CHƯƠNG 8: TAM GIÁC

BÀI 2: TAM GIÁC BẰNG NHAU

1. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU

Bài 1: Dùng kéo cắt một tờ giấy thành hình tam giác ABC. Đặt tam giác ABC lên tờ giấy thứ hai. Vẽ và cắt theo các cạnh của tam giác ABC thành tam giác A'B'C'. Hãy so sánh các cạnh và các góc của hai tam giác ABC và A'B'C'.

Giải nhanh:

AB = A'B'; AC = A'C'; BC = B'C'; ;

Bài 2: Quan sát hình 4. Hai tam giác ABC và MNP có bằng nhau không? Hãy chỉ ra các cặp góc và các cặp cạnh tương ứng bằng nhau

Giải nhanh:

AB = MN; AC = MP; BC = NP.; ;

Bài 3: Trong Hình 5, cho biết △GHI=△MNP. Hãy tính số đo góc M và độ dài cạnh GI.

Giải nhanh:

+) Xét tam giác GHI có: .

+) Vì , nên và GI = MP = 5 cm

2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC

Bài 1: Cho tam giác ABC như trong Hình 6a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có ba cạnh bằng ba cạnh của tam giác ABC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B'C' = CB

- Vẽ cung tròn tâm B' có bán kính bằng BA, vẽ cung tròn tâm C' có bán kính bằng CA

- Hai cung tròn trên cắt nhau tại A'

- Vẽ các đoạn thẳng B'A', C'A', ta được tam giác A'B'C'(Hình 6b).

Em hãy cắt rời tam giác A"B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không. Theo em hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Giải nhanh:

tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Bài 2: Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có ba cạnh bằng ba cạnh của tam giác ABC, B'A' = BA, B'C' = BC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B’C’ = BC

- Trên tia B'x lấy đoạn B'A' = BA

- Trên tia B'y lấy đoạn B'C' = BC

- Vẽ đoạn A'C', ta được tam giác A'B'C' (Hình 8b)

Em hãy cắt rời tam giác A'B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không? Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không? 

Giải nhanh:

hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Bài 3: Cho tam giác ABC như trong Hình 8a. Lấy một tờ giấy, trên đó vẽ tam giác A'B'C' có Bˆ=B′ˆ, B'A' = BA, B'C' = BC theo các bước:

- Vẽ đoạn thẳng B'C"' = BC

- Ở về cùng một phía của tờ giấy đối với đường thẳng B'C' vẽ C′B′xˆ=CBAˆ và vẽ B′C′yˆ=BCAˆ

- Vẽ giao điểm A' của hai tia B'x và C'y ta được tam giác A'B'C' Em hãy cắt rời tam giác A'B'C' ra khỏi tờ giấy vừa vẽ và thử xem có thể đặt chồng khít tam giác A'B'C' lên tam giác ABC hay không.

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này có bằng nhau hay không?

Giải nhanh:

hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

Bài 4: Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong hình 13 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào.

Giải nhanh:

a) Xét và có: MN = PQ; NQ = PM; MQ chung

Suy ra = (c.c.c).

b) Xét và có: GH = KI; ; GK chung

Suy ra  = (c.g.c).

c)  Ta có: (hai góc kề bù)

(hai góc kề bù)

Mà Suy ra .

+) Xét và có: ; DB = CE;

Suy ra  = (g.c.g).

Bài 5: Hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 14a, b) có bằng nhau không? Vì sao?

Giải nhanh:

Bài 6: Nêu thêm điều kiện để hai tam giác trong mỗi hình bên (Hình 15a, b) bằng nhau theo trường hợp cạnh - góc - cạnh.

Giải nhanh:

a) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố:

+ Trường hợp 1:                               + Trường hợp 2: AD = CD.

b) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần: KN = MN.

Bài 7: Cho góc xOy.Vẽ cung tròn tâm O, cung này cắt Ox, Oy theo thứ tự tại M, N. Vẽ hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại điểm P nằm trong góc xOy. Nối O với P (Hình 16). Hãy chứng minh rằng ΔOMP=ΔONP, từ đó suy ra OP là tia phân giác của xOy

Giải nhanh:

Cung tròn tâm O, cắt Ox, Oy theo thứ tự M, N nên OM = ON.

Cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính cắt nhau tại điểm P nên MP = NP.

Xét và có: OM = ON; MP = NP; OP chung

=> = (c.c.c). => , OP là tia phân giác của góc .

3. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG

Bài 1: Hãy nêu các trường hợp bằng nhau cho mỗi cặp tam giác trong Hình 17.

Giải nhanh:

Bài 2: Tìm các tam giác vuông bằng nhau trong mỗi hình bên (Hình 19)

Giải nhanh:

a) Xét vuông tại N và vuông tại P có: NP chung’ NM = PQ

vuông = (cgv-cgv)

b) Xét và cùng vuông tại H có: BH chung;

Suy ra =

Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A trong Hình 20a. Vẽ lên tờ giấy tam giác vuông A'B'C' có cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác ABC như sau:

- Vẽ góc vuông xA'y, trên cạnh A'y vẽ đoạn A'C' = AC

- Vẽ cung tròn tâm C' bán kính bằng BC cắt A'x tại B' Cắt rời tam giác A'B'C'.

Em hãy cho biết có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia hay không? 

Giải nhanh:

Có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia.

Bài 4: Hãy chỉ ra các cặp tam giác bằng nhau trong Hình 22 và cho biết chúng bằng nhau theo trường hợp nào?

Giải nhanh:

+) Xét vuông B;tam giác ACD vuông C: cạnh huyền AD chung’ .

(ch-gn).

+) Xét vuông tại C và tam giác ABH vuông tại B có:  AB = AC; .

+) Xét và có: AE = AH ; ; AD chung

  = (c.g.c).

+) Xét vuông tại B và vuông tại C có: BD = DC; DE = DH

= (ch-cgv).

BÀI TẬP

Bài 1: Quan sát Hình 23 rồi thay dấu ? bằng tên tam giác thích hợp.

a. ΔABE=Δ?                  b. ΔEAB=Δ?                 c. Δ?=ΔCDE

Giải nhanh:

Bài 3: Cho hai tam giác bằng nhau ABC và DEF (các đỉnh viết chưa tương ứng), trong đó A=E; C=D. Tìm các cặp cạnh bằng nhau, cặp góc tương ứng bằng nhau còn lại.

Giải nhanh:

, , .

=> AB = EF, BC = FD, AC = ED.

Bài 4: Cho biết ΔMNP=ΔDEF và MN = 4cm, MP = 5cm, EF = 6cm. Tính chu vi tam giác MNP

Giải nhanh:

Vì   nên NP = EF = 6cm.

Chu vi MNP là: MN + MP + NP = 4 + 5 + 6 = 15 (cm)

Bài 5: Cho đoạn thẳng AB có O là trung điểm. Vẽ hai đường thẳng m và n lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Lấy điểm C trên m, CO cắt n tại D (hình 24). Chứng minh rằng O là trung điểm của CD.

Giải nhanh:

Xét vuông tại A và  vuông tại B có:; AO = OB

Suy ra (cạnh góc vuông và góc nhọn).

=> OC = OD mà 3 điểm O, C, D thẳng hàng=> O là trung điểm của CD.

Bài 6: Cho hình 25 có EF = HG, EG = HF.

Chứng minh rằng:         a. ΔEFH=ΔHGE           b. EF // HG

Giải nhanh:

a) Xét và có: EH chung; GH = EF; GE = HF

(c.c.c)

b) Theo a:  nên mà hai góc này ở vị trí so le trong 

 EF // HG

Bài 7: Cho tam giác FGH có FG = FH. Lấy điểm I trên cạnh GH sao cho FI là tia phân giác của GFH. Chứng minh rằng hai tam giác FIG và FIH bằng nhau

Giải nhanh:

Xét ΔFGI và ΔFHI có: FI chung; Góc GFI = Góc HFI; FG = FH

Suy ra ΔFGI = ΔFHI (c.g.c).

Bài 8: Cho góc xOy. Lấy hai điểm A, B thuộc tia Ox sao cho OA < OB. Lấy hai điểm C, D thuộc tia Oy sao cho OC = OA, OD = OB. Gọi E là giao điểm AD và BC. Chứng minh rằng:

a) AD = BC.

b) ΔEAB=ΔECD.

c) OE là tia phân giác của góc xOy

Giải nhanh:

a) Xét ΔAOD và ΔCOB có: AO = CO; chung; OD = OB

= (c.g.c).=> AD = BC.

b) + ΔODA=ΔOBC nên Mà

Ta lại có: OA = OC và OB = OD OB - OA = OD – OC AB = CD

+ Xét và ta có: ; AB = CD;  

Suy ra (g.c.g)

c) Xét và có: OE chung; OB = OD; EB = ED (vì )

 = nên . OE là tia phân giác góc xOy

Bài 9: Đặt tên cho một số điểm có trong Hình 26 và chỉ ra ba cặp tam giác bằng nhau trong hình đó.

Giải nhanh:

.