BÀI 7: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

1. ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

Bài 1: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.

Giải rút gọn:

Bài 2: Vẽ tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (hình 1).

Giải rút gọn:

Bài 3: a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).

b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác vuông MNP ( Hình 3).

c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.

Giải rút gọn:

a) 

b)

c)

2. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TUYẾN CỦA TAM GIÁC

Bài 1:a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện ( Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại. Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không 

b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF  của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt  nhau tại G . Tia AG cắt BC tại D. Em hãy quan sát và cho biết

• AD có phải đường trung tuyến của tam giác ABC không
• Các tỉ số…bằng bao nhiêu ?

Giải rút gọn:

a)

3 đường trung tuyến cùng đi qua một điểm.

b)

AD là đường trung tuyến của ΔABC

= = =

Bài 2: Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF và đường trung tuyến AM. Hãy tính các tỉ số…

Giải rút gọn:

a)  =                          b)  =                         c)  = 2

Bài 3:Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.

Giải rút gọn:

+) ΔABC có : = ;  =

+) ΔBCD có : = ;  =

+) OA = OD => AI = JD; IO = JO

+) IJ = IO + OJ = .OA + . OD = . OA => IJ = AI

=> AI = IJ = JD

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1:Quan sát Hình 8. Thay ? bằng số thích hợp

EG = .?. EM , GM = .?. EM,  GM = .?. EG,  

FG = .?. GN,  FN = .?. GN,  FN = .?. FG

Giải rút gọn:

EG = EM ; GM = EM; GM = GE

FG = 2GN ; FN = 3GN ; FN =  FG

Bài 2:Quan sát hình 9

a) Biết AM = 15 cm, tính AG

b) Biết GN = 6 cm, tính CN

Giải rút gọn:

a) AG = AM = . 15 = 10 (cm)

b) CN = 3.GN = 3.6 = 18 (cm)

Bài 3:Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia AM lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là trung điểm của BE, AI cắt BG tại F. Chứng minh AF = 2 FI.

Giải rút gọn: 

a) GM = EM ;  = ; MB = MC => ∆GMB = ∆EMC (c.g.c)

    =>  = mà 2 góc ở vị trí so le trong => BG // EC

b) +) AG = GE ( = 2.GE)

    +) ΔABE có 2 đường trung tuyến AI và BG ; AI ∩ BG = F

     => F là trọng tâm ΔABE => AF = 2.FI

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm BC.

Giải rút gọn:

a) +) AM = AC = AB = AN

    +) AM = AN ;  chung ; AB = AC 

    => ΔAMB = ΔANC (c.g.c) => MB = NC

b) ΔABC có BM ∩ CN = I => I là trọng tâm 

   => AH là trung tuyến => H là trung điểm BC

Bài 5: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng đường trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân

Giải rút gọn: 

+) Gọi  BM ∩ CN = O => O là trọng tâm  ΔABC

=> OB = MB ; OC = CN mà MB = CN 

=> OB = OC => ∆ OBC cân tại O => =

+) BM = CN ; = ; chung BC => ΔBCM = ΔCBN( c.g.c)

 => = => ∆ ABC cân tại A.

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có BE và CD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F ( Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF.

Giải rút gọn:

+) AE = AC = AB = AD

+) AE = AD ;  chung ; AB = AC 

     => ∆ AEB = ∆ADC( c.g.c) => BE = DC = 9 cm

+) ∆ABC có BE ∩ CD = F => F là trọng tâm => DF = DC = .9 = 3 (cm)