó, B’D // AA’.

b) Xét ∆ACC' có BD // CC’, theo định lí Thalès trong tam giác ta suy ra $\frac{AB}{BC}$=$\frac{AD}{DC'}$ 

Tương tự, xét ∆AA'C' có B’D // AA’, ta suy ra $\frac{AD}{DC'}$=$\frac{A'B'}{B'C'}$

Vậy $\frac{AB}{BC}$=$\frac{AD}{DC'}$=$\frac{A'B'}{B'C'}$.

Định lí

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến phân biệt bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Trong hình 4.48 ta có: $\frac{AB}{A'B'}$=$\frac{BC}{B'C'}$=$\frac{AC}{A'C'}$.

Ví dụ 4: (SGK – tr.91).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.91).

Luyện tập 4.

Theo định lí Thalès trong không gian, ta có: $\frac{AB}{A'B'}$=$\frac{BC}{B'C'}$

Suy ra B'C'=$\frac{AB.BC}{AB}$=$\frac{3.4}{2}$=6 (cm).

4. HÌNH LĂNG TRỤ VÀ HÌNH HỘP

Hoạt động 6:

Các hình ảnh đã cho trên đều có chứa hai mặt nằm trong hai mặt phẳng song song, các mặt còn lại chứa các cạnh đối diện song song với nhau.

Định nghĩa

- Cho hai mặt phẳng song song (α) và (α'). Trên (α) cho đa giác lồi A$_{1}A_{2}A_{n}$. Qua các đình A$_{1}$, A$_{2}$,…,A$_{n}$ vẽ các đường thẳng đôi một song song và cắt mặt phẳng (α') tại A'$_{1},$A'$_{2}$,…,A'$_{n}'$. Hình gồm hai đa giác A$_{1}$A$_{2}$A$_{n}$,A'$_{1}$A'$_{2}$A'$_{n}$ và các tứ giác A$_{1}$A'$_{1}$A'$_{2}$A$_{2}$,A$_{2}$A'$_{2}$A'$_{3}$A$_{3}$,…,A$_{n}$A'$_{n}$A'$_{1}$A$_{1}$ được gọi là hình lăng trụ và kí hiệu là A$_{1}$A$_{2}$A$_{n}$A'$_{1}$A'$_{2}$A'$_{n}$ 

+ Các điểm A$_{1}$, A$_{2}$,…,A$_{n}$ và A'$_{1},$A'$_{2}$,…,A'$_{n}'$ được gọi là các đỉnh, các đoạn thẳng A$_{1}$A'$_{1}$,A$_{2}$A'$_{2}$,…,A$_{n}$A'$_{n}$ được gọi là các cạnh bên, các đoạn thẳng A$_{1}$A$_{2}$,A$_{2}$A$_{3}$,…, A$_{n}$A$_{1}$ và A'$_{1}$A'$_{2}$,A'$_{2}$A'$_{3}$,…,A'$_{n}$A'$_{1}$ được gọi là các cạnh đáy của hình lăng trụ.

+ Hai đa giác A$_{1}$A$_{2}$A$_{n}$ và A'$_{1}$A'$_{2}$A'$_{n}$ được gọi là hai mặt đáy của hình lăng trụ.

+ Các tứ giác A$_{1}$A'$_{1}$A'$_{2}$A$_{2}$,A$_{2}$A'$_{2}$A'$_{3}$A$_{3}$,…,A$_{n}$A'$_{n}$A'$_{1}$A$_{1}$ được gọi là các mặt bên của hình lăng trụ.

Câu hỏi

Xét mặt bên A$_{1}$A'$_{1}$A'$_{2}$A$_{2}$, theo lí thuyết, ta có A$_{1}$A'$_{1}$ // A$_{2}$A'$_{2}$, lại có mặt phẳng (A$_{1}$A'$_{1}$A'$_{2}$A$_{2}$) lần lượt cắt hai mặt phẳng song song (α) và (α') theo hai giao tuyến A$_{1}$A$_{2}$ và A'$_{1}$A'$_{2}$ nên A$_{1}$A$_{2}$ // A'$_{1}$A'$_{2}$. Do vậy, tứ giác A$_{1}$A'$_{1}$A'$_{2}$A$_{2}$ là hình bình hành (các cặp cạnh đối diện song song). 

Từ đó suy ra A$_{1}$A'$_{1}$ // A$_{2}$A'$_{2}$ và A$_{1}$A'$_{1}$ = A$_{2}$A'$_{2}$.

Chứng minh tương tự, ta có các mặt bên khác của hình lăng trụ là hình bình hành, từ đó suy ra các cạnh bên đôi một song song và có độ dài bằng nhau.

Chú ý:

Tên của hình lăng trụ được gọi dựa theo tên của đa giác đáy.

Ví dụ 5: (SGK – tr.92).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.92)

Luyện tập 5

Vì các cạnh bên của hình lăng trụ ABC.A'B'C' đôi một song song nên AA', BB', CC' đôi một song song (1).

Ta có BB' // CC' nên BCC'B' là hình thang.

Vì M và M' lần lượt là trung điểm của cạnh BC và B'C' nên MM' là đường trung bình của hình thang BCC'B', suy ra MM', BB', CC' đôi một song song (2).

Từ (1) và (2) suy ra MM'// AA'// CC' 

mp(ABC)//mp(A'B'C') 

=> mp(AMC)//mp(A'B'C')

Do vậy AMC.A'M'C' là hình lăng trụ.

Hoạt động 7.

Hình ảnh thứ hai từ trái sang phải trong HĐ6 gợi nên hình ảnh về hình lăng trụ có đáy là hình bình hành.

- Hình lăng trụ tứ giác ABCD⋅A'B'C'D' có hai đáy là hình bình hành được gọi là hình hộp.

+ Các cặp điểm A và C',B và D',C và A',D và B' được gọi là các đỉnh đối diện của hình hộp.

+ Các đoạn thẳng AC',BD',CA' và DB' được gọi là các đường chéo của hình hộp.

+ Các cặp tứ giác ABCD và A'B'C'D,ADD'A' và BCC'B', ABB'A' và CDD'C' được gọi là hai mặt đối diện của hình hộp.

Ví dụ 6: (SGK – tr. 93).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.93).

Luyện tập 6

Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có hai đáy ABCD và A'B'C'D' là các hình bình hành.

Ta có: AD // BC (do ABCD là hình bình hành), do đó AD // (BCC'B').

Lại có: AA' // BB' (các cạnh bên của hình hộp), do đó AA' // (BCC'B').

Trong mp(ADD'A') có: 

AD//mp(BCC'B') và AA'//mp(BCC'B')

Vậy mp(ADD'A')//mp(BCC'B')

Vận dụng 2

Vì bể nước có dạng hình hộp nên nắp bể và đáy bể nằm trong hai mặt phẳng song song. Khi mặt nước yên lặng thì mặt nước, nắp bể và đáy bể nằm trong ba mặt phẳng đôi một song song. Khi đó, thanh gỗ và chiều cao của bể đóng vai trò như hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng đôi một song song trên. Vậy áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta khẳng định được tỉ lệ giữa mực nước và chiều cao của bể chính là tính tỉ lệ giữa độ dài của phần thanh gỗ bị ngâm trong nước và độ dài của cả thanh gỗ.