BÀI 8: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

1. ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

Bài 1: Em hãy vẽ một tam giác ABC trên giấy, sau đó dùng êke vẽ đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh B đến cạnh đối diện AC của tam giác.

Giải rút gọn:

Bài 2: Vẽ ba đường cao AH, BK, CE của tam giác nhọn ABC

Giải rút gọn:

Bài 3: Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh B của tam giác vuông ABC ( Hình 2a). Vẽ đường cao xuất phát từ đỉnh F của tam giác tù DEF ( Hình 2b).

Giải rút gọn:

a) BA là đường cao từ đỉnh B của Δ ABC (vì BA AC).

b) 

2. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC

Bài 1: Vẽ một tam giác rồi dùng êke vẽ ba đường cao của tam giác ấy (Hình 3). Em hãy quan sát và cho biết các đường cao vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không.

Giải rút gọn:

3 đường cao cùng đi qua một điểm.

Bài 2: Cho tam giác LMN có hai đường cao LP và MQ cắt nhau tại S (Hình 6). Chứng minh rằng NS vuông góc ML.

Giải rút gọn:

ΔLMN có : LP ∩ MQ = S => S là trực tâm => NS ⊥ ML

Bài 3: Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE, CF đồng quy tại trực tâm H. Tìm trực tâm của các tam giác HBC, HAB, HAC.

Giải rút gọn:

+) ∆ HAB có AE ⊥ BH , BD ⊥ AH , HF ⊥ AB ; AE, BD, HF giao nhau tại C

    => C là trực tâm 

+) ∆ HBC có CE ⊥ BH , BF ⊥ CH , HD ⊥ BC ; CE, BF, HD giao nhau tại A

    => A là trực tâm 

+) ∆ HAC có AF ⊥ CH , CD ⊥ AH , HE ⊥ AC ; AF, CD, HE giao nhau tại B

   => B là trực tâm 

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại A. Lấy điểm H thuộc cạnh AB. Vẽ HM vuông góc với BC tại M. Tia MH cắt tia CA tại N. Chứng minh rằng  CH vuông góc với NB.

Giải rút gọn:

+) ΔCNB có : NM ⊥ CB, BA ⊥ CN, NM ∩ BA = H 

=>H là trực tâm => CH ⊥ NB

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên tia BA lấy điểm M sao cho BM = BC. Tia phân giác của góc B cắt AC tại H. Chứng minh rằng MH vuông góc với BC.

Giải rút gọn:

Gọi  I = MH ∩ BC 

+) BM = BC , = , chung BH 

    => ∆BHM = ∆BHC (c.g.c) => =  

+) + =  + = 

+) ΔBMI có: + = => =  => MI ⊥ BC hay MH ⊥ BC

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Lấy điểm E thuộc cạnh AC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AE. Chứng minh rằng:

a) DE vuông góc với BC.

b) BE vuông góc với DC.

Giải rút gọn: 

a) Gọi DE ∩ BC = F

+) ∆ ABC vuông cân tại A => = = 45°

+) ∆ AED vuông cân tại A => = = 45° ; = = 45°( đối đỉnh)

+) ∆EFC có : = 180° - 45°.2 = 90° =>  EF ⊥ BC hay DE ⊥ BC.

b) ΔBDC có: DF ⊥ BC , CA ⊥ BD, DF ∩ CA = E => E là trực tâm => BE ⊥ CD.

Bài 4: Cho tam giác nhọn ABC có ba đường cao AD, BE, CF. Biết AD = BE = CF. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Giải rút gọn:

+)  chung , BE = CF => ∆EAB = ∆FAC ( góc nhọn – cạnh góc vuông)

=> AB = AC (1)

+) AD = CF , chung AC => ∆ADC = ∆CFA ( cạnh huyền – cạnh góc vuông)

=>   = => ∆ABC cân tại B => BA = BC (2)

Từ (1), (2) => AB = AC = BC => ∆ABC đều.