1. Đường trung trực của một đoạn thẳng

Hoạt động khám phá 1: Lấy một mảnh giấy như trong hình 1a, gọi một mép cắt là đoạn thẳng AB. Sau đó gấp mảnh giấy sao cho điểm A trùng với điểm B ( hình 1b). Theo em nếp gấp xy có vuông góc với một đoạn AB tại trung điểm hay không?Tại sao ?

Hướng dẫn giải:

xy ⊥ AB tại trung điểm O.

Thực hành 1: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh AB lấy các điểm M, N, P  và trên cạnh DC lấy các điểm M', N', P'. Cho biết AM = MN = NP= PB và MM', NN', PP' đều song song với BC ( Hình 3). Tìm đường trung trực của mỗi đoạn thẳng AB, AN và NB

Hướng dẫn giải:

• Có BC ⊥ AB

           MM' // BC  

=> MM' ⊥ AB hay MM' ⊥ AN

Tương tự ta có : NN' ⊥ AB , PP' ⊥ NB

• AM = MN=> M là trung điểm của AN. Mà M'M ⊥ AN

=> MM' là đường trung trực của AN

• NP = PB => P là trung điểm của NB. Mà PP' ⊥ NB

=> PP' là đường trung trực của NB

•  AM = MN = NP= PB => AN= NB => N là trung điểm của AB
• NN' ⊥ AB. N là trung điểm của AB => NN' là đường trung trực của AB.

Vận dụng 1: 

Trong hình 4, hãy cho biết BD có là đường trung trực của đoạn thẳng AC hay không? Tại sao?

Hướng dẫn giải:

Xét ∆APD và ∆CPD có :

AD = CD

DP chung

$\widehat{ADP}$ =  $\widehat{CDP}$ 

=> ∆APD = ∆CPD (g.c.g)

=> $\widehat{APD}$ =  $\widehat{CPD}$ 

mà $\widehat{APD}$ +  $\widehat{CPD}$ = 180°

=> 2 $\widehat{APD}$ = 180°

=> $\widehat{APD}$ = 90°

=> DP ⊥ AP hay DP ⊥ AC

Mà P là trung điểm của AC

=> DP là đường trung trực của AC, hay DB là đường trung trực của AC.

2. Tính chất của đường trung trực

Hoạt động khám phá 2: Cho đoạn thẳng AB lấy O là trung điểm và d là đường trung trực. Lấy M tùy ý thuộc d ( Hình 5). Chứng minh rằng hai tam giác MOA và MOB bằng nhau, từ đó suy ra MA = MB.

Hướng dẫn giải:

d là đường trung trực của AB tại điểm O => ∆MOA và ∆MOB là hai tam giác vuông tại O.

Xét ∆MOA và ∆MOB cùng vuông tại đỉnh O ta có:

MO chung

AO = OB ( O là trung điểm của AB)

=> ∆MOA = ∆MOB (hai cạnh góc vuông)

=> MA = MB.

Thực hành 2:

Trong hình 8, cho biết d là đường trung trực của đoạn thẳng AB, điểm M thuộc đường thẳng d, MA = x + 2 và MB = 7. Tính x.

Hướng dẫn giải:

M thuộc đường thẳng d mà d là đường trung trực của AB

=> MA = MB

=> x + 2 = 7 

<=> x = 7 - 2 = 5.

Vậy x = 5.

Vận dụng 2: Dựng đường trung trực của đoạn thẳng AB bằng thước thẳng và compa theo hướng dẫn sau

• Lấy A làm tâm vẽ cung tròn bán kính lớn hơn $\frac{1}{2}$ AB ( Hình 9a).
• Lấy B làm tâm vẽ cung tròn có bán kính bằng bán kính trên ( Hình 9b).
• Hai cung tròn này cắt nhau tại M và N ( Hình 9c). Dùng thước vẽ đường thẳng MN.

Hãy chứng minh đường thẳng MN chính là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Hướng dẫn giải:

Ta có M thuộc 2 đường tròn tâm A và B

Mà bán kính đường tròn tâm A bằng với bán kính đường tròn tâm B

=> MA = MB

=> M cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng B

=> M thuộc đường trung trực của AB

Tương tự ta có NA = NB

=> N cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng AB

=> N thuộc đường trung trực của AB

=> MN là đường trung trực của AB.