CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

1. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG

Hoạt động 1:

* Phương trình: 2x-4=0<=>x=$\frac{4}{2}$=2

Vậy phương trình có tập nghiệm S$_{1}$=2.

* Phương trình: (x-2).(x$^{2}$+1)=0

<=>$\left\{\begin{matrix}x-2=0 & \\ x^{2}+1>0 & \end{matrix}\right.$ <=>x=2

Vậy phương trình có tập nghiệm S$_{2}$=2.

=> Nhận thấy cả hai phương trình đều có tập nghiệm S={2}.

Kết luận:

+ Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm.

+ Nếu phương trình f(x)=0 tương đương với phương trình g(x)=0 thì ta viết:

f(x)=0<=> g(x)=0

Chú ý: Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.

Ví dụ 1: (SGK – tr.31).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.31).

Luyện tập 1

* Phương trình: $\frac{x-1}{x+1}$=0

+ ĐKXĐ: x≠-1.

+ Ta có: $\frac{x-1}{x+1}$=0⇒x-1=0<=>x=1 (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm của phương trình là: S=1.

* Phương trình: x$^{2}$-1=0

+ Ta có: x$^{2}$-1=0<=>(x-1)(x+1)=0

⟺$\left\{\begin{matrix}x-1=0 & \\ x+1=0 & \end{matrix}\right.$ ⟺ $\left\{\begin{matrix}x=1 & \\ x=-1 & \end{matrix}\right.$

Vậy tập nghiệm phương trình là: S={-1;1}

=> Ta nhận thấy hai phương trình này không phải phương trình tương đương.

Chú ý:

- Để giải phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy gọi là các phép biến đổi tương đương.

- Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương với phương trình đã cho:

a) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hoặc một biểu thức:

f(x)=g(x)<=>f(x)+h(x)=g(x)+h(x) 

b) Nhân hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0:

f(x)=g(x) 

<=> f(x).h(x)=g(x).h(x), h(x)≠0.

2. PHƯƠNG TRÌNH SIN X = M

a) Từ Hình 1.19, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc $\frac{\pi }{6}$ và $\pi $-$\frac{\pi }{6}$=$\frac{5\pi }{6}$, lại có tung độ của điểm M và M' đều bằng $\frac{1}{2}$ nên theo định nghĩa gái trị lượng giác, ta có sin $\frac{\pi }{6}$=$\frac{1}{2}$ và sin $\frac{5\pi }{6}$ =$\frac{1}{2}$.

Vậy trong nửa khoảng [0;2$\pi $), phương trình sin x =$\frac{1}{2}$ có 2 nghiệm là x=$\frac{\pi }{6}$ và x=$\frac{5\pi }{6}$.

b) Vì hàm số sin có chu kì tuần hoàn là 2$\pi $ nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là: x=$\frac{\pi }{6}$+k2$\pi $, k∈Z và x=$\frac{5\pi }{6}$+k2$\pi $, k∈Z.

Tổng quát, xét phương trình sin x =m (*)

+ Nếu |m|>1 thì phương trình (*) vô nghiệm vì |sin x| ≤1 với mọi x∈R.

+ Nếu |m|≤1 thì tồn tại duy nhất α∈[-$\frac{\pi }{2}$;$\frac{\pi }{2}$] thỏa mãn sin α =m. Khi đó, trên đoạn có độ dài là 2$\pi $ là [-$\frac{\pi }{2}$;$\frac{3\pi }{2}$], phương trình (*) có các nghiệm và $\pi $-α.

Do tính tuần hoàn với chu kì 2$\pi $ của hàm sin, ta chỉ cần cộng vào các nghiệm này các bội nguyên của 2$\pi $ thì sẽ được tất cả các nghiệm của phương trình (*).

Kết luận

+ Phương trình sin x =m có nghiệm khi và chỉ khi |m|≤1.

+ Khi |m|≤1, sẽ tồn tại duy nhất α∈[-$\frac{\pi }{2}$;$\frac{\pi }{2}$] thỏa mãn sin α =m. Khi đó

sin x =m<=> sinx =sin α <=> $\left\{\begin{matrix}x=\alpha +k2\pi  & \\ x=\pi -\alpha +k2\pi  & \end{matrix}\right.$ (k∈Z).

Chú ý

a) Nếu số đo của góc được cho bằng đơn vị độ thì:

sinx =sin α$^{\circ}$ <=>$\left\{\begin{matrix}x=\alpha^{\circ} +k360^{\circ}  & \\ x=180^{\circ} -\alpha^{\circ} +k360^{\circ}  & \end{matrix}\right.$ (k∈Z).

b) Một số trường hợp đặc biệt:

+ sinx =0⟺x=k$\pi $, k∈Z.

+ sinx =1⟺x=$\frac{\pi }{2}$+k2$\pi $, k∈Z.

+ sinx =-1⟺x=-$\frac{\pi }{2}$+k2$\pi $, k∈Z.

Ví dụ 2: (SGK – tr.33).

Hướng dẫn giải  (SGK – tr.33).

sin u =sin v ⟺$\left\{\begin{matrix}u=v+k2\pi  & \\ u=\pi -v+k2\pi   & \end{matrix}\right.$ (k∈Z).

Ví dụ 3: (SGK – tr.33).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.33).

Bài tập mở rộng:

cos 2x +3sin x - 2=0 

<=>1-2x +3sin x -2=0 

<=>2x -3sin x +1=0 

<=> sinsin x =1 hoặc sin x =$\frac{1}{2}$ 

<=>x=$\frac{\pi }{2}$+k2$\pi $ hoặc x=$\frac{\pi }{6}$+k2$\pi $ hoặc x=$\frac{5\pi }{6}$+k2$\pi $   (k∈Z).

Ví dụ 4: (SGK – tr.34).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.34).

Luyện tập 2.

a) sin x =$\frac{\sqrt{2}}{2}$<=>sinsin x =sinsin$\frac{\pi }{4}$

⟺ $\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi & \\ x=\pi -\frac{\pi }{4}+k2\pi & \end{matrix}\right.$

⟺ $\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{4}+k2\pi & \\ x=-\frac{3\pi }{4}+k2\pi & \end{matrix}\right.$ k∈Z

Vậy phương trình sin x =$\frac{\sqrt{2}}{2}$ có các nghiệm là x=$\frac{\pi }{4}$+k2$\pi $, k∈Z và x=$\frac{3\pi }{4}$+k2$\pi $, k∈Z.

b) sin 3x =-sin 5x <=> sin 3x =sin (-5x)

⟺$\left\{\begin{matrix}3x=-5x+k2\pi & \\ 3x=\pi -(-5x)+k2\pi & \end{matrix}\right.$  (k∈Z)

⟺$\left\{\begin{matrix}8x=k2\pi & \\ -2x=\pi +k2\pi & \end{matrix}\right.$ (k∈Z)

⟺$\left\{\begin{matrix}x=k\frac{\pi }{4} & \\ x=-\frac{\pi}{2} +k\pi & \end{matrix}\right.$ (k∈Z).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là x=k$\frac{\pi }{4}$, (k∈Z) và x=-$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $,k∈Z.

3. PHƯƠNG TRÌNH COS X = M

Hoạt động 3.

a) 

Từ Hình 1.22a, nhận thấy hai điểm M, M' lần lượt biểu diễn các góc $\frac{2\pi }{3}$ và -$\frac{2\pi }{3}$, lại có hoành độ của điểm M và M' đều bằng -$\frac{1}{2}$ nên theo định nghĩa giá trị lượng giác, ta có cos $\frac{2\pi }{3}$ =-12 và cos (-$\frac{2\pi }{3}$) =-$\frac{1}{2}$.

Vậy trong nửa khoảng [-$\pi $;$\pi $) phương trình cos x =-$\frac{1}{2}$ có hai nghiệm là x=$\frac{2\pi }{3}$ và x=-$\frac{2\pi }{3}$.

b) Vì hàm số cos có chu kì tuần hoàn là 2$\pi $ nên phương trình đã cho có công thức nghiệm là x=$\frac{2\pi }{3}$+k2$\pi $, k∈Z và x=-$\frac{2\pi }{3}$+k2$\pi $, k∈Z . 

Kết luận:

+ Phương trình cos x =m có nghiệm khi và chỉ khi |m|≤1.

+ Khi |m|≤1, sẽ tồn tại duy nhất α∈[0;$\pi $] thỏa mãn cos α=m . Khi đó:

coscos x=m <=> cos x =cos α   

⟺ $\left\{\begin{matrix}x=\alpha +k2\pi & \\ x=-\alpha +k2\pi & \end{matrix}\right.$ (k∈Z).

Chú ý:

a) Nếu số đo góc được cho bằng đơn vị độ thì:

cos x =cos$\alpha ^{\circ}$ ⟺ $\left\{\begin{matrix}x=\alpha^{\circ} +k360^{\circ} & \\ x=-\alpha^{\circ} +k360^{\circ} & \end{matrix}\right.$ (k∈Z).

b) Một số trường hợp đặc biệt:

+ cos x=0 <=>x=$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $, k∈Z.

+ cos x=1 <=>x=k2$\pi $, k∈Z.

+ cos x=-1<=>x=$\pi $+k2$\pi $, k∈Z .

Ví dụ 5: (SGk – tr.35).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35).

cos u =cos v <=> u=±v+k2$\pi $ k∈Z. 

Ví dụ 6: (SGK – tr.35)

Hướng dẫn giải (SGK – tr.35).

Luyện tập 3

a) 2cos x =-$\sqrt{2}$⟺cos x =-$\frac{\sqrt{2}}{2}$

⟺cos x =cos$\frac{3\pi }{4}$ ⟺x=±$\frac{3\pi }{4}$+k2$\pi $, k∈Z 

b) cos 3x -sinsin 5x =0

⟺cos 3x =cos ($\frac{\pi }{2}$-5x) 

⟺ $\left\{\begin{matrix}3x=\frac{\pi }{2}-5x+k2\pi & \\ 3x=-\frac{\pi }{2}-5x+k2\pi & \end{matrix}\right.$ (k∈Z)

⟺ $\left\{\begin{matrix}x=\frac{\pi }{16}+k\frac{\pi }{4} & \\ x=\frac{\pi }{4}+k\pi & \end{matrix}\right.$   (k∈Z).

Vận dụng

a) Với F=0, ta có: $\frac{1}{2}$(1-cos$\alpha $ ) =0

⟺cos$\alpha $ =1⟺α=k2$\pi $, k∈Z 

Mà 0$^{\circ}$≤α≤360$^{\circ}$ 

⇒α∈{0$^{\circ}$;360$^{\circ}$}

b) Với F=0,25, ta có: $\frac{1}{2}$(1-cos$\alpha $)=0,25

⟺cos$\alpha $ =$\frac{1}{2}$⟺cos$\alpha $ =cos$\alpha $ $\frac{\pi }{3}$  

⟺ =±$\frac{\pi }{3}$+k2$\pi $, (k∈Z).

Mà 0$^{\circ}$≤α≤360$^{\circ}$

⇒α∈{60$^{\circ}$;300$^{\circ}$}

c) Với F=0,5, ta có: $\frac{1}{2}$(1-cos$\alpha $ )=0,5

⟺cos$\alpha $=0⟺α=$\frac{\pi }{2}$+k$\pi $,k∈Z. 

Mà 0$^{\circ}$≤α≤360$^{\circ}$

⇒α∈{90$^{\circ}$;270$^{\circ}$}

d) Với F=1, ta có: $\frac{1}{2}$(1-cos$\alpha $)=1

⟺cos$\alpha $=-1⟺α=$\pi $+k2$\pi $, k∈Z. 

Mà 0$^{\circ}$≤α≤360$^{\circ}$ 

⇒α=180$^{\circ}$.

4. PHƯƠNG TRÌNH TAN X = M

Hoạt động 4:

a) Quan sát Hình 1.24, ta thấy trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}$;$\frac{\pi }{2}$), đường thẳng y=1 cắt đồ thị hàm số y=tan x tại 1 điểm, điểm này có hoành độ x=$\frac{\pi }{4}$.

b) Từ câu a, ta suy ra phương trình tan x=1 có nghiệm là x=$\frac{\pi }{4}$ trên khoảng (-$\frac{\pi }{2}$;$\frac{\pi }{2}$).

Do hàm số tang có chu kì là nên công thức nghiệm của phương trình tan x =1 là: 

x=$\frac{\pi }{4}$+k$\pi $, k∈Z.

Kết luận:

+ Phương trìnhtan x =m có nghiệm với mọi m.

+ Với mọi m∈R, tồn tại duy nhất α∈(-$\frac{\pi }{2}$;$\frac{\pi }{2}$) thỏa mãn tan α=m . Khi đó:

tan x =m⟺tan x =tan$\alpha $   

⟺x=α+k$\pi $ (k∈Z).

Chú ý:

Nếu số đo của góc được cho bằng độ thì:

tantan x=tan$\alpha ^{\circ}$  ⟺x=$\alpha ^{\circ}$+k180$^{\circ}$, (k∈Z).  

Ví dụ 7: (SGK – tr.36).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.36).

Luyện tập 4

a) $\sqrt{3}$tan 2x =-1⟺tantan 2x =-$\frac{1}{\sqrt{3}}$

⟺tantan 2x =tantan (-$\frac{\pi }{6}$ ) 

⟺2x=-$\frac{\pi }{6}$+k$\pi $, k∈Z 

⟺x=-$\frac{\pi }{12}$+k$\frac{\pi }{2}$, k∈Z. 

b) tan 3x =-tan 5x

⟺ tan 3x =tan -5x

⟺3x=-5x+k$\pi $, (k∈Z) 

⟺x=k$\frac{\pi }{8}$, k∈Z .

5. PHƯƠNG TRÌNH COT X = M

a) Quan sát Hình 1.25, ta thấy trên khoảng (0; $\pi $), đường thẳng y=-1 cắt đồ thị hàm số y=cot x tại 1 điểm, điểm này có hoành độ x=-$\frac{\pi }{4}$+$\pi $=$\frac{3\pi }{4}$.

b) Từ câu a, ta suy ra phương trình cot x=–1 có nghiệm là x=$\frac{3\pi }{4}$ trên khoảng (0; $\pi $).

Do hàm số côtang có chu kì là , nên công thức nghiệm của phương trình cot x =–1 là 

x=$\frac{3\pi }{4}$+k$\pi $, k∈Z.

Kết luận:

+ Phương trình cot x=m có nghiệm với mọi m.

+ Với mọi m∈R, tồn tại duy nhất α∈(0;π) thỏa mãn cot =m. Khi đó:

cot x =m⟺cotcotx =cot cot$\alpha $ 

                  ⟺x=α+k$\pi $ k∈Z.

Chú ý:

Nếu số đo của góc được cho bằng độ thì:

cotx=cot$\alpha ^{\circ}$ ⟺x=$\alpha ^{\circ}$+k180$^{\circ}$, (k∈Z).  

Ví dụ 8: (SGK – tr.37).

cot u =cot v ⟺u=v+k$\pi $, ∈Z.

Luyện tập 5

a) cot x =1⟺cot x =cot$\frac{\pi }{4}$

⟺x=$\frac{\pi }{4}$+k$\pi $, k∈Z 

b) $\sqrt{3}$cot x +1=0⟺cot x =-$\frac{1}{\sqrt{3}}$

⟺cot x =cot (-$\frac{\pi }{3}$)  

⟺x=-$\frac{\pi }{3}$+k$\pi $, k∈Z.

6. SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY TÌM MỘT GÓC KHI BIẾT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA NÓ

Kết luận:

Để tìm số đo ta thực hiện các bước sau:

Bước 1. Chọn đơn vị đo góc (độ hoặc rad).

+ Muốn tìm số đo độ (dòng trên cùng của màn hình xuất hiện chữ nhỏ D), ta ấn phím:

SHIFT    MODE     3

+ Muốn tìm số đo rađian (dòng trên cùng của màn hình xuất hiện chữ nhỏ R), ta ấn phím:

SHIFT    MODE     4.

Bước 2. Tìm số đo góc.

Khi biết sin, côsin hay tang của góc cần tìm bằng m, ta lần lượt ấn các phím: SHIFT và một trong cac phím sin, cos và tan, rồi nhập giá trị lượng giác m và cuối cùng ấn phím =. Lúc này trên màn hình cho kết quả là số đo của góc (đọ hoặc rad).

Chú ý

+ Khi ở chế độ rađian, các phím () , () , cho kết quả là một số thuộc khoảng (-$\frac{\pi }{2}$;$\frac{\pi }{2}$), phím () cho kết quả là một số thực thuộc khoảng (0;π), tất nhiên với () và () thì |m|≤1.

+ Khi ở chế độ số đo độ, các phím () , () cho kết quả là số đo góc từ -90$^{\circ}$ đến 90$^{\circ}$, phím () cho kết quả là số đo góc từ 0$^{\circ}$ đến 180$^{\circ}$, với () và () thì |m|≤1.

+ Khi có kết quả (trường hợp chọn đơn vị đo độ), ấn phím .,,, thì đưa kết quả về dạng độ - phút – giây.

Ví dụ 9: (SGK – tr.38).

Hướng dẫn giải (SGK – tr.38).

Luyện tập 6

a) cos α =-0,75

+ Để tìm số đo độ của góc α, ta bấm phím như sau:

Màn hình hiện kết quả là: 138$^{\circ}$35'25,36''.

Vậy α ≈ 138$^{\circ}$35'26".

+ Để tìm số đo rađian của góc , ta bấm phím như sau:

Màn hình hiện kết quả là: 2,418858406.

Vậy α ≈ 2,41886 rad.

b) tan α=2,46

+ Để tìm số đo độ của góc , ta bấm phím như sau:

Màn hình hiện kết quả là: 67$^{\circ}$52'41,01".

Vậy α ≈ 67$^{\circ}$52'41".

+ Để tìm số đo rađian của góc α, ta bấm phím như sau:

Màn hình hiện kết quả là: 1,184695602.

Vậy α ≈ 1,1847 rad.

c) cot α=–6,18

+ Để tìm số đo độ của góc , ta bấm phím như sau:

Màn hình hiện kết quả là: – 9$^{\circ}$11'29,38".

Vậy α ≈ – 9$^{\circ}$11'30".

+ Để tìm số đo rađian của góc , ta bấm phím như sau:

Màn hình hiện kết quả là: –0,1604218219.

Vậy α ≈ – 0,16042 rad.