1. HAI TAM GIÁC BẰNG NHAU 

HĐKP1:

AB = A'B'; AC = A'C'; BC = B'C'

$\widehat{A}=\widehat{A'}$

$\widehat{B}=\widehat{B'}$

$\widehat{C}=\widehat{C'}$

=> Kết luận:

Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

Hai tam giác ABC và DEF bằng nhau được kí hiệu là △ABC=△DEF.

* Chú ý:

- Khi vẽ hình hai tam giác bằng nhau, các cạnh hoặc các góc bằng nhau được đánh dấu bởi những kí hiệu giống nhau.

Ví dụ 1: SGK-tr49

* Chú ý:

- Khi dùng kí hiệu hai tam giác bằng nhau, ta phải viết các đỉnh tương ứng theo cùng thứ tự. 

Thực hành 1.

 △ABC=△MNP vì có các cạnh tương ứng bằng nhau, các góc tương ứng bằng nhau.

AB = MN; AC = MP; BC = NP.

$\widehat{A}=\widehat{M}$

$\widehat{B}=\widehat{N}$

$\widehat{C}=\widehat{P}$

( Vì $\widehat{C}=180°-\widehat{A}-\widehat{B},\widehat{P}=180°-\widehat{M}-\widehat{N}$ )

Vận dụng 1.

+) Xét tam giác GHI có: 

$\widehat{G}=180°-62°-43°=75°$

+) Vì △ GHI=△MNP, nên

$\widehat{G}=\widehat{M}=45°$

GI = MP = 5 cm.

2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC

Trường hợp bằng nhau thứ nhất: cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c)

HĐKP2: SGK-tr50

Theo em hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

=> Kết luận:

Nếu ba cạnh của tam giác này bằng ba cạnh của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ 2: SGK – tr50

Trường hợp bằng nhau thứ hai: cạnh – góc – cạnh (c.g.c)

HĐKP3:

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

=> Kết luận:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Ví dụ 3: SGK - tr51

Trường hợp bằng nhau thứ hai: cạnh – góc – cạnh (c.c.c)

HĐKP3:

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

=> Kết luận:

Nếu hai cạnh và góc xen giữa của tam giác này bằng hai cạnh và góc xen giữa của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Trường hợp bằng nhau thứ ba: góc - cạnh – góc (g.c.g)

HĐKP4:

Theo em, hai tam giác ABC và A'B'C' trong trường hợp này bằng nhau.

=> Kết luận:

Nếu một cạnh và hai góc kề của tam giác này bằng một cạnh và hai góc kề của tam giác kia thì hai tam giác đó bằng nhau.

Tóm lại, ta có các trường hợp bằng nhau của hai tam giác:

+ TH1:  Cạnh – cạnh – cạnh (c.c.c):

+ TH2: cạnh - góc – cạnh (c.g.c)

+ TH3: góc – cạnh – góc (g.c.g)

Thực hành 2:

a) Xét △NMQ và △PQM có:

MN = PQ

NQ = PM

MQ chung

Suy ra △NMQ = △PQM (c.c.c).

b) Xét △GHK và △KIG có:

GH = KI

$\widehat{HGK}=\widehat{IKG}$

GK chung

Suy ra  △GHK = △KIG (c.g.c).

c)  Ta có: $\widehat{ABD}=180-\widehat{ABE}$ (hai góc kề bù)

$\widehat{ACE}=180-\widehat{ACD}$ (hai góc kề bù)

Mà $\widehat{ABE}=\widehat{ACD}$

Suy ra $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

+) Xét △ABD và △ACE có:

$\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$

DB = CE

$\widehat{D}=\widehat{E}$

Suy ra  △ABD = △ACE (g.c.g).

Thực hành 3:

a) Xét △ACB và △ECD có

AC = EC

$\widehat{ACB}=\widehat{ECD}$

BC = CD

Suy ra △ACB =△ECD(c.g.c)

b) Hai tam giác trong mỗi hình 14b không bằng nhau vì các cạnh tương ứng của tam giác không bằng nhau.

Vận dụng 2:

a) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố:

+ Trường hợp 1: $\widehat{ABD}=\widehat{CBD}$

+ Trường hợp 2: AD = CD.

b) Để hai tam giác bằng nhau theo trường hợp c.g.c thì cần thêm yếu tố: KN = MN.

Vận dụng 3:

Cung tròn tâm O, cắt Ox, Oy theo thứ tự M, N nên OM = ON.

Hai cung tròn tâm M và tâm N có cùng bán kính cắt nhau tại điểm P nên MP = NP.

Xét ΔOMP và ΔONP có:

OM = ON

MP = NP

OP chung

Suy ra ΔOMP = ΔONP (c.c.c).

Suy ra: $\widehat{MOP}=\widehat{NOP}$, từ đó OP là tia phân giác của góc $\widehat{xOy}$.

3. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG

Vận dụng các trường hợp bằng nhau của hai tam giác 

HĐKP5:

a) Xét ΔABC và ΔDEF có:

AB = DE

$\widehat{A}=\widehat{D}=90°$

AC = DF.

=> ΔABC = ΔDEF (c.g.c).

b) Xét ΔABC và ΔPQR có:

$\widehat{B}=\widehat{Q}$

BC = QR

$\widehat{C}=\widehat{R}$

(vì $\widehat{C}=90°-\widehat{B},\widehat{R}=90°-\widehat{Q}$, mà $\widehat{B}=\widehat{Q}$).

=> ΔABC = ΔPQR(g.c.g)

c) Xét ΔABC và ΔHGK có:

$\widehat{C}=\widehat{G}

AC = HG

$\widehat{A}=\widehat{H}=90°$

Suy ra ΔABC = ΔHGK (g.c.g).

=> Trường hợp hai cạnh góc vuông:

Nếu hai cạnh góc vuông của tam giác vuông này lần lượt bằng hai cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (c.g.c)

Trường hợp một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy:

Nếu một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông này bằng một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (g.c.g).

Trường hợp cạnh huyền và một góc nhọn:

Nếu cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một góc nhọn của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau (g.c.g)

Thực hành 4:

a) Xét ΔNMP vuông tại N và ΔPQN vuông tại P có:

NP chung

NM = PQ

=> Δvuông NMP = Δ vuông PQN (cgv-cgv)

b) Xét ΔABH và ΔKBH cùng vuông tại H có:

BH chung

$\widehat{ABH}=\widehat{KBH}$

Suy ra Δ vuông ABH = Δ vuông KBH (theo trường hợp cạnh góc vuông và góc nhọn kề cạnh ấy)

Trường hợp cạnh huyền và một cạnh góc vuông:

HĐKP6:

Có thể đặt chồng khít tam giác này lên tam giác kia.

=> Kết luận:

Nếu cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông này bằng cạnh huyền và một cạnh góc vuông của tam giác vuông kia thì hai tam giác vuông đó bằng nhau.

Tóm lại, ta có các trường hợp bằng nhau của hai tam giác vuông:

+ TH1:  Hai cạnh góc vuông 

+ TH2: Một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy

+ TH3: cạnh huyền và một góc nhọn

+ TH4: Cạnh huyền và một cạnh góc vuông

Thực hành 5:

+) Xét ΔABD vuông tại B và  ΔACD vuông tại C có:

cạnh huyền AD chung

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$

=> Δ vuông ABD=Δ vuông ACD (ch-gn).

+) Xét ΔACE vuông tại C và ΔABH vuông tại B có: 

AB = AC (vì ΔABD = ΔACD)

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$

=> Δ vuông ACE=Δ vuông ABH (một cạnh góc vuông và một góc nhọn kề cạnh ấy).

+) Xét ΔADE và ΔADH có:

AE = AH (vì ΔACE = ΔABH)

$\widehat{BAD}=\widehat{CAD}$

AD chung

=>  ΔADE = ΔADH (c.g.c).

+) Xét ΔBDE vuông tại B và ΔCDH vuông tại C có:

BD = DC

DE = DH

=> Δvuông BDE = Δ  vuông CDH (ch-cgv).