Giải Vận dụng 2 trang 108 sgk Toán 11 tập 1 Kết nối

Ta có: Achilles chạy với vận tốc 100 km/h, vận tốc của rùa là 1 km/h.

a) Để chạy hết quãng đường từ $A_{1}$ đến $A_{2}$ với $A_{1}A_{2} = a = 100$ (km), Achilles phải mất thời gian $t_{1}=\frac{100}{100}=1$ (h). Với thời gian $t_{1}$ này, rùa đã chạy được quãng đường $A_{2}A_{3} = 1$ (km).

Để chạy hết quãng đường từ $A_{2}$ đến $A_{3}$ với $A_{2}A_{3} = 1$ (km), Achilles phải mất thời gian $t_{2}=\frac{1}{100}$ (h). Với thời gian $t_{2}$ này, rùa đã chạy được quãng đường $A_{3}A_{4}=\frac{1}{100}$ (km).

Tiếp tục như vậy, để chạy hết quãng đường từ $A_{n}$ đến $A_{n+1}$ với $A_{n}A_{n+1}=\frac{1}{100^{n-2}}$ (km), Achilles phải mất thời gian $t_{n}=\frac{1}{100^{n-1}}$(h). ...

b) Tổng thời gian cần thiết để Achilles chạy hết các quãng đường $A_{1}A_{2},A_{2}A_{3},...,A_{n}A_{n+1},...$, tức là thời gian cần thiết để Achilles đuổi kịp rùa là

$T=1+\frac{1}{100}+\frac{1}{100^{2}}+...+\frac{1}{100^{n-1}}+\frac{1}{100^{n}}+...$ (h)

Đó là tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn với $u_{1} = 1$, công bội , nên ta có

$T=\frac{u_{1}}{1-q}=\frac{1}{1-\frac{1}{100}}=\frac{100}{99}=1\frac{1}{99}$ (h)

Như vậy, Achilles đuổi kịp rùa sau $1\frac{1}{99}$ giờ.

c) Nghịch lý Zeno chỉ đúng với điều kiện là tổng thời gian Achilles chạy hết các quãng đường để đuổi kịp rùa phải là vô hạn, còn nếu nó hữu hạn thì đó chính là khoảng thời gian mà anh bắt kịp được rùa.