CHƯƠNG 8: TAM GIÁC

BÀI 3: TAM GIÁC CÂN

1. TAM GIÁC CÂN

Bài 1: Gấp đôi một tờ giấy hình chữ nhật ABCD theo đường gấp MS. Cắt hình gấp được theo đường chéo AS rồi trải phẳng hình cắt được ra ta có tam giác SAB (Hình 1). Em hãy so sánh hai cạnh SA và SB của tam giác này.

Giải nhanh:

SA = SB.

Bài 2: Tìm các tam giác cân trong Hình 4. Kể tên các cạnh bên, cạnh đáy, góc ở đỉnh, góc ở đáy của mỗi tam giác cân đó.

Giải nhanh:

2. TÍNH CHẤT CỦA TAM GIÁC CÂN

Bài 1: Cho tam giác cân ABC cân tại A (Hình 5). Gọi M là trung điểm cạnh BC. Nối A với M. Em hãy làm theo gợi ý sau để chứng minh ABC = ACB

Xét ΔAMB và ΔAMC có:

AB = ? (?)

MB = MC (?)

AM là cạnh ?

Vậy ΔAMB=ΔAMC (c.c.c).

Suy ra ABC = ACB

Giải nhanh:

Xét và có: AB = AC; MB = MC; AM là cạnh góc vuông

Vậy (c.c.c).

Bài 2:  Tìm số đo các góc chưa biết của mỗi tam giác trong Hình 7.

Giải nhanh:

Tam giác MNP có MN = MP nên ΔMNP cân tại M.

=> =>

b) EF = FH nên ΔEFH cân tại E.=> .

Bài 3: Trong hình mái nhà ở Hình 8, tính góc B và góc C, biết A=110

Giải nhanh:

Tam giác ABC có AB = AC nên ΔABC cân tại A. =>  ==(180⁰−110⁰):2=35⁰.

Bài 4: Cho tam giác ABC có A=C. Vẽ đường thẳng đi qua điểm B, vuông góc với AC và cắt AC tại H (Hình 9). Em hãy làm theo gợi ý sau để chứng minh BA = BC.

Giải nhanh:

Xét ΔAHB và ΔCHB vuông tại H, ta có: BH là cạnh góc vuông  

VậyΔAHB=ΔCHB. Suy ra BA = BC.

Bài 5: Tìm các tam giác cân trong Hình 11 và đánh dấu các cạnh bằng nhau.

Giải nhanh:

ΔABC cân tại A, ΔMNPcân tại N

Bài 6: Cho tam giác ABC cân tại A có góc B bằng 60o. Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Giải nhanh:

+) Vì ΔABC có AB = AC nên ΔABC cân tại A. =>.

=>

+) . => cân tại B => BA = BC

Theo chứng minh trên: AB = AC = BC => tam giác đều.

BÀI TẬP

Bài 1: Tìm các tam giác cân và tam giác đều trong mỗi hình sau (Hình 13). Giải thích.

Giải nhanh:

a. ΔABMđều vì AB = AM = BM; ΔAMCcân tại M vì AM= MC

b. ΔEHFcân tại E vì EH = EF

ΔEDGđều vì: ED = EG = DG;            ΔEDHcân tại D vì DE = DH

ΔEGFcân tại G vì GE = GF

Bài 2: Cho hình 14, biết ED = EF và EI là tia phân giác của DEF

Chứng minh rằng:

a. ΔEID=ΔEIF                        b. Tam giác DIF cân.     

Giải nhanh:

a. Xét và có: EI chung; ; DE = EF.=> =  

b. Vì (chứng minh trên)=> ID = IF=> Tam giác DIF cân tại I.

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A có A=56

a. Tính góc B, C

b. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC. Chứng minh tam giác AMN cân.

c. Chứng minh rằng MN // BC.

Giải nhanh:

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A (hình 16). Tia phân giác của góc B cắt AC tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

a) Chứng minh rằng ABF=ACE

b) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tam giác IBC và tam giác IEF là những tam giác cân.

Giải nhanh:

a) Vì tam giác ABC cân tại A =>

Mà ;  => .

b) Xét tam giác và có: chung; AB = AC;  

=> = (g.c.g) =>AE = AF  => Tam giác AEF cân tại A.

c) +) Chứng minh tương tự câu a ta có: .

Xét tam giác IBC có:  => cân tại I.

+) cân tại I nên IB = IC; = nên BF = CE

Ta có: IE = CE - IC; IF = BF – BI => IE = IF => cân tại I.

Bài 5: Phần thân của một móc treo quần áo có dạng hình tam giác cân (Hình 17a) được vẽ lại như Hình 17b. Cho biết AB = 20cm; BC = 28cm và...Tìm số đo các góc còn lại và chu vi của tam giác ABC.

Giải nhanh:

Vì tam giác ABC cân tại A => AB = AC = 20cm;

=>

Chu vi tam giác ABC = AB + AC + BC = 20 + 20 + 28 = 68 (cm).

Bài 6: Một khung cửa sổ hình tam giác có thiết kế như Hình 18a được vẽ lại như Hình 18b

a. Cho biết A1=42 Tính số đo của góc M1;B1;M2

b. Chứng minh MN // BC, MP // AC.

c. Chứng minh bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.

Giải nhanh:

a) Vì AM = AN Tam giác AMN cân tại A .

+ Trong tam giác ABC có AB = BC 

Tam giác ABC cân tại A .

+ Trong tam giác MBP có MB = MP Tam giác MBP cân tại M 

b) + Vì mà 2 góc này ở vị trí đồng vị MN // BC

+ Ta có:  mà hai góc ở vị trí đồng vị MP // AC.

c) + Xét và có: AM = MB; ; AN = MP

=> = (c.g.c).

+ Xét và có: PM = NP; ; PN = NC

=> = (c.g.c)

+ Xét và có: MN chung PM = AM; PN = AN

=> = (c.c.c).

Vậy bốn tam giác cân AMN, MBP, PMN, NPC bằng nhau.