CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC LƯỢNG GIÁC

1. GÓC LƯỢNG GIÁC

a) Khái niệm góc lượng giác và số đo của góc lượng giác.

Hoạt động 1:

a) Phải quay kim phút một khoảng bằng $\frac{2}{12}$=$\frac{1}{6}$ vòng tròn.

b) Phải quay kim phút một khoảng bằng $\frac{10}{12}$=$\frac{5}{6}$ vòng tròn.

c) Có 2 cách quay kim phút theo một chiều xác định để kim phút từ vị trí chỉ đúng số 2 về vị trí chỉ đúng số 12, đó là quay ngược chiều kim đồng hồ và quay theo chiều quay của kim đồng hồ.

Kết luận:

Trong mặt phẳng, cho hai tia Ou, Ov. Xét tia Om cùng nằm trong mặt phẳng này. Nếu tia Om quay quanh điểm O, theo một chiều nhất định từ Ou đến Ov, thì ta nói nó quét một góc lượng giác với tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí hiệu là (Ou, Ov).

Quy ước:

- Chiều quy ngược với chiều quay của kim đồng hồ là chiều dương, chiều quay cùng chiều kim đồng hồ là chiều âm.

- Số đo của góc lượng giác:

Nếu tia Om quay theo chiều dương đúng một vòng ta nói tia Om quay góc 360$^{\circ}$, quay đúng 2 vòng ta nói nó quay góc 720$^{\circ}$; quay theo chiều âm nửa vòng ta nói nó quay góc -180$^{\circ}$, quay theo chiều âm 1,5 vòng ta nói nó quay góc -1,5.360$^{\circ}$= -540$^{\circ}$,…..

- Khi tia Om quay góc $\alpha ^{\circ}$ thì ta nói góc lượng giác mà tia đó quét nên có số đo $\alpha ^{\circ}$, Số đo lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov được kí hiệu là sđ(Ou, Ov).

Kết luận:

Mỗi góc lượng giác gốc O được xác định bởi tia đầu Ou, tia cuối Ov và số đo góc của nó.

Chú ý:

Cho hai tia Ou, Ov có vô số góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov. Mỗi góc lượng giác như thế đều kí hiệu là (Ou, Ov).

Số đo của các góc lượng giác này sai khác nhau một bội nguyên của 360$^{\circ}$.

Ví dụ 1: (SGK – tr.7).

Lời giải: (SGK – tr.7).

Luyện tập 1:

Ta có:

- Góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều dương có số đo là

sđ(Ou, Ov) = 45$^{\circ}$. 

- Góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov, quay theo chiều âm có số đo là

sđ(Ou, Ov)= - (360$^{\circ}$ – 45$^{\circ}$)

= - 315$^{\circ}$.  

b) Hệ thức Chasles

HĐ2:

a) Quan sát Hình 1.5 ta có:

sđ(Ou, Ov) = 30$^{\circ}$; 

sđ(Ov, Ow) = 45$^{\circ}$;  

sđ(Ou, Ow)= – (360$^{\circ}$ – 30$^{\circ}$ – 45$^{\circ}$)

= – 285$^{\circ}$. 

b)  Ta có: sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = 30$^{\circ}$ + 45$^{\circ}$ = 75$^{\circ}$.

Lại có: –285$^{\circ}$+1.360$^{\circ}$=75$^{\circ}$.

Vậy tồn tại một số nguyên k=1 để sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k360$^{\circ}$.

Hệ thức Chasles:

Với ba tia Ou, Ov, Ow bất kì, ta có:

Sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow)  + k360$^{\circ}$ k∈Z. 

Nhận xét:

Từ hệ thức Chasles, ta suy ra: Với ba tia tùy ý Ox, Ou, Ov ta có:

Sđ(Ou, Ov)= sđ(Ox, Ov) – sđ(Ox, Ou) + k360$^{\circ}$ (k∈Z). 

Hệ t thực này đống vai trò quan trọng trong việc tính toán số đo của góc lượng giác.

Ví dụ 2.

Hướng dẫn giải (SGK – tr.8).

Luyện tập 2

Số đo của các góc lượng giác tia đầu Ou, tia cuối Ov là:

sđ(Ou, Ov)=sđ(Ox, Ov)–sđ(Ox, Ou)+k360$^{\circ}$ 

= – 270$^{\circ}$ – 240$^{\circ}$ + k360$^{\circ}$   

= – 510$^{\circ}$ + k360$^{\circ}$ 

= 210$^{\circ}$ – 720$^{\circ}$ + k360$^{\circ}$   

= 210$^{\circ}$+(k – 2)360$^{\circ}$ 

= 210$^{\circ}$+m360$^{\circ}$ (m=k – 2, m Z). 

Vậy các góc lượng giác (Ou, Ov) có số đo là 210$^{\circ}$+m360$^{\circ}$ (mZ)

2. ĐƠN VỊ ĐO GÓC VÀ ĐỘ DÀI CUNG TRÒN

a) Đơn vị đo góc và cung tròn

- Đơn vị dùng để đo góc là: Độ.

- Góc 1$^{\circ}$=$\frac{1}{180}$ góc bẹt.

- Đơn vị độ được chia thành những đơn vị nhỏ hơn: 1$^{\circ}$=60';1'=60''

Đơn vị rađian: Cho đường tròn (O) tâm O, bán kính R và một cung AB trên (O)

Ta nói cung tròn AB có số đo bằng 1 rađian nếu độ dài của nó đúng bằng bán kính R. Khi đó ta cũng nói rằng góc AOB có số đo bằng 1 rađian và viết:

AOB=1 rad.

Quan hệ giữa độ và rađian:

+ Công thức tính độ dài đường tròn 2$\pi $R.

+ Độ dài đường tròn là 2$\pi $R nên nó có số đo là 2$\pi $ rad.

+ 360$^{\circ}$=2$\pi $ rad.

Công thức:

1$^{\circ}$=$\frac{\pi }{180}$rad và 1 rad=$\frac{180}{\pi }^{\circ}$

Chú ý:

Khi viết một số đo của một góc theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. 

Chẳng hạn góc $\frac{\pi }{2}$ được hiểu là $\frac{\pi }{2}$ rad.

Ví dụ 3: (SGK – tr.9).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.9).

Luyện tập 3:

a) Đổi từ độ sang rađian:

360$^{\circ}$=360.$\frac{\pi }{180}$=2$\pi $ 

-450$^{\circ}$=-450.$\frac{\pi }{180}$=-$\frac{5\pi }{2}$

b) Đổi từ rađian sang độ:

3$\pi $=3$\pi $.($\frac{180}{\pi }^{\circ}$)=540$^{\circ}$

-$\frac{11\pi }{5}$=-$\frac{11\pi }{5}$.($\frac{180}{\pi }^{\circ}$)=-396 

Chú ý:

b) Độ dài cung tròn.

Hoạt động 3:

a) Độ dài cung tròn có số đo bằng 1 rađian là R.

b) Độ dài của một cung tròn có số đo $\alpha $ rad là $\alpha $R.

Công thức:

Một cung của đường tròn bán kính R và có số đo $\alpha $ rad thì có độ dài l=R$\alpha $.

Ví dụ 4: (SGK – tr.9).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.9).

Vận dụng 1:

Bán kính quỹ đạo của trạm vũ trụ quốc tế là R=6400+400=6800 (km)

Đổi 45$^{\circ}$=45.$\frac{\pi }{180}$=$\frac{\pi }{4}$

Vậy trạm ISS đã di chuyển một quãng đường có độ dài là:

l=R.$\alpha $=6800.$\frac{\pi }{4}$≈5340,708 ≈5 341 km.

3. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC LƯỢNG GIÁC

a) Đường tròn lượng giác

Hoạt động 4:

a) Ta có: sđ(OA, OM) = $\frac{5\pi }{4}$ = $\pi $+$\frac{\pi }{4}$

Điểm M trên đường tròn sao cho sđ(OA, OM) = $\frac{5\pi }{4}$ được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

b) Ta có: sđ(OA, ON) = -$\frac{7\pi }{4}$

                                    =-($\frac{3\pi }{4}$+$\pi $)

Điểm N trên đường tròn sao cho sđ(OA, ON)=-$\frac{7\pi }{4}$ được xác định như trên hình vẽ dưới đây:

Kết luận:

- Đường tròn lượng giác là đường có tâm tại gốc tọa độ, bán kính bằng 1, được định hướng và lấy điểm A(1; 0) làm điểm gốc của đường tròn.

- Điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo $\alpha $  (độ hoặc rađian) là điểm M trên đường tròn lượng giác sao cho sđ(OA, OM) = $\alpha $.

Ví dụ 5: (SGK – tr.10).

Hướng dẫn giải: (SKG – tr.10).

Luyện tập 4

Ta có: -$\frac{15\pi }{4}$=-($\frac{3\pi }{4}$+3$\pi $), điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng -15$\frac{\pi }{4}$ được xác định trong hình dưới đây:

Ta có: 420$^{\circ}$=60$^{\circ}$+360$^{\circ}$, điểm N trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng 420$^{\circ}$ được xác định trong hình dưới đây:

b) Các giá trị lượng giác của góc lượng giác

Hoạt động 5:

Với mỗi góc $\alpha $ (0$^{\circ}$ ≤ $\alpha $ ≤ 180$^{\circ}$), gọi M($x_{0}$; $y_{0}$) là điểm trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $\widehat{xOM}$=$\alpha $. Khi đó:

+ sin của góc $\alpha $  là tung độ $y_{0}$ của điểm M, kí hiệu là sin $\alpha $; sin $\alpha $=$y_{0}$.

+ côsin của góc $\alpha $ là hoành độ của $x_{0}$ của điểm M, kí hiệu là cos $\alpha $; cos $\alpha $=$x_{0}$.

+ Khi $\alpha $≠90$^{\circ}$ (hay là $x_{0}$≠0), tang của là  $\frac{y_{0}}{x_{0}}$ , kí hiệu là tan $\alpha $ ;

tan $\alpha $ = $\frac{sin \alpha }{cos \alpha }$ =$\frac{y_{0}}{x_{0}}$

+ Khi $\alpha $≠0$^{\circ}$ và $\alpha $≠180$\alpha $ (hay y0≠0), côtang của là $\frac{x_{0}}{y_{0}}$, kí hiệu là cot $\alpha $ ;

cot $\alpha $ = $\frac{cos \alpha }{sin \alpha }$ =$\frac{x_{0}}{y_{0}}$. 

Kết luận

+ Hoành độ x của điểm M được gọi là côsin của $\alpha $, kí hiệu cos $\alpha $ .

cos $\alpha $ =x

+ Tung độ y của điểm M được gọi là sin của $\alpha $, kí hiệu là sin $\alpha $ .

sin $\alpha $ =y

+ Nếu cos $\alpha $ ≠0, tỉ số $\frac{sin \alpha }{cos \alpha }$ được gọi là tang của $\alpha $, kí hiệu là tan $\alpha $ .

tan $\alpha $= $\frac{sin \alpha }{cos \alpha }$ =$\frac{y}{x}$ (x≠0 )

+ Nếu $\alpha $ ≠0, tỉ số $\frac{cos \alpha }{sin \alpha }$ được gọi là côtang của $\alpha $, kí hiệu là cot $\alpha $ .

cot $\alpha $ = $\frac{cos \alpha }{sin \alpha }$ =$\frac{x}{y}$ (y≠0) 

+ Các giá trị cos $\alpha $ ,sin $\alpha $ ,tan $\alpha $ ,cot $\alpha $ được gọi là các giá trị lượng giác của $\alpha $.

Chú ý

a) Ta gọi trục tung là trục sin; trục hoành là trục cos.

b) Từ định nghĩa ta suy ra:

+ sin $\alpha $ ,cos $\alpha $ các định với mọi giá trị của $\alpha $  và ta có:

-1≤sin $\alpha $ ≤1;        -1≤cos $\alpha $ ≤1  

sin $\alpha $+k2$\pi $ =sin $\alpha $  ; 

cos ($\alpha $+k2$\pi $) =cos $\alpha $ , (k∈Z).

+ tan $\alpha $ xác định khi $\alpha $≠$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $ k∈Z.

+ cot $\alpha $ xác định khi $\alpha $≠k$\pi $ (k∈Z).

+ Dấu của các giá trị lượng giác của một góc lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm biểu diễn M trên đường tròn lượng giác.

Ví dụ 6: (SGK – tr.12).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.12).

Luyện tập 5:

a)  Điểm M trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có số đo bằng $\frac{5\pi }{6}$ được xác định trong hình sau:

b) Ta có:

cos $\frac{5\pi }{6}$ =-$\frac{\sqrt{3}}{2}$;

sin $\frac{5\pi }{6}$=$\frac{1}{2}$  

tan $\frac{5\pi }{6}$ = $\frac{sin \frac{5\pi }{6}}{cos \frac{5\pi }{6}}$ = -$\frac{\sqrt{3}}{3}$

cot $\frac{5\pi }{6}$ = $\frac{cos \frac{5\pi }{6} }{sin \frac{5\pi }{6} }$ =$\sqrt{3}$ 

c) Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt

d) Sử dụng máy tính cầm tay để đổi số đo góc và tìm giá trị lượng giác của góc

Ví dụ 7: (SGK – tr.13).

Ví dụ 8: (SGK – tr.13).

Luyện tập 6:

a) Tính: cos $\frac{3\pi }{7}$ ; tan (-37$^{\circ}$25')

Dùng máy tính cầm tay fx570VN PLUS.

+ Để tính cos $\frac{3\pi }{7}$ ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 0,222520934.

Vậy cos $\frac{3\pi }{7}$ ≈0,222520934.

+ Để tính tan (-37$^{\circ}$25') ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện – 0,76501876.

Vậy tan (-37$^{\circ}$25') = –0,76501876.

b) Đổi 179$^{\circ}$23'30" sang rađian ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 3,130975234

Vậy 179$^{\circ}$23'30" ≈ 3,130975234 (rad).

c) Đổi $\frac{7}{9}$ rad sang độ ta thực hiện bấm phím lần lượt như sau:

Màn hình hiện 44$^{\circ}$33'48,18"

Vậy $\frac{7}{9}$ rad = 44$^{\circ}$33'48,18".

4. QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

a) Các công thức lượng giác cơ bản

Hoạt động 6:

a) Theo định nghĩa, ta có: 

sin $\alpha $ =y; cos $\alpha $ =x

Do đó,

(sin $\alpha $)$^{2}$+ (cos $\alpha $)$^{2}$=y$^{2}$+x$^{2}$ 

Từ hình vẽ ta thấy x$^{2}$+y$^{2}$=R$^{2}$=1 (theo định lý Pythagore và đường tròn đơn vị có bán kính R = 1).

Vậy sin.sin $\alpha $ +cos.cos $\alpha $ =1.

b) Theo định nghĩa với:

$\alpha $≠$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $ (k∈Z), ta có:

tan $\alpha $ = $\frac{sin \alpha }{cos \alpha }$ => $\alpha $ = $\frac{sin \alpha }{cos \alpha }^{2}$

Do đó, 1+$\alpha $ =1+ $\frac{\alpha }{\alpha }$

= $\frac{\alpha + \alpha }{\alpha }$ =$\frac{1}{\alpha }$  

Vậy 1+$\alpha $ =$\frac{1}{\alpha }$ .

Hệ thức cơ bản:

sin$^{2} \alpha $+ $\alpha $=1 

1+ $\alpha $=$\frac{1}{\alpha }$ ($\alpha $≠$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $, k∈Z) 

1+ $\alpha $=$\frac{1}{\alpha }$ ($\alpha $≠k$\pi $, k∈Z) 

tan tan $\alpha $.cot cot $\alpha $=1 ($\alpha $≠$\frac{k\pi }{2}$, k∈Z) 

Ví dụ 9: (SGK – tr.14).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.14).

Luyện tập 7:

Vì $\pi $<$\alpha $<$\frac{3\pi }{2}$ nên sin $\pi $<0. Mặt khác:

$\alpha $ + $\alpha $ =1 ta có:

sin sin $\alpha $=-$\sqrt{1-\alpha }$  

          =-$\sqrt{1-(-\frac{2}{3})^{2}}$= -$\frac{\sqrt{5}}{3}$.

Do đó, tan.tan$\alpha $=$\frac{sin sin \alpha }{cos.cos $\alpha $}$ =$\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$ và 

cot cot $\alpha $=$\frac{1}{tan.tan \alpha }$ =$\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{2}{\sqrt{5}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$ .

b) Giá trị lượng giác của các góc có liên quan đặc biệt.

Hoạt động 7:

a) Giả sử M($x_{M}$;$y_{M}$);N($x_{N}$;$y_{N}$).

Từ Hình 1.12a, ta thấy hai điểm M và N đối xứng với nhau qua trục hoành Ox, do đó ta có: $x_{M}$=$x_{N}$ và $y_{M}$= –$y_{N}$.

Theo định nghĩa giá trị lượng giác của một góc, ta lại có:

cos $\alpha $ =$x_{M}$ và cos (-$\alpha $) =$x_{N}$. 

Suy ra cos (-$\alpha $) =cos $\alpha $.

cos $\alpha $ =$y_{M}$ và sin (-$\alpha $) =$y_{N}$.

Suy ra sin $\alpha $ =-sin (-$\alpha $) hay sin (-$\alpha $) =-sin $\alpha $ .

b) Ta có: 

tan (-$\alpha $) = $\frac{sin (-\alpha )}{cos (-\alpha )}$=$\frac{sin \alpha }{cos \alpha }$ =$\alpha $ ; 

cot (-$\alpha $) = $\frac{cos (-\alpha )}{sin (-\alpha )}$=$\frac{cos \alpha }{sin \alpha }$=-cot $\alpha $    

Vậy tan (-$\alpha $) =-tan $\alpha $ ;

cot -$\alpha $ =-cot $\alpha $ 

Góc đối nhau ($\alpha $ và -$\alpha $)

cos (-$\alpha $) =cos $\alpha $  

sin (-$\alpha $) =-sin $\alpha $  

tan (-$\alpha $) =-tan $\alpha $  

cot (-$\alpha $)=-cot $\alpha $   

Góc bù nhau ( $\alpha $ và $\pi $-$\alpha $)

sin ($\pi $-$\alpha $)=sin $\alpha $ 

cos ($\pi $-$\alpha $) =-cos $\alpha $  

tan ($\pi $-$\alpha $) =-tan $\alpha $   

cot ($\pi $-$\alpha $) =-cot $\alpha $  

Góc phụ nhau ( $\alpha $ và $\frac{\pi }{2}$-$\alpha $)

sin ($\frac{\pi }{2}$-$\alpha $ )=cos $\alpha $  

cos ($\frac{\pi }{2}$-$\alpha $)=sin $\alpha $   

tan ($\frac{\pi }{2}$-$\alpha $)=cot $\alpha $   

cot ($\frac{\pi }{2}$-$\alpha $)=tan $\alpha $  

Góc hơn kém ( $\alpha $ và $\pi $+$\alpha $)

sin ($\pi $+$\alpha $)=-sin $\alpha $  

cos ($\pi $+$\alpha $)=-cos $\alpha $  

tan ($\pi $+$\alpha $)=tan $\alpha $  

cot ($\pi $+$\alpha $)=cot $\alpha $  

Chú ý (SGK – tr.15)

Nhờ các công thức trên, ta có thể đưa việc tính giá trị lượng giác của một góc lượng giác bất kì về việc tính giá trị lượng giác của góc với 0≤$\alpha $≤$\frac{\pi }{2}$.

Ví dụ 10: (SGK – tr.15).

Hướng dẫn giải: (SGK – tr.15).

Luyện tập 8:

a) sin (-675$^{\circ}$) =sin (45$^{\circ}$ -2.360$^{\circ}$)

                           =sin45$^{\circ}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) tan ($\frac{15\pi }{4}$)=tan (-$\frac{\pi }{4}$+4$\pi $ )

                        =-tan $\frac{\pi }{4}$ =-1.

Vận dụng 2.

a) Thời điểm 6 giờ sáng, tức t = 6, khi đó B(6) = 80+7sin $\frac{6\pi }{12}$=87.

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 6 giờ sáng là 87 mmHg.

b) Thời điểm 10 giờ 30 phút sáng, tức t = 10,5, khi đó: 

B(10,5) = 80+7sin $\frac{10,5\pi }{12}$ ≈82,68

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 10 giờ 30 phút sáng xấp xỉ 82,68 mmHg.

c) Thời điểm 12 giờ trưa, tức t=12, khi đó B(12) = 80+7sin $\frac{12\pi }{2}$=80

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 12 giờ trưa là 80 mmHg.

d) Thời điểm 8 giờ tối hay 20 giờ, tức t = 20, khi đó:

B(20) = 80+7sin $\frac{20\pi }{12}$=$\frac{160-7\sqrt{3}}{2}$

Vậy huyết áp tâm trương của người đó vào lúc 8 giờ tối là $\frac{160-7\sqrt{3}}{2}$