CHƯƠNG 8: TAM GIÁC

BÀI 9: TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

1. ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Bài 1: Vẽ và cắt hình tam giác ABC rồi gấp hình sao cho cạnh AB trùng với cạnh AC ta được nếp gấp AD (Hình 1). Đoạn thẳng AD nằm trên tia phân giác của góc nào trong tam giác ABC.

Giải nhanh:

AD nằm trên tia phân giác của

Bài 2: Trong Hình 3, hãy vẽ các đường phân giác GM, EN và FP của tam giác EFG. 

Giải nhanh:

2. TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA TAM GIÁC

Bài 1: Vẽ một tam giác trên giấy. Cắt rời tam giác ra khỏi tờ giấy rồi gấp hình tam giác đó để xác định ba đường phân giác của tam giác (Hình 4). Em hãy quan sát và nhận xét xem ba đường phân giác có cùng đi qua một điểm hay không ? 

Giải nhanh:

Ba đường phân giác có cùng đi qua một điểm.

Bài 2: Một nông trại nằm trên mảnh đất hình tam giác có ba cạnh tường rào tiếp giáp với ba con đường ( Hình 7). Hỏi phải đặt trạm quan sát ở đâu để nó cách đều ba cạnh tường rào?

Giải nhanh:

Gọi mảnh đất hình tam giác có 3 đỉnh là A, B, C và AB, AC, BC là 3 cạnh tường rào. Gọi vị trí đặt trạm quan sát là I.

Do trạm quan sát cách đều ba cạnh tường rào nên điểm I cách đều ba cạnh AB, AC, BC.=> I là giao của ba đường phân giác trong tam giác ABC.

BÀI TẬP

Bài 1: Trong hình 8, I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

a) Cho biết IM = 6 ( Hình 8a). Tính IK và IN.

b) Cho biết IN = x + 3, IM = 2x -3 ( Hình 8b). Tìm x.

Giải nhanh:

a) I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC

IM = IN =IK mà IM = 6 IN = IK = 6.

b) I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC.

IM = IN  2x - 3 = x + 3 x = 6.

Bài 2: Trong hình 8, I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

a) Cho biết IM = 6 ( Hình 8a). Tính IK và IN.

b) Cho biết IN = x + 3, IM = 2x -3 ( Hình 8b). Tìm x.

Giải nhanh:

+ Xét ABM và ACM có: AB = AC; BM = CM; AM chung

=> ABM =ACM (c.c.c)=>

=>AM là tia phân giác của tam giác ABC.

+ Xét tam giác ABC có: BI và AM là hai tia phân giác.

Mà BI và AM cắt nhau tại I => I là giao của ba đường phân giác tam giác ABC.

=>CI là tia phân giác của góc C.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại M. Tia AM cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC. 

Giải nhanh:

M là giao điểm của 2 tia phân giác của và trong ∆ABC

=> AM là phân giác của => = 

+ Xét ∆ ABH và ∆ ACH có AB = AC; = ; AH chung

=> ∆ABH = ∆ACH (c.g.c) => HB = HC => H là trung điểm của BC.

Bài 4: Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.

Giải nhanh:

+ MN // EF => MI // EF =>  = (2 góc so le trong)

Mà  = (EI là đường phân giác của )

=>  = => ∆MEI cân tại M  => ME = MI.

+ IF là đường phân giác của => =

IN // EF => = (hai góc so le trong) => =

=> ∆ NIF cân tại N => NI = NF

+ Có MI + NI = MN; MI = ME; NI = NF => ME + NF = MN.

Bài 5: Cho tam giác ANM vuông tại A. Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I. Tia MI cắt AN tại R. Kẻ RT vuông góc với AI tại T. Chứng minh rằng AT = RT.

Giải nhanh:

+ Xét ∆AMN có: I là giao điểm của hai đường phân giác của góc  và góc  => AI là tia phân giác của trong tam giác AMN.

=> =  = 1/2 =  1/2 90°= 45°

+ Xét ∆ART vuông tại T  => = 90° - 45°= 45° => =

=> ∆ART vuông cân tại T. => AT = RT.

Bài 6: Ba thành phố A, B, C được nối với nhau bởi ba xa lộ ( Hình 9 ). Người ta muốn tìm một địa điểm để làm một sân bay sao cho điịa điểm này phải cách đều ba xa lộ đó. Hãy xác định vị trí của sân bay thảo mãn điều kiện trên và giải thích cách thực hiện

Giải nhanh:

Theo như hình vẽ, 3 xa lộ sẽ ứng với 3 cạnh AB, AC,CB của tam giác ABC.

Gọi vị trí của sân bay là điểm I.

Theo đề bài sân bay cách đều 3 xa lộ nên điểm I cách đều 3 cạnh AB, AC, BC.

Suy ra I là giao 3 đường phân giác của tam giác ABC.