1. Hai tam giác bằng nhau

Hoạt động khám phá 1: Dùng kéo cắt một tờ giấy thành hình tam giác ABC. Đặt tam giác ABC lên tờ giấy thứ hai. Vẽ và cắt theo các cạnh của tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Hãy so sánh các cạnh và các góc của hai tam giác ABC và A'B'C'.

Hướng dẫn giải:

AB = A'B'; AC = A'C'; BC = B'C'

$\widehat{A} = \widehat{A'}$

$\widehat{B} = \widehat{B'}$

$\widehat{C} = \widehat{C'}$.

Thực hành 1: Quan sát hình 4. Hai tam giác ABC và MNP có bằng nhau không? Hãy chỉ ra các cặp góc và các cặp cạnh tương ứng bằng nhau

Hướng dẫn giải:

$ \triangle  ABC= \triangle MNP$ vì có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

AB = MN; AC = MP; BC = NP.

$\widehat{A} = \widehat{M}$

$\widehat{B} = \widehat{N}$

$\widehat{C} = \widehat{P}$ 

(Vì $\widehat{C}=180^{o}-\widehat{A}-\widehat{B};    \widehat{P}=180^{o}-\widehat{M}-\widehat{N}$).

Vận dụng 1: Trong Hình 5, cho biết $ \triangle  GHI= \triangle MNP$. Hãy tính số đo góc M và độ dài cạnh GI.

Hướng dẫn giải:

+) Xét tam giác GHI có: $\widehat{G}=180^{o}-62^{o}-43^{o}=75^{o}$.

+) Vì $ \triangle  GHI= \triangle MNP$, nên

$\widehat{G}= \widehat{M}=45^{o}$.

GI = MP = 5 cm.

2. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác

Hoạt động khám phá 2: Cho tam giác ABC như trong Hình 6a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có ba cạnh bằng ba cạnh của tam giác ABC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B'C' = CB

- Vẽ cung tròn tâm B' có bán kính bằng BA, vẽ cung tròn tâm C' có bán kính bằng CA

- Hai cung tròn trên cắt nhau tại A'

- Vẽ các đoạn thẳng B'A', C'A', ta được tam giác A'B'C'(Hình 6b).

Em hãy cắt rời tam giác A"B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không. Theo em hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Hướng dẫn giải:

Theo em hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Hoạt động khám phá 3: Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có $\widehat{B} = \widehat{B'}$, B'A' = BA, B'C' = BC theo các bước:

- Vẽ $\widehat{xB'y} = \widehat{ABC}$

- Trên tia B'x lấy đoạn B'A' = BA

- Trên tia B'y lấy đoạn B'C' = BC

- Vẽ đoạn A'C', ta được tam giác A'B'C' (Hình 8b)

Em hãy cắt rời tam giác A'B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không? Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không? 

Hướng dẫn giải:

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Hoạt động khám phá 4: Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có $\widehat{B} = \widehat{B'}$, B'A' = BA, B'C' = BC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B'C"' = BC

- Ở về cùng một phía của tờ giấy đối với đường thẳng B'C' vẽ $\widehat{C'B'x} = \widehat{CBA}$ và vẽ $\widehat{B'C'y} = \widehat{BCA}$

- Vẽ giao điểm A' của hai tia B'x và C'y ta được tam giác A'B'C' Em hãy cắt rời tam giác A'B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không.

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Hướng dẫn giải:

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Thực hành 2: Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.

Hướng dẫn giải:

a) Xét $\triangle NMQ$ và $\triangle PQM$ có:

MN = PQ

NQ = PM

MQ chung

Suy ra $\triangle NMQ$ = $\triangle PQM$ (c.c.c).

b) Xét $\triangle GHK $ và $\triangle KIG$ có:

GH = KI

$\widehat{HGK} = \widehat{IKG}$

GK chung

Suy ra  $\triangle GHK $ = $\triangle KIG$ (c.g.c).

c)  Ta có: $\widehat{ABD}=180^{o}-\widehat{ABE}$ (hai góc kề bù)

$\widehat{ACE}=180^{o}-\widehat{ACD}$ (hai góc kề bù)

Mà $\widehat{ABE}=\widehat{ACD}$

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$.

+) Xét $\triangle ABD $ và $\triangle ACE$ có:

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

DB = CE

$\widehat{D}=\widehat{E}$

Suy ra  $\triangle ABD $ = $\triangle ACE$ (g.c.g).

Thực hành 3: Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a, b) có bằng nhau không? Vì sao?

Hướng dẫn giải:

a. Xét $\Delta ACB$ và $\Delta ECD$ có

AC = EC

$\widehat{ACB} = \widehat{ECD}$

BC = CD

Suy ra $\Delta ACB = \Delta ECD$ (c.g.c)

b. Hai tam giác trong mỗi hình 14b không bằng nhau vì các cạnh tương ứng của tam giác không bằng nhau.

Vận dụng 2: Nêu thêm điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 15a, b) bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.

Hướng dẫn giải:

a) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố:

+ Trường hợp 1: $\widehat{ABD} = \widehat{CBD}$

+ Trường hợp 2: AD = CD.

b) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố: KN = MN.

Vận dụng 3: Cho $\widehat{xOy}$. Vẽ cung tròn tâm O, cung này cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Vẽ hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại điểm P nằm trong $\widehat{xOy}$. Nối O với P (Hình 16). Hãy chứng minh rằng $\Delta OMP = \Delta ONP$, từ đó suy ra OP là tia phân giác của $\widehat{xOy}$.

Hướng dẫn giải:

Cung tròn tâm O, cắt Ox, Oy theo thứ tự M, N nên OM = ON.

Hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính cắt nhau tại điểm P nên MP = NP.

Xét $\Delta OMP$ và $\Delta ONP$ có:

OM = ON

MP = NP

OP chung

Suy ra $\Delta OMP $ = $\Delta ONP$ (c.c.c).

Suy ra: $\widehat{MOP} = \widehat{NOP}$, từ đó OP là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

3. Các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông

Hoạt động khám phá 5: Hãy nêu các trường hợp bằng nhau cho mỗi cặp tam giác trong Hình 17.

Hướng dẫn giải:

a) Xét $\Delta ABC $ và $\Delta DEF$ có:

AB = DE

 $\widehat{A} = \widehat{D}=90^{o}$

AC = DF.

Suy ra $\Delta ABC $ = $\Delta DEF$ (c.g.c).

b) Xét $\Delta ABC $ và $\Delta PQR$ có:

$\widehat{B} = \widehat{Q}$

BC = QR

$\widehat{C} = \widehat{R}$ (vì $\widehat{C} = 90^{o} - \widehat{B}$; $\widehat{R} = 90^{o} - \widehat{Q}$, mà $\widehat{B}$ = $\widehat{Q}$).

Suy ra $\Delta ABC $ = $\Delta PQR$ (g.c.g).

c) Xét $\Delta ABC $ và $\Delta HGK$ có:

$\widehat{C} = \widehat{G}$

AC = HG

$\widehat{A} = \widehat{H}=90^{o}$

Suy ra $\Delta ABC $ = $\Delta HGK$ (g.c.g).

Thực hành 4: Tìm các tam giác vuông bằng nhau trong mỗi hình bên (Hình 19)

Hướng dẫn giải:

a) Xét $\Delta NMP$ vuông tại N và $\Delta PQN$ vuông tại P có:

NP chung

NM = PQ

Suy ra $\Delta NMP$ = $\Delta PQN$ theo trường hợp hai cạnh góc vuông.

b) Xét $\Delta ABH$ và $\Delta KBH$ cùng vuông tại H có:

BH chung

$\widehat{ABH} = \widehat{KBH}$

Suy ra $\Delta ABH$ = $\Delta KBH$ theo trường hợp cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy.

Hoạt động khám phá 6: Cho tam giác ABC vuông tại A trong Hình 20a. Vẽ lên tờ giấy tam giác vuông A'B'C' có cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác ABC như sau:

- Vẽ góc vuông xA'y, trên cạnh A'y vẽ đoạn A'C' = AC

- Vẽ cung tròn tâm C' bán kính bằng BC cắt A'x tại B' Cắt rời tam giác A'B'C'.

Em hãy cho biết có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia hay không? 

Hướng dẫn giải:

Có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia.

Thực hành 5: Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 22 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào?

Hướng dẫn giải:

+) Xét $\Delta ABD$ vuông tại B và  $\Delta ACD$ vuông tại C có cạnh huyền AD chung và $\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$.

Suy ra $\Delta ABD = \Delta ACD$ (cạnh huyền và một góc nhọn).

+) Xét $\Delta ACE$ vuông tại C và $ \Delta ABH$ vuông tại B có: 

AB = AC (vì $\Delta ABD = \Delta ACD$)

$\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$.

Suy ra $\Delta ACE = \Delta ABH$ (một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy).

+) Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ADH$ có:

AE = AH (vì $\Delta ACE = \Delta ABH$)

$\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$

AD chung

Suy ra  $\Delta ADE$ = $\Delta ADH$ (c.g.c).

+) Xét $\Delta BDE$ vuông tại B và $\Delta CDH$ vuông tại C có:

BD = DC

DE = DH

Suy ra $\Delta BDE$ = $\Delta CDH$ (cạnh huyền và một cạnh góc vuông).