BÀI 5: ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

1. ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA MỘT ĐOẠN THẲNG

Bài 1: Lấy một mảnh giấy như trong hình 1a, gọi một mép cắt là đoạn thẳng AB. Sau đó gấp mảnh giấy sao cho điểm A trùng với điểm B ( hình 1b). Theo em nếp gấp xy có vuông góc với một đoạn AB tại trung điểm hay không?Tại sao ?

Giải rút gọn:

xy ⊥ AB tại trung điểm O.

Bài 2: Trong hình 4, hãy cho biết BD có là đường trung trực của đoạn thẳng AC hay không? Tại sao?

Giải rút gọn:

BC ⊥ AB; MM' // BC  MM' ⊥ AB hay MM' ⊥ AN

Chứng minh tương tự ta có : PP' ⊥ NB ; NN' ⊥ AB 

AM = MN M'M ⊥ AN MM' là đường trung trực của AN

Chứng minh tương tự ta có : PP' là đường trung trực của NB

                                             NN' là đường trung trực của AB.

Bài 3: Trong Hình 4, hãy cho biết BD có đường trung trực của đoạn thẳng AC hay không. Tại sao?

Giải rút gọn:

DA = DC, =  , chung DP => ΔADP = ΔCDP (c.g.c) =   

mà +  = 180° => =  = 90° DP ⊥ AC

Mà P là trung điểm của AC => DB là đường trung trực của AC

2. TÍNH CHẤT CỦA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC

Bài 1: Cho đoạn thẳng AB lấy O là trung điểm và d là đường trung trực. Lấy M tùy ý thuộc d ( Hình 5). Chứng minh rằng hai tam giác MOA và MOB bằng nhau, từ đó suy ra MA = MB.

Giải rút gọn:

OA = OB, chung OM => ∆AOM = ∆BOM (hai cạnh góc vuông) => AM = MB

Bài 2: Trong hình 8, cho biết d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d, MA = x + 2 và MB = 7. Tính x.

Giải rút gọn:

d là đường trung trực của AB => MA = MB => x + 2 = 7 => x = 5 

Bài 3: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước thẳng và compa theo hướng dẫn sau

• Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn 1/2 AB ( Hình 9a).
• Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính trên ( Hình 9b).
• Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N ( Hình 9c). Dùng thước vẽ đường thẳng MN.

Hãy chứng minh đường thẳng MN chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Giải rút gọn:

MA = MB M thuộc đường trung trực của AB

NA = NB  N thuộc đường trung trực của AB

MN là đường trung trực của AB.

BÀI TẬP CUỐI SGK

Bài 1: Hình 10 minh họa một tờ giấy có hình vẽ đường trung trực xy của đoạn thẳng AB mà hình ảnh điểm B bị nhòe mất. Hãy nêu cách xác định điểm B

Giải rút gọn:

Gọi AB ∩ xy = O

xy là trung trực của AB O là trung điểm của AB

Bài 2: Quan sát hình 11, cho biết M là trung điểm BC, AM vuông góc với BC và AB = 10 cm. Tính AC.

Giải rút gọn:

AM ⊥ BC ; M là trung điểm của BC AM là đường trung trực của BC

AB = AC = 10 cm

Bài 3: Quan sát hình 12, cho biết AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC và DB = DC = 8 cm. Chứng minh rằng 3 điểm A, M, D thẳng hàng.

Giải rút gọn:

+)  DB = DC = 8 cm D thuộc đường trung trực của BC

+) AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC

A, M, D cùng thuộc đường trung trực của AB A, M, D thẳng hàng.

Bài 4: Quan sát hình 13, biết AB = AC, DB = DC. Chứng minh rằng M là trung điểm của BC

Giải rút gọn: 

DB = DC D thuộc đường trung trực của BC

AB = AC A thuộc đường trung trực của BC

DA là đường trung trực của BC

Mà AD ∩ BC = M M cũng thuộc đường trung trực AD

MB = MC M là trung điểm của BC.      

Bài 5: Cho hai điểm M và N nằm trên đường trung trực d của đoạn thẳng EF.Chứng minh rằng ∆EMN = ∆FMN.

Giải rút gọn:

M, N nằm trên đường trung trực của EF => EM = FM , EN = FN

EM = FM , EN = FN , chung MN => ∆EMN = ∆FMN (c.c.c)

Bài 6: Trên bản đồ quy hoạch một khu dân cư có một con đường d và hai điểm dân cư A và B ( Hình 14 ). Hãy tìm bên đường một địa điểm M để xây dựng một trạm y tế sao cho trạm y tế cách đều hai điểm dân cư.

Giải rút gọn:

Gọi N là trung điểm của AB.

Qua N kẻ đường trung trực của đoạn thẳng AB, ∩ d = M

=> MN là đường trung trực của AB => MA = MB

Vậy vị trí điểm M = d ∩ đường trung trực của AB.