CHƯƠNG II. DÃY SỐ. CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN

BÀI 5. DÃY SỐ

1. DÃY SỐ VÔ HẠN

Hoạt động 1:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là u$_{1}$=0$^{2}$=0

Số chính phương thứ hai là u$_{2}$=1$^{2}$=1

Số chính phương thứ ba là u$_{3}$=2$^{2}$=4

Số chính phương thứ tư là u$_{4}$=3$^{2}$=9

Số chính phương thứ năm là u$_{5}$=4$^{2}$=16

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là u$_{n}$=(n –1)$^{2}$ với n N*.

Kết luận:

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u=u(n).

+ Ta thường viết u$_{n}$ thay cho u(n) và ký hiệu dãy số u=u(n) bởi (u$_{n}$), do đó dãy số (u$_{n}$) được viết dưới dạng khai triển u$_{1}$, u$_{2}$, u$_{3}$,…, u$_{n}$,... Số u$_{1}$ gọi là số hạng đầu, u$_{n}$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý

Nếu ∀n∈N*, u$_{n}$=c thì (u$_{n}$) được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ 1: (SGK – tr.43).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

2. Dãy số hữu hạn

Hoạt động 2.

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

b) Ta có: u$_{n}$=(n –1)$^{2}$ với nN* và n ≤ 8.

Kết luận:

+ Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;...; m} với m∈N* được gọi là một dãy số hữu hạn.

+ Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u$_{1}$, u$_{2}$,…, u$_{m}$. Số u$_{1}$ gọi là số hạng đầu, số u$_{m}$ gọi là số hạng cuối.

Ví dụ 2: (SGK – tr.43).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.43).

Luyện tập 1.

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q+1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là u$_{n}$=5n+1 (n∈N*).

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu của dãy là u$_{1}$=6, số hạng cuối của dãy là u$_{5}$=26.

2. CÁCH CHO MỘT DÃY SỐ

Hoạt động 3:

a) Số hạng tổng quát của dãy số là u$_{n}$=5n (nN*).

b) Số hạng đầu của dãy số là u$_{1}$=5.

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là u$_{n}$=u$_{n}$–1+5 (n$\epsilon $N*, n>1).

Kết luận:

Một dãy số có thể cho bằng:

+ Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).

+ Công thức của số hạng tổng quát.

+ Phương pháp mô tả.

+ Phương pháp truy hồi.

Ví dụ 3: (SGK – tr.44)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Ví dụ 4: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

- Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1 mà chỉ có hai ước số là 1 và chính nó.

Chú ý:

Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ 4 được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một hệ thức tính số nguyên tố thứ n theo vào số nguyên tố đứng trước nó.

- Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ 5: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Ví dụ 6: (SGK – tr.44).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.44).

Luyện tập 2

a) Năm số hạng đầu của dãy số (un) với số hạng tổng quát un=n! là

u$_{1}$=1!=1 

u$_{2}$=2!=2 

u$_{3}$=3!=6 

u$_{4}$=4!=24 

u$_{5}$=5!=120 

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F$_{n}$) là

F$_{1}$=1 

F$_{2}$=1 

F$_{3}$=F$_{2}$+F$_{1}$=1+1=2; 

F$_{4}$=F$_{3}$+F$_{2}$=2+1=3; 

F$_{5}$=F$_{4}$+F$_{3}$=3+2=5. 

Chú ý

Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số (un) với un=-1n2n. Năm số hạng đầu tiên của dãy số này là: 

u$_{1}$=-$\frac{1}{2}$, u$_{2}$=$\frac{1}{4}$, u$_{3}$=-$\frac{1}{8}$, u$_{4}$=$\frac{1}{16}$, u$_{5}$=-$\frac{1}{32}$ và được biểu diễn trên trục số như trên.

3. NHẬN BIẾT DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM

Hoạt động 4.

a) Ta có: 

u$_{n+1}$=3(n+1)-1=3n+3-1=3n+2 

Xét hiệu u$_{n+1}$-u$_{n}$ ta có: u$_{n+1}$-u$_{n}$=(3n+2)-(3n-1)=3>0, tức là u$_{n+1}$>u$_{n}$, ∀n∈N*.

Vậy u$_{n+1}$>u$_{n}$  nN*.

b) Ta có: v$_{n+1}$=$\frac{1}{(n+1)^{2})}$.

Xét hiệu v$_{n+1}$-v$_{n}$ ta có: 

v$_{n+1}$-v$_{n}$=$\frac{1}{(n+1)^{2})}$-$\frac{1}{n^{2}}$ 

=$\frac{n^{2}-(n+1)^{2}}{n^{2}(n+1)^{2}}$=$\frac{n^{2}-(n^{2}+2n+1)}{n^{2}(n+1)^{2}}$ 

=-$\frac{2n+1}{n^{2}(n+1)^{2}}$<0, ∀n∈ ℕ* 

Tức là v$_{n+1}$<v$_{n}$, ∀n∈N*

Vậy v$_{n+1}$<v$_{n}$, ∀n∈N*.

Kết luận:

+ Dãy số (u$_{n}$) được gọi là dãy số tăng nếu ta có: u$_{n+1}$>u$_{n}$ với mọi n∈ ℕ*.

+ Dãy số (u$_{n}$) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u$_{n+1}$ với mọi n∈ ℕ*.

Ví dụ 7: (SGK – tr.45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.45).

Luyện tập 3

Ta có: u$_{n}$=$\frac{1}{n+1}$, u$_{n+1}$=$\frac{1}{(n+1)+2}$=$\frac{1}{n+2}$

u$_{n+1}$-u$_{n}$=$\frac{1}{n+2}$-$\frac{1}{n+1}$=$\frac{(n+1)-(n+2)}{(n+1)(n+2))}$

=-$\frac{1}{(n+1)(n+2)}$<0, ∀n∈N* 

Tức là u$_{n+1}$<u$_{n}$, ∀n∈N*

Vậy (u$_{n}$) là dãy số giảm.

2. Nhận biết dãy số bị chặn

Hoạt động 5.

a) Ta có: u$_{n}$=$\frac{n+1}{n}$=1+$\frac{1}{n}$>1, ∀n∈N*

b) Ta có: $\frac{1}{n}$≤1, ∀n∈N* 

suy ra 1+$\frac{1}{n}$≤1+1=2, ∀n∈N* 

Do đó, u$_{n}$=1+$\frac{1}{n}$≤2, ∀n∈N*. 

Kết luận

+ Dãy số (u$_{n}$) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u$_{n}$≤M với ∀n∈N*.

+ Dãy số (u$_{n}$) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u$_{n}$≥m, ∀n∈N*.

+ Dãy số (u$_{n}$) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m. M sao cho m≤u$_{n}$≤M, ∀n∈N*.

Ví dụ 8: (SGK – tr45).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.46).  

Câu hỏi phụ

Ta có: u$_{n}$=$\frac{4n+5}{n+1}$>0, ∀n∈N*

u$_{n}$=$\frac{4n+5}{n+1}$=$\frac{4(n+1)+1}{n+1}$=4+$\frac{1}{n+1}$≤4+$\frac{1}{2}$=$\frac{9}{2}$, ∀n∈N* 

Suy ra 0<u$_{n}$<$\frac{9}{2}$, ∀n∈N*

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn.

Luyện tập 4

Ta có: u$_{n}$ = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ*.

Do đó, dãy số (u$_{n}$) bị chặn dưới.

Dãy số (u$_{n}$) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u$_{n}$ = 2n – 1 ≤ M với mọi n N*.

Vậy dãy số (u$_{n}$) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Vận dụng

a) Ta có: 

s$_{2}$=s$_{1}$+25=200+25=225 

s$_{3}$=s$_{2}$+25=225+25=250 

s$_{4}$=s$_{3}$+25=250+25=275 

s$_{5}$=s$_{4}$+25=275+25=300 

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

b) Ta có: 

s$_{n}$=s$_{n-1}$+25⟺s$_{n}$-s$_{n-1}$=25>0 với mọi n≥2, n∈N*

Tức là s$_{n}$>s$_{n-1}$với mọi n ≥ 2, n N*.

Vậy (s$_{n}$) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc