1. HÀM SỐ LIÊN TỤC TẠI MỘT ĐIỂM

Bài 1: Nhận biết tính liên tục của hàm số tại một điểm...

Đáp án:

$f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}=x+1=2$

Vậy f(x) =f(1) = 2

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số...

Đáp án:

f(x) =(-x) =0 

$f(x) =x^{2}=0$

f(0)=0 

Vậy hàm số liên tục tại 0.

2. HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT KHOẢNG

Bài 1: Cho hai hàm số...

Đáp án:

+) Hàm số f(x) xác định trên [0;1], do đó $x=\frac{1}{2}$ thuộc tập xác định của hàm số.

f(x) =1 =1 

f(x) =2x =1

$f(x) =f(\frac{1}{2})= 1$

Vậy f(x) liên tục tại $x=\frac{1}{2}$

+) Hàm số g(x) xác định trên [0;1], do đó $x=\frac{1}{2}$ thuộc tập xác định của hàm số.

$g(x) =x=\frac{1}{2}$

g(x) =1 =1 

=> $g(x) \neq g(x)$

Vậy g(x) gián đoạn tại $x=\frac{1}{2}$

+) Đồ thị của hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [0;1], còn đồ thị của hàm số y=g(x) bị gián đoạn tại $x=\frac{1}{2}$

Bài 2: Tìm các khoảng trên đó hàm số...

Đáp án:

Ta thấy hàm số f(x) là một hàm phân thức hữu tỉ. Vậy hàm số này liên tục trên các khoảng tập xác định của chúng: $(-\infty; -2)$ và $(-2;+\infty )$

3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN

Bài 1: Cho hai hàm số...

Đáp án:

a) $f(x)=x^{2}$ và g(x)=-x+1 là các hàm đa thức nên nó liên tục trên R. 

=> f(x) và g(x) đều liên tục tại x=1.

b) Ta có: $f(x)+g(x)=x^{2}+(-x+1)=x^{2}-x+1$

=> $L=[f(x)+g(x)] =(x^{2}-x+1)=1$

f(1)=1;g(1)=0 => f(1)+g(1)=1+0=1

Vậy L=f(1)+g(1).

Bài 2: Giải bài toán ở tình huống mở đầu

Đáp án:

Vận tốc trung bình trên quãng đường đi là $v_{a}=\frac{180}{3}=60$ (km/h)

Gọi $v_{t}$ là hàm biểu thị vận tốc của xe tại thời điểm t.

Xét hàm số $f(t)=v_{t}-v_{a}$rõ ràng ft là hàm số liên tục trên đoạn [t_{0};t_{1}]

Vì vận tốc liên tục trong suốt thời gian chạy, có thời điểm vận tốc dưới trung bình hoặc trên mức trung bình nên có ít nhất một thời điểm xe chạy với vận tốc bằng vận tốc trung bình là 60km/h.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài tập 5.14: Cho...

Đáp án:

Vì f(x) liên tục tại x=1 nên 2f(x) cũng liên tục tại x=1

Mà hàm số g(x) liên tục tại x=1 => y=2f(x)-g(x) liên tục tại x=1

=> [2f(x) -g(x)]=2f(1)-g(1) = 3

=> g(1)=1

Bài tập 5.15: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên tập xác...

Đáp án:

a) D=R\ {-2;-3}.Do f(x) là hàm phân thức hữu tỉ nên nó liên tục trên D.

b) D = R và liên tục trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1;+\infty )$

$f(x) =(1+x^{2})=2$

$f(x) =(4-x) =3$

Vậy hàm số gián đoạn tại x=1.

Bài tập 5.16: Tìm giá trị của tham số...

Đáp án:

D = R và liên tục trên các khoảng  $(-\infty; 0)$ và $(0;+\infty )$

f(x) =sinsinx  =0 

f(x) =(-x+m) =m 

f(0)=0 

Vậy hàm số f(x) liên tục trên R chỉ khi m=0.

Bài tập 5.17: Một bảng giá cước taxi được cho như sau...

Đáp án:

a) Kí hiệu f(x) là số tiền phải trả theo quãng đường di chuyển (tính theo km) Ta thấy :

fx={10 000x;0<x ≤0,5    10 000+x-0,5. 13 500; 0,5<x ≤30 10 000+29,5 . 13 500 +x-30. 11 000;x>30

b) 

+) Với x$\in $0;0,5 thì f(x)=10 000 là hàm hằng nên f(x) liên tục trên [0;0,5].

+) Với x$\in $(0,5;30] thì fx=13 500.x+3 250 là hàm đa thức nên liên tục trên (0,5;30].

+) Với x>30 thì fx=11 000.x+78 250 là hàm đa thức nên liên tục trên $(30;+\infty)$.

* Tại x=0,5 => f(0,5)=10 000

f(x) =10 000 =10 000 

f(x) =(13 500.x+3 250) =10 000 

=> f(x) liên tục tại x=0,5.

* Tại x=30 => f30=13 500.30+3 250=408 250

f(x) =(13 500.x+3 250) =408 250 

f(x) =(11 000.x+78 250) =408 250 

=> f(x) liên tục tại x=30

Vậy hàm số liên tục trên $[0;+\infty)$.